2022-2023學(xué)年河北省衡水中學(xué)高一年級上冊學(xué)期綜合素質(zhì)檢測二數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022–2023學(xué)年度高一年級上學(xué)期綜合素質(zhì)檢測二數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人：方海燕第I卷（選擇題共60分）一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）A.y=x B.y=lnx C.y= D.y=【答案】D【解析】【分析】分別求出各個函數(shù)的定義域和值域，比較后可得答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域和值域均為，函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域和值域均為，滿足要求；故選：．【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解答的關(guān)鍵．2.已知，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，且冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.點睛：本題主要考查冪函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用；三是借助于中間變量比較大小.3.已知，則的值是A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合根式的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意知，，由于，故，則原式.故選B.【點睛】本題主要考查根式的運算法則及其應(yīng)用，屬于中等題.4.區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個密碼的長度設(shè)定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，最壞的情況需要進行次運算.現(xiàn)在有一臺計算機，每秒能進行次運算，那么在最壞的情況下，這臺計算機破譯該密碼所需時間大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意所求時間為，利用對數(shù)的運算進行求解即可.【詳解】設(shè)在最壞的情況下，這臺計算機破譯該密碼所需時間為秒，則有；兩邊取常用對數(shù)，得；；所以.故選：D.5.設(shè)，，則下列命題正確的是（）．A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】列舉特殊數(shù)值，排除選項.【詳解】A.時，，故A不成立；B.當(dāng)時，，故B不成立；C.當(dāng)時，，故C不成立；D.若，根據(jù)函數(shù)在的單調(diào)性可知，成立，故D正確.故選：D6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，是其圖象上的兩點，那么的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】，即，即，函數(shù)是上的增函數(shù)，故，解得.故選：A7.已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足.若，則（）A. B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)及，推出函數(shù)的周期為4，然后得出得出結(jié)果．【詳解】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則，，，，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為4，，，則，，，故選：C8.已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x＞0時，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋時，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下面說法中，錯誤的是（）A.“中至少有一個小于零”是“”的充要條件；B.“”是“且”的充要條件；C.“”是“或”的充要條件；D.若集合是全集的子集，則命題“”與“”是等價命題.【答案】AC【解析】【分析】從充分性和必要性的角度，結(jié)合題意，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】對：若，滿足中至少有一個小于零，但無法推出，故錯誤；對：若，則只能是；若，則一定有，故“”是“且”的充要條件，則正確；對：若且，是的充分非必要條件，又因為若，則或，是命題：若且，則的逆否命題，故其真假一致，則，是或的充分非必要條件，故錯誤；對：因為集合是全集的子集，故可得，故命題“”與“”是等價命題，則正確.綜上所述：A、C錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，注意細節(jié)處理即可.10.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】分析】利用給定條件結(jié)合基本不等式判斷A，C；利用二次函數(shù)性質(zhì)判斷B；取特值判斷D作答.【詳解】因，，且，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，A不正確；因，，且，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，B正確；因，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，C正確；因，，且，則取，即有，于是得，D不正確.故選：BC11.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A.當(dāng)，有1個零點 B.當(dāng)時，有3個零點C.當(dāng)，有4個零點 D.當(dāng)時，有7個零點【答案】ABD【解析】【分析】令得，利用換元法將函數(shù)分解為和，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)，則方程等價為，函數(shù)，開口向上，過點，對稱軸為對于A，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x只有一解，即函數(shù)有1個零點，故A正確；對于B，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x有3個解，即函數(shù)有3個零點，故B正確；對于C，當(dāng)時，圖像如A，故只有1個零點，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有3個根，其中，，由可知，此時x有3個解，由，此時x有3個解，由，此時x有1個解，即函數(shù)有7個零點，故D正確；故選：ABD．【點睛】方法點睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題．12.定義“正對數(shù)”：，若，，則下列結(jié)論中正確的是.A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)所給的定義及對數(shù)的運算性質(zhì)對四個命題進行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對進行分類討論，判斷出每個命題的真假.【詳解】對A，當(dāng)，時，有，從而，，所以；當(dāng)，時，有，從而，，所以．所以當(dāng)，時，，故A正確．對B，當(dāng)，時滿足，，而，，所以，故B錯誤；對C，令，，則，，顯然，故C錯誤；對D，由“正對數(shù)”的定義知，當(dāng)時，有，當(dāng)，時，有，從而，，所以；當(dāng)，時，有，從而，，所以；當(dāng)，時，有，從而，，所以；當(dāng)，時，，，因為，所以，所以．綜上所述，當(dāng)，時，，故D正確．故選AD．【點睛】本題考查新定義及對數(shù)的運算性質(zhì)，理解定義所給的運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運用，考查運算求解能力，注意本題容易因為理解不清定義及忘記分類論論的方法使解題無法入手致錯.