高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 26平面向量的應(yīng)用精品課件 新人教版

第二十六講平面向量的應(yīng)用回歸課本1.向量應(yīng)用的常用結(jié)論(1)兩個向量垂直的充要條件符號表示:a⊥b?a·b=0.坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.

(2)兩個向量平行的充要條件符號表示:若a∥b,b≠0,則a=λb.坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2),即或x1y2-x2y1=0.(3)夾角公式cosθ=

(0°≤θ≤180°).(4)模長公式|a|=

(a=(x,y)).(5)數(shù)量積性質(zhì)|a?b|≤|a|?|b|.2.向量應(yīng)用的分類概述(1)應(yīng)用平面向量解決函數(shù)與不等式的問題,是以函數(shù)和不等式為背景的一種向量描述,它需要掌握向量的概念及基本運算,并能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合適的向量,利用向量的“數(shù)”?“形”兩重性解決問題.

(2)平面向量與三角函數(shù)的整合,仍然是以三角題型為背景的一種向量描述,它需要根據(jù)向量的運算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識來解答,三角知識是考查的主體.(3)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用,是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述,它主要強調(diào)向量的坐標(biāo)運算,將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題,進而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答,坐標(biāo)的運算是考查的主體.

(4)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用,是以平面幾何中的基本圖形(三角形?平行四邊形?菱形等)為背景,重點考查平面向量的幾何運算(三角形法則?平行四邊形法則)和幾何圖形的基本性質(zhì).(5)平面向量在物理力學(xué)等實際問題中的應(yīng)用,是以實際問題為背景,考查學(xué)科知識的綜合及向量的方法.注意:(1)在解決三角形形狀問題時,回答要全面?準(zhǔn)確,處理四邊形問題時,要根據(jù)平行四邊形或矩形?菱形?正方形及梯形的性質(zhì)處理.(2)用向量處理物理問題時,一般情況下應(yīng)畫出幾何圖形,結(jié)合向量運算與物理實際進行解決.考點陪練答案:B答案:D答案:A4.若直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后與圓x2+y2=5相切,則c的值為()A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-8解析:直線2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移后得直線2(x-1)-(y+1)+c=0,即2x-y-3+c=0,由d=r,得得c=8或-2.答案:A5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a2009,且A?B?C三點共線(該直線不過點O),則S2010等于()A.1005 B.1010C.2010 D.2015解析:由題意知A?B?C三點共線,則a2+a2009=1.∴S2010==1005×1=1005.故選A.答案:A類型一 利用向量解決平面幾何問題解題準(zhǔn)備:一般情況下,用向量解決平面幾何問題,要用不共線的向量表示題目所涉及的所有向量,再通過向量的運算法則和性質(zhì)解決問題.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;②通過運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【典例1】如圖,正方形OABC兩邊AB?BC的中點分別為D和E,求∠DOE的余弦值.[分析]把∠DOE轉(zhuǎn)化為向量夾角.解法二:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(2,0),C(0,2),則D(2,1),E(1,2).

[反思感悟]利用向量解幾何題,關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量,不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法;或者建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)法解之.利用向量解平面幾何有時特別方便,但要注意一點,不宜搞得過難,因為高考在這方面要求不高.類型二 向量在解析幾何的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:向量與解析幾何結(jié)合的綜合題是高考命題的熱點,解題的關(guān)鍵是正確把握向量與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化和條件的運用.常見技巧有兩個:一是以向量的運算為切入口;二是結(jié)合向量的幾何意義及曲線的有關(guān)定義作轉(zhuǎn)化.【典例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P到兩點的距離之和等于4,設(shè)點P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A,B兩點.(1)寫出C的方程;(2)若求k的值;(3)若點A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時,恒有

[分析](1)由點P滿足的條件列出等式,化簡可得C的方程;(2)由 這是解題的突破口;(3)證明的關(guān)鍵是寫出 再結(jié)合題的條件即可求證.

[解](1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以為焦點,長半軸為2的橢圓.它的短半軸故曲線C的方程為x2+類型三 向量在物理中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:用向量知識研究物理問題的基本思想和方法是:(1)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象,深刻把握物理量之間的相互關(guān)系;(2)通過抽象?概括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題;(3)利用向量知識解決這個向量問題,并獲得這個向量的解;(4)利用這個結(jié)果,對原物理現(xiàn)象作出合理解釋.即用向量知識圓滿解決物理問題.【典例3】一條河的兩岸平行,河寬為dkm,一艘船從A處出發(fā)航行到對岸,已知船航行的速度為|v1|km/h,水流速度為|v2|km/h.要使船抵達(dá)B的上游C處且BC=dkm,若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,則用時多少?

[解]作出位移平行四邊形AGCF,如圖所示,則CF=AG=|tv2|,在Rt△ABF中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式,得84t2-16t-8=0,解得t≈0.418(h).類型四 向量在三角形中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:平面向量與解三角形的綜合題是高考中的一個熱點.其解題的基本思路是:(1)在這些問題中,平面向量實際上主要呈現(xiàn)為敘述問題的一種語言或者工具,其考查要求并不高,解題時要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題.(2)在解題時,既要考慮三角形中的邊角關(guān)系性質(zhì)的應(yīng)用;又要考慮向量的工具性作用,如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長與夾角問題;還要注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表示形式.

[反思感悟]三角形的三邊可與三個向量對應(yīng),這樣就可以利用向量的知識來解三角形了,解決此類問題要注意內(nèi)角與向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別,還要注意向量的數(shù)量積與三角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用.類型五 向量在函數(shù)不等式中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:借助向量的坐標(biāo)表示,將已知條件實數(shù)化并轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用函數(shù)的性質(zhì)解之.向量主要是通過模與不等式聯(lián)系起來,常用的工具有均值不等式及|a·b|≤|a|·|b|.【典例5】設(shè)0<|a|≤2且函數(shù)f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值為0,最小值為-4,且a與b的夾角為45°,求|a+b|.[分析]由于已知<a,b>=45°,故可求出|a|、|b|后再求|a+b|.

[反思感悟]由于已知f(x)的最值,故可結(jié)合二次函數(shù)的最值確定|a|與|b|的大小,再結(jié)合<a,b>=45°,可求出|a+b|.本題充分體現(xiàn)了函數(shù)與不等式思想在向量中的應(yīng)用.錯源一 錯誤地認(rèn)為|a?b|=|a||b|【典例1】已知向量a,b,試比較|a?b|與|a||b|的大小.[錯解]|a?b|=|a||b|.[剖析]設(shè)向量a與b的夾角為θ.則a?b=|a||b|cosθ.(1)當(dāng)a⊥b時,θ=90°,a?b=0,所以|a?b|=0,但|a||b|>0,故有|a?b|<|a||b|;

(2)當(dāng)a與b同向或反向時,cos0°=1,cos180°=-1,有|a?b|=|a||b|;(3)當(dāng)夾角θ為銳角或鈍角時,|a?b|=||a||b|cosθ|,|cosθ|<1,故有|a?b|<|a||b|.[正解]綜合上述可知,|a?b|≤|a||b|.錯源二 “共線”運用出錯【典例2】如圖,半圓的直徑AB=2,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑C上的動點,則的最小值是________.

[剖析]本題的錯誤在于忽視向量的方向,導(dǎo)致了計算上的失誤.向量雖然共線,但其方向相反,所以向量運算時,一定要看清方向.技法一 整體思想

[解題切入點]解答本題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形,利用向量的三角形法則找出向量之間的關(guān)系;或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用向量的坐標(biāo)形式來解答.

[解]以直角頂點A為坐標(biāo)原點,兩