機(jī)械波- 大連海洋大學(xué)精品課程

第12章機(jī)械波

1.

振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做波動(dòng)。2.常見(jiàn)的波有兩大類(lèi):在微觀領(lǐng)域中還有物質(zhì)波。3.各種波的本質(zhì)不同,但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。(1)機(jī)械波(機(jī)械振動(dòng)的傳播)(2)電磁波（交變電場(chǎng)、磁場(chǎng)的傳播）前言機(jī)械波——一群質(zhì)點(diǎn)，以彈性力相聯(lián)系。其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力作用下振動(dòng)，引起其他質(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng).水波媒質(zhì)波源§12.1

機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一、機(jī)械波的產(chǎn)生縱波橫波波函數(shù)y表示平衡位置在x

處的質(zhì)點(diǎn)t時(shí)刻相對(duì)自己平衡位置的位移。（固體）（固體、液體、氣體）0

與媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)波線平面波波線波陣面球面波0波陣面（等相面）波線均勻、各向同性媒質(zhì)中波線與波陣面垂直二、波線和波面行波（橫波，縱波）質(zhì)元并未“隨波逐流”?！吧嫌巍钡馁|(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)?！?2.2平面簡(jiǎn)諧波一.行波簡(jiǎn)諧波:

若波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng),在波傳到的區(qū)域,媒質(zhì)中的質(zhì)元均作簡(jiǎn)諧振動(dòng),稱為簡(jiǎn)諧波。振動(dòng)狀態(tài)（相位）的傳播；二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)設(shè)原點(diǎn)（非振源，是參考點(diǎn)）處的簡(jiǎn)諧振動(dòng)為0yuxPx波從原點(diǎn)傳到任一點(diǎn)P(坐標(biāo)為x）所需的時(shí)間是x/u,所以任一時(shí)刻t,任一點(diǎn)P的位移，即波函數(shù)為問(wèn)：1.當(dāng)P點(diǎn)在O點(diǎn)的左側(cè)（x<0），上式是否仍成立【答】：仍成立。u為波速沿x

正方向傳播2.若該簡(jiǎn)諧波沿負(fù)x方向傳播,其表達(dá)式如何?（x大的點(diǎn)相位領(lǐng)先）A-----簡(jiǎn)諧波的振幅-----簡(jiǎn)諧波的角頻率----稱為x處t時(shí)刻的相位或相，它是最活躍的因素，通常說(shuō)：它決定了振動(dòng)的狀態(tài)。（通常情況下：波的頻率=波源的振動(dòng)頻率）1.幾個(gè)名詞說(shuō)明幾點(diǎn)：x/----波從坐標(biāo)原點(diǎn)傳到x處所需時(shí)間。Y----t時(shí)刻x處質(zhì)點(diǎn)的位移-----x處質(zhì)點(diǎn)比原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)滯后的振動(dòng)相位-----簡(jiǎn)諧波的波長(zhǎng)Y—楊氏彈性模量

—體密度固體中G—切變模量

G<Y——ｕ橫波<ｕ縱波,地震時(shí)破壞性更大流體中的縱波弦上的橫波T—繩的初始張力,—繩的線密度k——容變彈性模量2.

波的傳播速度另外常用的寫(xiě)法：3.對(duì)于u

T

沿+ｘ方向傳播，p點(diǎn)相位比0點(diǎn)落后相距的兩點(diǎn)間相位差為0yuxPx4.波形曲線和振動(dòng)曲線有什么不同？振動(dòng)曲線yt