第II卷（共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分；）13.計算____________【答案】5【解析】【分析】由分數(shù)指數(shù)冪的運算及對數(shù)的運算即可得解.【詳解】解：原式，故答案為：5.【點睛】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪的運算及對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.14.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是_______________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時，，∴，∴；當(dāng)時，，∴，∴，綜上，使得成立的的取值范圍是．故答案為．考點：分段函數(shù)不等式及其解法.【方法點晴】本題考查不等式的解法，在分段函數(shù)中結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式與冪函數(shù)不等式，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．利用分段函數(shù)，結(jié)合分為兩段當(dāng)時，根據(jù)單調(diào)性，解指數(shù)函數(shù)不等式，取交集；當(dāng)時，解冪函數(shù)不等式，取交集，綜合取上述兩者的并集，即可求出使得成立的的取值范圍．15.已知函數(shù)定義域為，且對于任意，都有，且，則不等式的解集為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】任意，不妨設(shè)，由，構(gòu)造新函數(shù)，由，所以函數(shù)增函數(shù)，，當(dāng)時，由，所以不等式的解集為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)不等式形式構(gòu)造新函數(shù)進而判斷新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.16.對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】由對數(shù)有意義可得：，將不等式等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時，則，當(dāng)時，，則，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出實數(shù)的值，最后取交集即可求解.【詳解】由題意可知：且成立，則，因為對任意的，不等式恒成立，也即在上恒成立，記，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即恒成立，則，所以，解得：；當(dāng)時，不等式顯然成立；當(dāng)時，，即在恒成立，則，因為在上單調(diào)遞減，所以時，，解得：，因為對任意的，不等式恒成立，則綜上可知：實數(shù)的值為.故答案為：.四?解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.為了預(yù)防新型冠狀病毒，唐徠回民中學(xué)對教室進行藥熏消毒，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：毫克）隨時間x（單位：h）的變化情況如圖所示，在藥物釋放過程中，y與x成正比，藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，y與x的之間的函數(shù)關(guān)系；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低至0.25毫克以下時，學(xué)生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能回到教室．【答案】（1）（2）0.6【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象經(jīng)過點，分段討論即可得出結(jié)論；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【小問1詳解】解：依題意，當(dāng)時，可設(shè)，且，解得又由，解得，所以；【小問2詳解】解：令，即，得，解得，即至少需要經(jīng)過后，學(xué)生才能回到教室．18.已知函數(shù)，其中為常數(shù)且滿足．（1）求的值；（2）證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，并判斷在上的單調(diào)性；（3）若對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）詳見解析（3）【解析】分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解（2）由單調(diào)性的定義證明（3）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題【詳解】（1）由解得（2）由（1）得任取，則若，則故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)同理若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增（3）由題意由（2）知故的取值范圍是19.已知函數(shù)是偶函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式以及偶函數(shù)的定義可求得實數(shù)的值；（2）利用函數(shù)與方程的思想，把函數(shù)與的圖象有公共點的問題轉(zhuǎn)化成方程有解的問題，進而求得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)，得，又因為是偶函數(shù)，所以滿足，即，所以，即對于一切恒成立，所以，故；【小問2詳解】由得若函數(shù)與的圖象有公共點，等價于方程有解，即，所以，即方程在上有解，由指數(shù)函數(shù)值域可知，，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)，且.（1）若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且點在函數(shù)的圖像上，求實數(shù)的值；（2）已知，函數(shù).若的最大值為8，求實數(shù)的值.【答案】（1）4

（2）2

【解析】【分析】（1）先求出，將P點坐標代入即可求出a；（2）將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)條件即可算出a.【小問1詳解】由題意，將代入得：；【小問2詳解】，其中，令，則有，是關(guān)于t的開口向上，對稱軸為的拋物線，，并且，在上的最大值為，又；21.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）一個，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到在上單調(diào)遞減，再利用零點存在性定理和，，即可得到零點的個數(shù)；（2）將時，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)單調(diào)性求最小值得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值解不等式即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在上存在零點，且只有一個零點，所以只有一個零點.【小問2詳解】由題意得，當(dāng)時，不等式恒成立，等價于恒成立，即令，則，因為，，所以，則在上單調(diào)遞減，，令，因為，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，綜上可得的取值范圍為.22.設(shè)定義在實數(shù)集上的函數(shù),恒不為0,若存在不等于1的正常數(shù),對于任意實數(shù),等式恒成立,則稱函數(shù)為函數(shù).（1）若函數(shù)為函數(shù),求出的值；（2）設(shè),其中為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù).①比較與大??；②判斷函數(shù)是否為函數(shù),若是,請證明；若不是,試說明理由.【答案】（1）或；（2）①②是函數(shù)，證明見解析.【解