2022-2023學(xué)年浙江省平湖市當(dāng)湖高二年級上冊學(xué)期12月階段測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)高二上學(xué)期12月階段測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線與直線互相垂直，則實數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】由已知條件可得，解得.故選：B.2．為了調(diào)查某工廠生產(chǎn)的一批口罩的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了1000個口罩，所得數(shù)據(jù)如下圖所示，據(jù)此估計，這批口罩質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表）與中位數(shù)之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)和中位數(shù)的求解方法，結(jié)合圖表，求解即可.【詳解】由圖可知，最高的小長方形所在區(qū)間的中點值為，故這批口罩質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)為；因為，故這批口罩質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)在區(qū)間，設(shè)其為，則，解得；故批口罩質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)與中位數(shù)之和為.故選：C.3．已知等比數(shù)列的前2項和為2，前4項和為8，則它的前6項和為（

）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列前2項和為2，前4項和為8，可得，從而求得，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，公比為q,則,則，而，故，所以數(shù)列前6項和為，故選：C.4．在用數(shù)學(xué)歸納法求證：，（為正整數(shù)）的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別得到和時，左邊對應(yīng)的式子，兩式作商，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，則.故選：D.5．已知圓，直線l：，若圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍為

A． B． C． D．【答案】D【分析】圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，利用點到直線距離求出b的取值范圍.【詳解】因為圓上恰有4個點到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，因此有，故本題選D.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想.6．已知是橢圓的左?右焦點，點為拋物線準(zhǔn)線上一點，若是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用幾何性質(zhì)確定中得，利用可得的關(guān)系，即可得橢圓離心率.【詳解】解：如圖，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為因為是橢圓的左?右焦點，所以拋物線準(zhǔn)線為：直線，所以因為是底角為的等腰三角形，則則則，整理得：所以離心率.故答案為：A.7．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得，則可得，根據(jù)其單調(diào)性可得，化簡可得恒成立，即可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列滿足，可知，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以,因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，對于任意的恒成立，即,即恒成立,因為時,取得最小值3，故，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A,8．過拋物線：的焦點作兩條互相垂直的弦，，設(shè)為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得：，因為，所以直線的斜率為：，所以，由，解得，設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的性質(zhì)可知：，而當(dāng)垂直于軸時，的值最小，最小值為．【詳解】解：顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，，，，，，由拋物線的性質(zhì)可知：，，直線的斜率為：，，，，，拋物線方程為：，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的性質(zhì)可知：，而當(dāng)垂直于軸時，的值最小，最小值為，如圖所示：的最小值為3，故選：B．二、多選題9．圓與圓相交于，兩點，則（

）A．的直線方程為 B．公共弦的長為C．圓與圓的公切線長為 D．線段的中垂線方程為【答案】ACD【分析】對于A，兩圓方程相減可求出直線的方程，對于B，利用弦心距、弦和半徑的關(guān)系可求公共弦的長，對于C，求出，再由可求得結(jié)果，對于D，線段的中垂線就是直線，求出直線的方程即可.【詳解】由，得，則，半徑，由，得，則，半徑，對于A，公共弦所在的直線方程為，即，所以A正確，對于B，到直線的距離，所以公共弦的長為，所以B錯誤，對于C，因為，，，所以圓與圓的公切線長為，所以C正確，對于D，根據(jù)題意可知線段的中垂線就是直線，因為，所以直線為，即，所以D正確，故選：ACD10．下列結(jié)論正確的是（

）A．方程表示的曲線是雙曲線的右支；B．若動圓過點且與直線相切，則點的軌跡是拋物線；C．兩焦點坐標(biāo)分別為和，且經(jīng)過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；D．橢圓上一點到右焦點的距離的最大值為9，最小值為6.【答案】AB【解析】方程化簡得，它表示的曲線是雙曲線的右支，所以該選項正確；由題得滿足拋物線的定義，所以點的軌跡是拋物線，所以該選項正確；由題得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以該選項錯誤；點到右焦點的距離的最大值為，最小值為,所以該選項錯誤.【詳解】方程化簡得，它表示的曲線是雙曲線的右支，所以該選項正確；由題得點不在直線上，點到定點和定直線的距離相等，滿足拋物線的定義，所以點的軌跡是拋物線，所以該選項正確；由題得橢圓的，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以該選項錯誤；橢圓上一點到右焦點的距離的最大值為，最小值為,所以該選項錯誤.故選：AB【點睛】本題主要考查圓錐曲線的方程的求法，考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11．已知等差數(shù)列的公差，當(dāng)且僅當(dāng)時，的前項和最大，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由為唯一最大值可知，，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得的范圍，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合范圍可確定各選項的正誤.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，解得：，；；；；ABD正確；，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；C錯誤.故選：ABD.12．設(shè)，是雙曲線的左?右焦點，過作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H，且l與雙曲線右支相交于點P，若，且，則下列說法正確的是（