,

質(zhì)元確定波形曲線yx,

時(shí)刻確定例如y=cos(t–kx):(1).固定x（如令x=x0

）

則波的表達(dá)式變?yōu)?/p>

y=Acos(tkx0)(振動(dòng)方程)(2).固定t（如令t=t0）則波的表達(dá)式變?yōu)?/p>

ycos(t0kx)(波形方程)縱波也能用波形曲線描述嗎？xtt+tx(3)如果x和

t都變化，波函數(shù)表示波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移分布情況任意一個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)時(shí)間都向前傳過(guò)了的距離，或者說(shuō)在時(shí)間內(nèi)整個(gè)波形沿傳播方向平移一段距離波函數(shù)應(yīng)能描述波在空間任一點(diǎn)、任一時(shí)刻的位移?；颍貉夭ǖ膫鞑シ较?各質(zhì)元的相位依次落后。抓住概念：某時(shí)刻某質(zhì)元的相位（振動(dòng)狀態(tài)）將在較晚時(shí)刻于“下游”某處出現(xiàn)。如何寫(xiě)出平面（一維）簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)？還須知三個(gè)條件：

1.某參考點(diǎn)的振動(dòng)方程(知A,,

)2.波的傳播方向3.波長(zhǎng)

(或u)例題1、求0點(diǎn)的初相2、求簡(jiǎn)諧振動(dòng)初相0tx0如果波源在x0處，則討論以上波函數(shù)的波源在原點(diǎn)處。例題已知：平面簡(jiǎn)諧波波形圖0

求：（1）用箭頭標(biāo)明t=0.05s時(shí)平衡位置在0.1、0.15、0.2、0.35m處質(zhì)點(diǎn)的速度方向、;（2）T、、

、u;（3）0.5m處的質(zhì)點(diǎn)比原點(diǎn)落后的相位；(2)解12345x（0.1m）(3)1、一維平面波波動(dòng)方程波速任意平面波=平面簡(jiǎn)諧波上式是一般波動(dòng)方程。三、波動(dòng)方程與波速2、三維平面波波動(dòng)方程例題已知：平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)解：？原點(diǎn)的初相位0=

處比原點(diǎn)落后求：處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式，并畫(huà)出振動(dòng)曲線。t012.3波的能量一.彈性波的能量波的能量=振動(dòng)動(dòng)能+形變勢(shì)能動(dòng)能勢(shì)能

總能量

能量密度一、能量密度wk、w

p均隨

t

周期性變化(1)固定x能量曲線wk=wp

(2)固定twk、w

p隨

x

周期分布=0處

wk、wp最大，最大處

wk、wp為

0。oTtwkwpx=x0wt=t0oxwkwpw二.能流密度與波的強(qiáng)度S平面簡(jiǎn)諧波波的強(qiáng)度——能流密度的時(shí)間平均值簡(jiǎn)諧波強(qiáng)度x單位時(shí)間通過(guò)S面的能量wuS——

能流單位時(shí)間通過(guò)單位面積的能量——能流密度S1S2u能量守恒定律討論振幅變化。S1=S2若媒質(zhì)不吸收，相同的時(shí)間內(nèi)通過(guò)圍在同一束波線中的兩個(gè)波陣面的總能量相等。

I1=I2

A1=A2平面波平面波波函數(shù)波線

IA2例.點(diǎn)波源，各向同性媒質(zhì)中，球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：

