2022-2023學(xué)年福建省廈門高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省廈門第二中學(xué)高二上學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．與直線垂直的一個(gè)向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線方程可得其直線斜率，根據(jù)垂直關(guān)系可知與已知直線垂直的直線斜率，進(jìn)而得到滿足題意的向量.【詳解】直線的斜率，與直線垂直的直線斜率為，則與直線垂直的一個(gè)向量是.故選：D.2．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知為圓的切線；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，由圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得的值；綜合兩種情況可得切線方程.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在時(shí)，即直線為，則與相切，此時(shí)切線；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，即；圓心到切線的距離，解得：，此時(shí)切線，即；綜上所述：切線的方程為：或.故選：D.3．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把方程中的換成即可得到所求直線方程.【詳解】直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線為：，即.故選：B.4．設(shè)直線l的方程為xysin20，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A．[0,] B． C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，結(jié)合的范圍，可得斜率的取值范圍，進(jìn)而得到傾斜角的范圍.【詳解】直線l的方程為，當(dāng)時(shí)直線方程為，傾斜角當(dāng)時(shí)，直線方程化為，斜率，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋跃C上可得故選：C5．已知，分別為直線，的方向向量（，不重合），，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．若， B．若， C．若， D．若，【答案】A【分析】由已知，可根據(jù)題意，選項(xiàng)A，時(shí)，此時(shí)，所以，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)B，；選項(xiàng)C，；選項(xiàng)D，，即可判斷.【詳解】由已知，，分別為直線，的方向向量，，分別為平面α，β的法向量，選項(xiàng)A，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，故該選項(xiàng)正確.故選：A.6．點(diǎn)到直線（為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求法可求得直線恒過(guò)點(diǎn)，則所求距離最大值為.【詳解】將直線方程整理為：，由得：，直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為.故選：B.7．如圖，在三棱錐中，，，分別是的中點(diǎn)．則異面直線所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，取中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可得，由異面直線所成角定義可知所求角為或其補(bǔ)角，利用勾股定理可求得的邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】連接，取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，，異面直線所成的角即或其補(bǔ)角；，，，，又，，，，又，，，即異面直線所成的角為.故選：C.8．圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為．已知禮物的質(zhì)量為，降落傘自身的重量為，每根繩子的拉力大小相同．則降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度取，精確到）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)降落傘勻速下落可知根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小，則根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，如圖，，在上的投影向量為，根繩子拉力的合力；降落傘勻速下落，，，解得：.故選：C.二、多選題9．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的一個(gè)方向向量為B．直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為C．與直線垂直D．與直線平行【答案】AC【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程，結(jié)合直線的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線重合，D錯(cuò)誤；，因此是直線的一個(gè)方向向量，A正確；在直線方程中令得，令得，直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為，B錯(cuò)誤；由于，C正確故選：AC10．已知的頂點(diǎn)，，，若是直角三角形，則符合條件的的值為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分別在，，的情況下，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得可能的取值.【詳解】由題意知：，，，若，則，解得：；若，則，解得：；若，則，解得：.故選：ACD.11．長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．B．與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為【答案】ABC【分析】令，根據(jù)線面角定義可知，由此可求得的長(zhǎng)，即可得到AC錯(cuò)誤；作，可證得平面，同時(shí)平面，根據(jù)線面角定義，結(jié)合長(zhǎng)度可得BD正誤.【詳解】連接，不妨令，在長(zhǎng)方體中，面，面，和分別為與平面和平面所成的角，即，在中，，，，在中，，，，，，，，，AC錯(cuò)誤；作，垂足為，平面，平面，，又，平面，平面，為與平面所成的角，在中，，B錯(cuò)誤；連接，平面，為與平面所成的角，在中，，，D正確.故選：ABC.12．已知正方體棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在唯一點(diǎn)，使得C．當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)為底面的中心時(shí)，三棱錐的外接球體積為【答案】BCD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，由可知A錯(cuò)誤；利用向量垂直的坐標(biāo)表示可求得時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)點(diǎn)的軌跡方程，可知BC正確；根據(jù)垂直關(guān)系可知三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，由球的體積公式可求得D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得：，即，，即存在點(diǎn)，使得，B正確；對(duì)于C，，，由得：，即，點(diǎn)軌跡是連接棱中點(diǎn)與棱中點(diǎn)的線段，其長(zhǎng)度為線段的一半，點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，平面，平面，，由B知：，中點(diǎn)到的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，三棱錐外接球體積，D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則____________．