）A．到直線l的距離為a B．雙曲線的離心率為C．的外接圓半徑為 D．的面積為18【答案】BD【分析】根據(jù)題意可求得，作，由為的中點，可得，可判斷A；根據(jù)三角形中位線以及，可求得，然后根據(jù)及雙曲線的定義可得，再結(jié)合勾股定理即可求得，，的值，即可判斷BD；根據(jù)正弦定理可判斷C.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，，且.取雙曲線的一條漸近線為，則到的距離為，作，如圖所示：則，，∵，為的中點，∴，且為的中點，則到直線的距離為，故A錯誤；∵，為的中點∴，∵，∴，在中，，即，則，解得或（舍），∴，則，即雙曲線的離心率為，故B正確；設(shè)，得外接圓半徑為，則，∴由正弦定理得，即，故C錯誤；∵，，∴的面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題13．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點為，則雙曲線的方程為___________.【答案】【分析】由雙曲線:的一個焦點是可得，再由漸近線方程得，聯(lián)立即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由焦點為可得，一條漸近線方程是可知，又，可解得,所以雙曲線C的方程為；故答案為：14．已知是等比數(shù)列，，，則____.【答案】【分析】首先求數(shù)列的公比，再判斷數(shù)列是等比數(shù)列，最后利用等比數(shù)列求和公式求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，所以，數(shù)列中，，，所以數(shù)列是首項為8，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：15．曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【分析】作出曲線圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】由x=

可知x≥0，得x2=-y2-2y，即x2+y2+2y=0，則x2+（y+1）2=1，作出曲線C：x=的圖象如圖：當(dāng)直線x-y-m=0經(jīng)過點A（0，-2）時，直線直線和曲線有兩個交點，此時2-m=0，解得m=2，當(dāng)直線與曲線相切時，圓心（0，-1）到直線x-y-m=0的距離d==1,即|m-1|=,解得m=或1-，直線x-y-m=0得方程為y=x-m，當(dāng)-m＜0時，m＞0，即m=，此時直線和曲線只有一個交點，故滿足條件的m的取值范圍為[2，+1）.故答案為[2，+1）.【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.16．“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上．稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn)．若橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上一動點，過和原點作直線與橢圓的蒙日圓相交于，則_________．【答案】1【分析】令，利用橢圓的定義可得，再由平面向量的知識可得，從而得到；結(jié)合“蒙日圓”的定義可知，由此得到，故得解.【詳解】因為橢圓，所以，故，，如圖，令，因為，所以，即，結(jié)合圖象，由平面向量的知識可得，故，兩式相加得，即，即，由“蒙日圓”的定義，當(dāng)我們過橢圓上下左右四個頂點作橢圓的切線時，易知橢圓的“蒙日圓”的直徑為這四條切線所圍成的矩形的對角線，故由勾股定理得，所以，故.故答案為：1..四、解答題17．已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)的中點為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)的中點為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）設(shè)為中點，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程，此時，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．已知等差數(shù)列中．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，是否存在正整數(shù)m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式計算量列出方程組，求出首項和公差，寫出通項公式；求出的通項公式，列出方程，求出，故不存在正整數(shù)m.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得所以，即；（2），∵，∴，則，解得，不符合題意，∴不存在正整數(shù)，使得.19．杭州市某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎亞運專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名.對抽出的120名同學(xué)某天參加運動的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，運動時間均在至分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：(1)需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人?(2)（i）請補全頻率分布直方圖;（ii）求這120名學(xué)生運動時間的第80百分位數(shù)是多少?【答案】(1)高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人(2)（i）直方圖見解析；（ii）【分析】（1）由分層抽樣的比例公式求解即可；（2）計算頻率并補全頻率分布直方圖；由百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可【詳解】（1）報名的學(xué)生共有1080人，抽取的比例為所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人（2）（i）第三組的頻率為故第三組的小矩形的高度為，補全頻率分布直方圖得（ii）各組的頻率分別為，前四組的頻率之和為，前五組的頻率之和為，所以第80百分位數(shù)為所以第80百分位數(shù)是20．已知，點P滿足，記點P的軌跡為曲線C.斜率為k的直線l過點，且與曲線C相交于A，B兩點.(1)求曲線C的方程；(2)求斜率k的取值范圍；(3)在x軸上是否存在定點M，使得無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，總有成立?如果存在，求出定點M；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，且.【分析】（1）結(jié)合雙曲線的定義求得正確答案.（2）結(jié)合漸近線的知識求得的取值范圍.（3）設(shè)出點坐標(biāo)，通過求得，從而求得正確答案.【詳解】（1）依題意，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支.則，所以曲線的方程為.（2）曲線的方程為對應(yīng)的漸近線方程為，根據(jù)漸近線的性質(zhì)可知，要使直線與曲線有個交點，則的取值范圍是.（3）由消去并化簡得，其中.設(shè)，則，設(shè)，若，則，，，，，，，，，，，所以存在，使成立.【點睛】在利用雙曲線的定義求曲線方程時，要注意準(zhǔn)確把握雙曲線的定義：，也就是“絕對值”三個字，如果沒有絕對值，則是雙曲線的一支.21．已知數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用解出，然后利用可推出，可證明數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出，從而得出；（2）利用分組求和法及錯位相減法求和；【詳解】解：（1）當(dāng)時，，得當(dāng)時，，相減得，變形得，即又∵，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，則.（2），于是，令,即．①②①②得∴∴．【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求解及數(shù)列求和，考查學(xué)生的基本運算