2022-2023學(xué)年河北省滄州市任丘市高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省滄州市任丘市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】關(guān)于軸對稱，則坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)即可.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，則坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)所以，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：D.2．以點(diǎn)為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平行直線間距離公式可求得圓的半徑，由圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】直線方程可化為，則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，所求圓的方程為：.故選：B.3．直線，（，a、）的圖象可能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】首先假定每個(gè)選項(xiàng)中的圖象正確，則可得正負(fù)，由此可確定圖象所經(jīng)過的象限，對比選項(xiàng)中的圖象即可得到結(jié)果.【詳解】將化為，將化為.對于A，若圖象正確，則，，圖象經(jīng)過第一、二、四象限，A不正確；對于B，若圖象正確，則，，圖象經(jīng)過第一、二、三象限，B不正確；對于C，若圖象正確，則，則，，圖象經(jīng)過第一、二、四象限，C不正確；對于D，若圖象正確，則，，圖象經(jīng)過第二、三、四象限，D正確.故選：D.4．已知圓（a，b為常數(shù)）與．若圓心與關(guān)于直線對稱，則圓與的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．相切 D．外離【答案】B【分析】根據(jù)條件求出的圓心，再根據(jù)圓心的距離即可判斷.【詳解】依題意，所以，又，，，，，所以兩個(gè)圓相交；故選：B.5．在三棱錐中，平面，D，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量可求線面角的正弦值.【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則且，故，故，，，設(shè)平面的法向量為，則：由可得，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：B.6．已知雙曲線與橢圓：的焦距相等，且其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓方程可得雙曲線的半焦距c，再由頂點(diǎn)坐標(biāo)可得a，然后可解.【詳解】橢圓：的半焦距為所以雙曲線的半焦距，又雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以所以因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為.故選：A7．已知圓，直線，設(shè)圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出圓心到直線的距離，數(shù)形結(jié)合判斷出圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，設(shè)交點(diǎn)分別為，則劣弧上的點(diǎn)到直線的最大距離為，故在劣弧上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，優(yōu)弧上到直線的距離就一定有2個(gè)，所以..故選：C8．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、的值，即可得到、、的值，從而求出的面積，再利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】解：橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．二、多選題9．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長軸長與的實(shí)軸長相等 B．的短軸長與的虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率不相等【答案】CD【分析】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可知，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，當(dāng)時(shí)，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，其實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為，離心率為.故的長軸長與的實(shí)軸長不相等，的短軸長與的虛軸長不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．10．下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn)（－，0）B．過點(diǎn)（2，0）作圓的切線l，則l的方程為C．圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2D．若圓與圓有唯一公切線，則【答案】AC【分析】A.將直線變形，觀察可得定點(diǎn)；B.分斜率存在和不存在求出切線方程；C.通過圓心到直線的距離來判斷；D.由已知的兩圓內(nèi)切，根據(jù)圓心距離等于半徑差列式計(jì)算.【詳解】對于A：直線變形為，令，則，直線過定點(diǎn)（－，0），A正確；對于B：（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線∵直線與圓相切∴圓心到直線的距離∴∴直線方程為；（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，B錯(cuò)誤；對于C：圓的半徑，圓心到直線的距離，所以存在兩點(diǎn)到直線距離為2，C正確；對于D：圓與圓兩圓有唯一公切線，所以兩圓相內(nèi)切，∴或者∴或者解得．D錯(cuò)誤.故選：AC.11．如圖，正方體中E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等D．平面截正方體所得大小兩部分的體積比為【答案】BD【分析】本題對線線角通過轉(zhuǎn)化找到其異面直線夾角，對線面平行轉(zhuǎn)化成證明線線平行，對點(diǎn)到平面距離是否相等，通過反證法，得到與其矛盾的結(jié)論，對組合體體積進(jìn)行合理分割求解即可.【詳解】對于A，由正方體,得,是直線與直線所成角，連接，而平面，，在中，不可能是直角，直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；對于B，連接，則，，平面，平面，平面，平面，故B正確；對于C，若點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，則平面必過的中點(diǎn),連接于,且不是的中點(diǎn)，則平面不過的中點(diǎn),即點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離不相等,故C錯(cuò)誤；對于D，，，等腰梯形即為平面截正方體所得截面，正方體被平面所截的后半部分，即較小的那部分空間幾何體，設(shè)其體積為，它是由四棱錐和三棱錐組成，易得，剩余部分體積，，故D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，主要考察在正方體中的線線關(guān)系，線面關(guān)系，點(diǎn)到平面距離，空間幾何體體積等，尤其D選項(xiàng)中的組合體體積，需要對其進(jìn)行合理分割再去求解.12．