I

2

利用和能量守恒，對(duì)無(wú)吸收媒質(zhì)：平面波球面波

r——場(chǎng)點(diǎn)到波源的距離可以證明：矢量式球面波波函數(shù)球面波波線12.4惠更斯原理一、惠更斯原理OS1S2ututS1S2在均勻的自由空間波傳播時(shí)，任一波陣面上的每一點(diǎn)都可以看作發(fā)射子波的點(diǎn)波源，以后任意時(shí)刻，這些子波的包跡就是該時(shí)刻的波陣面?！ㄑ刂本€傳播二.波的衍射波傳播過(guò)程中，遇到障礙物時(shí),能繞過(guò)障礙物的邊緣而傳播的現(xiàn)象.不足:(1)不能說(shuō)明子波為何不能倒退.(2)不能正確說(shuō)明某些波動(dòng)現(xiàn)象(如干涉等)S1有阻擋的空間——波有繞射現(xiàn)象一、波的疊加原理介質(zhì)中幾列波同時(shí)傳播，每一列波不會(huì)因?yàn)槠渌ǖ拇嬖诙淖兏髯缘奶攸c(diǎn)——獨(dú)立性原理；在波列相遇的區(qū)域，介質(zhì)每一點(diǎn)的振移是各波列單獨(dú)存在時(shí)該點(diǎn)振移的矢量和。你可以區(qū)分出不同的樂(lè)器！12.5波的干涉波的衍射現(xiàn)象可用惠更斯原理解釋。衍射現(xiàn)象是否明顯與波長(zhǎng)、障礙物的相對(duì)大小有關(guān)。S1三.波的反射和折射(reflection&refraction)1.波的反射(略)浴室中的聲反射當(dāng)障礙物較大,比波長(zhǎng)大得多時(shí),衍射不明顯;當(dāng)障礙物較小,可與波長(zhǎng)比擬時(shí),衍射就明顯?！锶缒慵以诖笊接覀?cè),而廣播臺(tái)、電視臺(tái)都在山的左側(cè),聽(tīng)廣播和看電視,哪個(gè)更容易?§12.5波的干涉一.波傳播的獨(dú)立性與疊加原理媒質(zhì)中同時(shí)有幾列波時(shí),每列波都將保持自己原有的特性,不受其它波的影響-----波傳播的獨(dú)立性。(傳播方向、振動(dòng)方向、振幅、頻率等)*節(jié)日紅綠光束空間交叉相遇*樂(lè)隊(duì)演奏*空中無(wú)線電波你可以區(qū)分出不同的樂(lè)器！兩不同形狀的正脈沖大小、形狀一樣的正、負(fù)脈沖?“在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中,某點(diǎn)的振動(dòng)是各列波單獨(dú)

傳播時(shí)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成”----波的疊加原理.

當(dāng)波的振幅、強(qiáng)度過(guò)大時(shí)，媒質(zhì)形變與彈力的關(guān)系不再呈線性，疊加原理也就不再成立了。二、波的干涉穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質(zhì)中某些位置的點(diǎn)振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，振動(dòng)的強(qiáng)弱介乎二者之間，保持不變，稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現(xiàn)象。爆炸產(chǎn)生的沖擊波就不滿足線性方程，所以疊加原理不適用。“在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中,某點(diǎn)的振動(dòng)是各列波單獨(dú)

傳播時(shí)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成”----波的疊加原理.

波的疊加原理于波動(dòng)方程的“線性”是一致的。y1(x,t),y2(x,t)是解，y(x,t)=C1y1(x,t)+C2

y2(x,t)也是解。波動(dòng)方程當(dāng)波的振幅、強(qiáng)度過(guò)大時(shí)，媒質(zhì)形變與彈力的關(guān)系不再呈線性，疊加原理也就不再成立了。波的干涉之模擬演示圖波的干涉之模擬演示圖相干條件：設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源和其振動(dòng)表達(dá)式為：滿足相干條件的波源稱為相干波源。具有恒定的相位差振動(dòng)方向相同

兩波源的波振幅相近或相等時(shí)干涉現(xiàn)象明顯。兩波源具有相同的頻率

其振動(dòng)表達(dá)式為：傳播到P點(diǎn)引起的振動(dòng)為：在P

點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。下面討論干涉現(xiàn)象中的強(qiáng)度分布在P

點(diǎn)的合成振動(dòng)為：其中：由于波的強(qiáng)度正比于振幅，所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為：對(duì)空間不同的位置，都有恒定的，因而合強(qiáng)度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。干涉相長(zhǎng)的條件：干涉相消的條件：當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，相干條件寫(xiě)為：稱為波程差相長(zhǎng)干涉相消干涉

