2022-2023學(xué)年福建省三明市五縣高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省三明市五縣高二上學(xué)期聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)與模長(zhǎng)的求解計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?故.故選：C.2．是等差數(shù)列，且，，則的值是（

）A．24 B．27 C．30 D．33【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可設(shè)該數(shù)列的公差為，則，且，所以可得到最后的答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由①，②，②-①得：，則，所以，故選：D.3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】舉出的反例可判斷A；舉出異面的反例可判斷B；根據(jù)兩條平行線其中一條垂直平面，那么另外一條也垂直平面可判斷C；舉出平行的反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖，此時(shí)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，此時(shí)異面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由性質(zhì)定理：“如果在兩條平行線中，有一條垂直于平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.”可知，C正確；對(duì)于D，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：C.4．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可代入特殊點(diǎn)，進(jìn)行排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)值大于0，可排除A選項(xiàng)，當(dāng)x<-1時(shí)，函數(shù)值小于0故可排除C和D選項(xiàng)，進(jìn)而得到B正確．故答案為B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知函數(shù)解析式，求函數(shù)圖像的問題，這種題目一般可以代入特殊點(diǎn)，進(jìn)行選項(xiàng)的排除，或者根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得到函數(shù)的定義域，值域的問題，進(jìn)行排除.5．已知，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)分段函數(shù)是減函數(shù)，則由每一段是減函數(shù)，且左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)函數(shù)值求解.【詳解】由已知，在上單調(diào)遞減，∴，.①在上單調(diào)遞減，∴解得，②且當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即，∴，③由①②③得，的取值范圍是，故選：C.6．已知一圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)中心角為直角的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得圓錐的底面半徑、母線長(zhǎng)，再去求圓錐的體積．【詳解】設(shè)底面圓半徑為，圓錐母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，所以，解得，因?yàn)樵搱A錐的側(cè)面積為，所以，解得，則，即底面圓的面積為，則圓錐的高，故圓錐的體積為，故選：A．7．圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小的正方形拼成一個(gè)大的正方形．某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，如圖2，若BD＝1，且三個(gè)全等三角形的面積和與小正三角形的面積之比為，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)小正三角形邊長(zhǎng)為，由面積比求得，再計(jì)算出小正三角形面積可得大正三角形面積．【詳解】設(shè)，則，解得（舍去），所以，，故選：D．8．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變?yōu)椋瑯?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又因，且，所以，即，所以.故選：D.二、多選題9．若集合P={x|x2+x﹣6=0}，S={x|ax﹣1=0}，且S?P，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A．0 B． C．4 D．【答案】ABD【分析】分S=，兩種情況，根據(jù)子集的定義，分別求得參數(shù)值.【詳解】解：P={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，①S=，a=0；②，S={x|x}，3，a，2，a；綜上可知：實(shí)數(shù)a的可能取值組成的集合為{，0，}.故選：ABD.10．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C．有最大值25 D．有最大值【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，將其代入題干條件可得，再次利用等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值是.故選：.11．下列說法正確的是（

）A．若不等式的解集為，則B．若命題，則的否定為C．在中，“”是“”的充要條件D．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判斷A；由全稱量詞命題的否定可判斷B；由充要條件的判斷可判斷C；變?cè)D(zhuǎn)化為一次函數(shù)恒成立可判斷D【詳解】對(duì)于A：不等式的解集為，則和是方程的兩個(gè)根，故，解得，所以，故A正確；對(duì)于B：命題，則的否定為，故B正確；對(duì)于C：由可得，所以，又，所以或，所以“”不是“”的充要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，由對(duì)恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故D正確；故選：ABD12．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（