【答案】【分析】根據(jù)射影坐標(biāo)的特征可得點(diǎn)坐標(biāo)，由向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，.故答案為：.14．已知兩條平行直線與間的距離為，則的值為_(kāi)____________．【答案】或##或【分析】利用平行直線間距離公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，即，解得：或.故答案為：或.15．如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線上a，b分別取點(diǎn)，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使且.已知，，.則線段______.【答案】或【分析】根據(jù)空間向量的加法，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算模長(zhǎng)，建立方程，可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，由于，，則，，又因?yàn)閮蓷l異面直線a，b所成角為，所以或，故，可得或.故答案為：或16．球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，，是球的直徑，點(diǎn)在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，利用正四面體的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)球的半徑為，由題可知正四面體的高為，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．求滿足下列條件的直線方程：（1）已知、、，求的邊上的中線所在的直線方程；（2）過(guò)點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先計(jì)算中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式寫出直線方程，即得結(jié)果；（2）分類討論直線是否過(guò)原點(diǎn)兩種情況，分別設(shè)直線方程，再將點(diǎn)P代入計(jì)算，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)，所以的邊上的中線所在的直線方程為：，即；（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，∵過(guò)點(diǎn)，∴直線方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，∵過(guò)點(diǎn)，∴，∴直線方程為，即.故所求直線的方程為或.18．如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，設(shè)，，.（1）試用，，表示向量，；（2）若，求直線與所成的角.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）由向量的加減運(yùn)算法則，即可求解向量，；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，分別求得,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由向量的加減運(yùn)算法則知：在平行四邊形中，，又由.（2）由題意知，，，，，可得.又由，，所以，因?yàn)?，所?所以與所成的角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記空間向量的數(shù)量積和夾角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.19．在平行六面體中，，，(1)求證：直線平面．(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以為基底，并用基向量表示和平面，再通過(guò)向量運(yùn)算證明是平面的法向量即可；（2）利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可求得，，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，且，，，，，，，在平面上，取為基向量，則對(duì)于平面上任意一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，，是平面的法向量，平面．（2）設(shè)到平面的距離為，則，，，.20．在四棱錐中，底面是正方形，平面底面，，E是的中點(diǎn)．(1)求證：面；(2)若，則棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面與平面EBD的夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)計(jì)算出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，的值為或0【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造中位線的方法，結(jié)合線面平行的判定定理證得（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面與平面EBD的夾角求得點(diǎn)的位置，從而計(jì)算出.【詳解】（1）連結(jié)交于，連結(jié).為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，.又平面EDB，平面EDB，平面EDB.（2），，即，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，且平面，平面ABCD.以為基底建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，設(shè)，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，同理可求得平面的法向量為由于平面與平面EBD的夾角的余弦值為，則，解得或.答：存在，且的值為或0.21．如圖，是某景區(qū)的瀑布群，已知，點(diǎn)Q到直線，的距離均為2，現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過(guò)Q的有軌觀光直路并延伸交道路于點(diǎn)B．（1）求；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，求.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OM為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)Q到直線，的距離均為2列方程求Q的坐標(biāo)，由此可得，(2)由條件設(shè)，，根據(jù)A,B,Q三點(diǎn)共線可得a,b的關(guān)系，表示結(jié)合基本不等式求其最小值，由此確定.【詳解】解：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則由題可得直線的方程為，Q到直線的距離為2，設(shè).由，解得或（舍去），所以.故.（2）設(shè)，，所以，則，即.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，則.22．知圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若從點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩條切線所夾的劣弧長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)，，直線，與圓的另一交點(diǎn)分別為，，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，由可求；（2）表示直線的方程，與圓方程聯(lián)立，表示出坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】（1）依題意，設(shè)．設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，則，．由題意可知，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．在中，可求得，所以，所以所求兩條切線所夾的劣弧長(zhǎng)為．（2）設(shè)，，．依題意，可得直線的方程為，由，得．因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以，是上述