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則【答案】CD【分析】對于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進(jìn)而求出.即可求出.【詳解】對于A：若，則.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；對于B：光由所經(jīng)過的路程為.故B錯(cuò)誤；對于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)?，此時(shí)k=0，最小.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD三、填空題13．已知直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為________．【答案】-4【分析】首先根據(jù)垂直得出求出的值，再由再直線和求出的值，算出結(jié)果．【詳解】直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，得在直線上，帶入求得故答案為14．設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值為________．【答案】【分析】利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€是該拋物線的準(zhǔn)線，所以點(diǎn)P到直線的距離等于，所以當(dāng)在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小，最小值為，故答案為：15．已知，B是圓C：上的任意一點(diǎn)，線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為______.【答案】【分析】結(jié)合線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等及橢圓定義得到正確答案．【詳解】解：圓，圓心為，半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，所以．所以由橢圓定義知，的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，方程為．故答案為：．16．已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且是等腰三角形，則橢圓的離心率為___________．【答案】【分析】先根據(jù)橢圓方程確定題中三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出的三邊長，再根據(jù)是等腰三角形列等式求解可得，從而橢圓的離心率為.【詳解】根據(jù)橢圓方程，可得，，，，，，有，，若是等腰三角形，則，有，兩邊平方整理得，把，代入得，又，所以，.離心率.故答案為：.四、解答題17．在中，，，與BC斜率的積是．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)，求PC的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)題意直接列方程可得；（2）由相關(guān)點(diǎn)法可得.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，由題知整理得點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即將代入得點(diǎn)的軌跡方程為：，即18．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且______．從下列3個(gè)條件中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答．①與軸相切；②圓恒被直線平分；③過直線與直線的交點(diǎn)C．(1)求圓的方程；(2)求過點(diǎn)的圓的切線方程．【答案】(1)任選一條件，方程都為(2)或【分析】(1)選①，設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意列出方程組，求解即可；選②，由題意可得直線恒過為圓的圓心，代入A點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；選③，求出兩直線的交點(diǎn)為，根據(jù)圓過A，B，C三點(diǎn)求解即可；(2)先判斷出點(diǎn)P在圓外，再分切線的斜率存在與不存在分別求解即可.【詳解】（1）解：選①，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為；選②，直線恒過，而圓恒被直線平分，所以恒過圓心，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓經(jīng)過點(diǎn)，得，則圓的方程為．選③，由條件易知，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為，即．綜上所述，圓的方程為；（2）解：因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即所以，解得．所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意．綜上過點(diǎn)的圓的切線方程為或．19．已知直線與雙曲線．(1)若，求l與C相交所得的弦長；(2)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求雙曲線C的實(shí)軸長的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求l與C相交所得的弦長；（2）聯(lián)立直線與雙曲線得，由已知討論、，結(jié)合判別式求參數(shù)a的范圍，進(jìn)而可得實(shí)軸長的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線并整理得：，若交點(diǎn)為、，則，，所以相交弦長.（2）由，直線代入整理得：，當(dāng)時(shí)，則l與C僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，可得且；綜上，實(shí)軸長.20．如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，，E為PC中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意可得，又由三角形為等腰直角三角形，E為PC中點(diǎn)，可得，即可證明；(2)建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：∵平面，平面，∴，又∵正方形中，，，∴平面，又∵平面，∴，∵，是的中點(diǎn)，，，且平面，平面．∴平面PCB．（2）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：，，，，則，，設(shè)平面BDE的法向量為，則，所以，令，得到，，∴又∵，，則，因?yàn)槠矫?，平面，∴，又∵正方形中，，，所以平面PDB，∴平面PDB的一個(gè)法向量為．則．設(shè)二面角的平面角為，所以．∴．所以二面角的正弦值為．21．已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線：，，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：

聯(lián)立得：則

，解得：直線的方程為：，即：（2）設(shè)，則可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：則

，

，

則【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面向量、弦長公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通