）A．三棱錐體積的最大值為B．三棱錐體積的最小值為C．存在某個(gè)位置，使得D．設(shè)二面角的平面角為，且，則【答案】AC【分析】是的中點(diǎn)﹐點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（圓錐的底面圓），作出圖形，觀察到平面距離的最大值和最小值，計(jì)算體積判斷AB，把去掉，作出圖形，分析與所成角，二面角的大小判斷CD．【詳解】在圖1中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)﹐點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)，三棱錐的體積最大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，的體積最小.在中，.設(shè)到平面的距離分別為，則，所以三棱錐體積的最大值為，最小值為，A正確，B錯(cuò)誤.如圖2，因?yàn)橹本€與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為，母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為﹐所以直線與所成角的范圍為，即，因?yàn)?，所以存在夾角為的情況，又因?yàn)榫€線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線與所成角的范圍為，即可得出C正確.如圖2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，二面角的平面角為，在與中，所以，所以，所以，即，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)二面角的定義，利用余弦函數(shù)的定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．已知，則______.【答案】【分析】由，結(jié)合范圍，求出，再由余弦的和角公式即可求解.【詳解】，，.故答案為：.14．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.【答案】0【分析】利用共線向量定理列出向量等式，再借助向量減法用表示即可得解.【詳解】因A，B，C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)k使，顯然且，否則點(diǎn)A，B重合或點(diǎn)B，C重合，則，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，顯然實(shí)數(shù)λ，m，n不為0，因此，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，此時(shí)λ+m+n=k-1+1+(-k)=0，所以λ+m+n的值為0.故答案為：015．已知函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【分析】函數(shù)為奇函數(shù)有，解得，由函數(shù)周期為2，化簡(jiǎn)得，代入函數(shù)解析式求值.【詳解】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，可得，所以，函數(shù)周期為2，則，有，∴.故答案為：.16．定義各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為.若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為，且，則______.【答案】【分析】首先利用“美數(shù)”的定義，得到，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并得到，最后利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為，所以.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，滿足式子，所以.又，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．如圖，在中，，是的中點(diǎn)，設(shè)，.（1）試用，表示；（2）若，，且與的夾角為，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量加法的三角形法則以及共線定理即可用，表示；（2）用，表示出，即可求得，再開方即可.【詳解】（1）.（2），∴，∵，，與的夾角為，∴，∴，即.18．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱中心；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，對(duì)稱中心是(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心的求法（整體代入法）求得正確答案.（2）根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得，根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得在上的值域.【詳解】（1）.令，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是.令，解得，所以的對(duì)稱中心是.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，即.當(dāng)，所以，所以，即在上的值域?yàn)?19．如圖，四棱錐的底面為矩形，側(cè)面與底面垂直，點(diǎn)分別在側(cè)棱上，滿足.(1)證明：.(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證，即證平面即證平面平面；（2）以為原點(diǎn)，DA為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面又平面∴平面平面，平面平面，又，平面平面；，又平面平面平面平面（交線為），同理可得，又∴平面平面.（2）以為原點(diǎn)，DA為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，由（1）知，平面故為平面的法向量，設(shè)平面即平面的法向量，，由得，取，所以，所以二面角的正弦值為.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，是以為首項(xiàng)且公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)，求出的通項(xiàng)公式，求出的公差，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和..【詳解】（1）由，取可得，又，所以，則.當(dāng)時(shí)，由條件可得，兩式相減可得，，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，因?yàn)?，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由成等比數(shù)列，所以，又，所以解得，故，（2），，.相減得，所以，所以所以.21．在①，②AC邊上的高為，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并完成解答.問題：記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，______.(1)求c的值；(2)設(shè)AD是的角平分線，求AD的長(zhǎng).【答案】(1)3(2)【分析】（1）選條件①：利用余弦定理直接求得；選條件②：利用三角形的面積公式直接求得；選條件③：先求出，利用和差角公式及正弦定理即可求得.（2）選條件①：求出，利用正弦定理即可求得；選條件②；求得，利用正弦定理即可求得；選條件③：利用正弦定理即可求得；【詳解】（1）選條件①：，由余弦定理，選條件②；AC邊上的高為，由三角形的面積公式，解得，.選條件③：，由題意可知，所以，因?yàn)?，，由正弦定理，，解得?（2）選條件①：因AD是的角平分線，所以，，，則，由正弦定理，.選條件②；因AD是的角平分線，所以，，，則，由正弦定理，.選條件③：因?yàn)锳D是的角平分線，所以，則，由正弦定理，.22．已知函數(shù).（1）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若到，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2），.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可；(2)利用有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，得到的范圍，利用極直點(diǎn)所滿足的方程，得到兩個(gè)極值點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為,得到,令(a),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求得最小值，得到的范圍.【詳解】解：(1),令,當(dāng)