例題位于兩點(diǎn)的有兩個(gè)接在同一播音器的電聲喇叭發(fā)出振幅相等，波長(zhǎng)為的聲波。相距，在兩喇叭的中垂線和連線延線長(zhǎng)上的相干情況。解：如圖所示，

兩波到達(dá)p1的相位差為因此兩個(gè)喇叭連線的延長(zhǎng)線各點(diǎn)是干涉相消的。連線中垂線上任一點(diǎn)p2各點(diǎn)都是干涉相長(zhǎng)的，聲強(qiáng)是一個(gè)喇叭的四倍。一、駐波同一媒質(zhì)中兩列頻率相同，振動(dòng)方向相同，而且振幅也相同的簡(jiǎn)諧波，在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)就疊加形成駐波?！?2.6駐波

=兩列波合成波

A'二、駐波（波的干涉）1定量分析2At=0ξ0x0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4波節(jié)波腹λ/4-λ/4x02A-2Aλ/2xt=3T/80x（1）相位分布特點(diǎn)（2）振幅分布特點(diǎn)'y總結(jié)：駐波的特點(diǎn)波腹波節(jié)波節(jié)兩邊振動(dòng)反相兩波節(jié)間振動(dòng)同相利用三角函數(shù)關(guān)系求出駐波的表達(dá)式：簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅但是這一函數(shù)不滿足所以它不是行波。振幅最大的點(diǎn)稱為波腹，對(duì)應(yīng)于即的各點(diǎn)；因此波腹的位置為：波節(jié)的位置為：駐波的振幅振幅為零的點(diǎn)稱為波節(jié)，對(duì)應(yīng)于即的各點(diǎn)。內(nèi)，在范圍內(nèi)，*在波節(jié)兩側(cè)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。同時(shí)達(dá)到反向最大或同時(shí)達(dá)到反向最小。速度方向相反。是波節(jié)，在范圍如考查波節(jié)兩邊的振幅，

結(jié)論：*

兩個(gè)波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。同時(shí)達(dá)到最大或同時(shí)達(dá)到最小。速度方向相同。L（n=1、2、3….）——基頻——諧頻本征頻率簡(jiǎn)正模式2、駐波的應(yīng)用（1）兩端固定的駐波系統(tǒng)——弦樂(lè)器（2）一端固定的駐波系統(tǒng)——管樂(lè)器L（n=0、1、2….）本征頻率簡(jiǎn)正模式

——基頻——諧頻三、有半波損失時(shí)的反射波波疏介質(zhì)波密介質(zhì)從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的反射波在反射時(shí)，有相位的突變——半波損失。二維駐波末端封閉的笛中的駐波末端開(kāi)放的笛中的駐波D相對(duì)靜止時(shí)

S、D相對(duì)運(yùn)動(dòng)所造成u或變化，都會(huì)引起'u單位時(shí)間

D收到個(gè)完整的波形s§12.7多普勒效應(yīng)

vDsDu

在D的參照系里，波以u(píng)'=u+vD

的速度通過(guò)，即單位時(shí)間D可接受到u'/

個(gè)完整的波形。

靠近：vD>0遠(yuǎn)離：vD<0一、S

靜止，D

以

vD

的速度運(yùn)動(dòng)'>'<vsuvsTs靠近：

vS>0遠(yuǎn)離：

vS<0

在D的參照系中波速?zèng)]變，波長(zhǎng)變了。D二、D

靜止，S

以

vS的速度運(yùn)動(dòng)'>'<uu'=（u+vD）

'

=（u-vs）T1842年，奧地利科學(xué)家多普勒提出了上述聲學(xué)理論，1845年巴羅特用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。猜猜看他用什么方法驗(yàn)證的？

vDsDuvs三、S、D

同時(shí)以

vD、vS的速度沿波線運(yùn)動(dòng)utvS

t馬赫數(shù)

當(dāng)S向D靠近速度vs>u時(shí)失去意義！四、馬赫波—沖擊波