高二數(shù)學(xué)314空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示張用

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理:平面向量根本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo問題：我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？xyzOQP由此可知，如果是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量。探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量，你能得出類似的結(jié)論嗎？任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。一、空間向量根本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使都叫做基向量〔1〕任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特別提示：對于基底{a,b,c},除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：

（2）

由于可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是?！?〕一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。推論：設(shè)O、A、B、C是不共線的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使

當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時，P、A、B、C四點共面。1、向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個基底．練習(xí)例1設(shè)且是空間的一個基底,給出下列向量組②③④,其中可以作為空間的基底的向量組有()A.1個B.2個C.3個D.4個分析:能否作為空間的基底,即是判斷給出的向量組中的三個下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以構(gòu)造一個平行六面體直觀判斷A1AD1C1B1DCB設(shè),易判斷出答案C例題講解：7

4

二、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。xyzOe1e2e3給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，由空間向量根本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，記作.P=(x,y,z)三、空間向量的直角坐標(biāo)系xyzOe1e2e3在空間直角坐標(biāo)系O–x

y

z

中，對空間任一點P,對應(yīng)一個向量,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標(biāo)，就是點P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是說,以O(shè)為起點的有向線段(向量)的坐標(biāo)可以和終點的坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.

我們說,點P的坐標(biāo)為(x,y,z),記作P(x,y,z)，其中x叫做點P的橫坐標(biāo),y叫做點P的縱坐標(biāo),z叫做點P的豎坐標(biāo).e1e2e3例題講解2、向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個基底．練習(xí)練習(xí)3例1平行六面體中,點MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要結(jié)合圖形,充分運用空間向量加法和數(shù)乘的運算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN連AN,則MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面體中,點MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.例題空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N，分別是對邊OA，BC的中點，點P，Q是線段MN三等分點，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ練習(xí)

.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B練習(xí)：1、在空間坐標(biāo)系o-xyz中，(分別是與x軸、y軸、z軸的正方向相同的單位向量)，那么的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為。2、點M〔2，-3，-4〕在坐標(biāo)平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正投影的坐標(biāo)分別為，關(guān)于原點的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，變式空間四邊形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,設(shè),用向量表示CBMNOA答案：

C1．a(chǎn)，b，c是不共面的三個向量，那么能構(gòu)成一個基底的一組向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2aC．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案：

C答案：

(1,1，－1)

(－1,0,1) 以下四個命題中正確的選項是()A．空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示B．假設(shè){a，b，c}為空間的一個基底，那么a，b，c全不是零向量C．假設(shè)向量a⊥b，那么a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底D．任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個基底根據(jù)空間基底的定義逐個選項判斷．

[解題過程]

答案：

B選項判斷原因分析A×由空間向量基本定理知，空間中任何一個向量必須由不共面的三個向量才能表示B√基向量不共面，因此不可能有零向量C×基底中的兩個基向量是可以垂直的，正交基底中三個基向量兩兩垂直D×基底的構(gòu)成必須是三個不共面的向量1.如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，那么()A．a(chǎn)與b共線 B．a(chǎn)與b同向C．a(chǎn)與b反向 D．a(chǎn)與b共面解析：由空間向量根本定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，B，C都是A的一種情況，空間中任兩個向量都是共面的．故D錯．答案：A2.設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出以下向量組：①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間基底的向量組有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案：

C由題目可獲取以下主要信息：①{a，b，c}是一個基底，②空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心．解答此題可利用重心的性質(zhì)，再結(jié)合圖形進而求得結(jié)果．1．對基底的理解(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底．基底選定后，空間的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以假設(shè)三個向量不共面，就說明它們都不是0.(3)空間的一個基底是指一個向量組，是由三個不共面的空間向量構(gòu)成；一個基向量是指基底中的某個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．2．怎樣正確理解空間向量根本定理？(1)空間向量根本定理說明，用空間三個不共面向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是惟一的．(2)空間中的基底是不惟一的，空間中任意三個不共面向量均可作為空間向量的基底．3．如何理解空間向量與平面向量的正交分解？空間向量的正交分解與平面向量的正交分解類似，都需要事先提供一組基底，空間向量表示為p＝xa＋yb＋zc的形式，平面向量表示為p＝xa＋yb的形式．4．特殊向量的坐標(biāo)表示(1)當(dāng)向量a平行于x軸時，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)都為0，即a＝(x,0,0)；(