數(shù)據(jù)模型-第八章非線性優(yōu)化

非線性優(yōu)化的應(yīng)用投資組合管理優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策工廠位置的優(yōu)化8.1用一個(gè)非線性優(yōu)化模型定量描述一個(gè)管理問題我們將通過考察三個(gè)管理中的實(shí)例,介紹非線性優(yōu)化模型的應(yīng)用。這三個(gè)實(shí)例分別為:實(shí)例8.1:馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理。實(shí)例8.2:優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策。實(shí)例8.3:優(yōu)化設(shè)施位置。實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(1)

非線性優(yōu)化模型在資產(chǎn)管理行業(yè)中的應(yīng)用。公募基金,私募基金,券商集合理財(cái),社?；?保險(xiǎn)公司等構(gòu)造最優(yōu)資產(chǎn)組合。無論如何構(gòu)造資產(chǎn)組合都將面臨風(fēng)險(xiǎn),基金管理者希望達(dá)到兩個(gè)主要目標(biāo):*使投資組合收益的期望值達(dá)到最大化*使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小化投資者困境問題在實(shí)際情況中,這兩個(gè)目標(biāo)相互抵觸。也就是說,為了取得投資組合較高收益的期望值,需要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。相反,為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),投資組收益的期望值將會(huì)被減少。實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(2)

假設(shè)G先生是馬拉松投資公司的一名投資經(jīng)理。假設(shè)馬拉松投資公司正在構(gòu)造股票組合,可共選擇的三種股票分別為新通信,一般空間系統(tǒng),以及數(shù)字設(shè)備。馬拉松投資公司的金融分析師(通常畢業(yè)于金融工程專業(yè))已經(jīng)收集了數(shù)據(jù),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,獲得了這些股票收益的期望值,標(biāo)準(zhǔn)差,和相關(guān)系數(shù)信息。這些信息概括在表8.1中。實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(3)

表8.1股票名稱年期望收益(%)收益的標(biāo)準(zhǔn)差(%)相關(guān)系數(shù)新通信一般空間數(shù)字設(shè)備新通信11.04.004.000.160-0.395一般空間14.04.690.1604.690.067數(shù)字設(shè)備7.03.16-0.3950.0673.16實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(4)

概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的復(fù)習(xí)隨機(jī)變量,及隨機(jī)變量的期望值,標(biāo)準(zhǔn)差,相關(guān)系數(shù)的定義。隨機(jī)變量當(dāng)一個(gè)概率模型中的結(jié)果是數(shù)字時(shí),我們把這個(gè)不確定量稱做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量要么是離散隨機(jī)變量,要么是連續(xù)隨機(jī)變量。一個(gè)實(shí)例:考慮某飛機(jī)制造商。假設(shè)X表示該公司第二年將收到飛機(jī)的訂單數(shù)目。X的值是不確定的。因此,X是一個(gè)隨機(jī)變量。X的可能取值:42,43,44,45,46,47,48。X是離散隨機(jī)變量。假設(shè)Y表示北京下一個(gè)月降雨的厘米數(shù)量。Y的值是不確定的。然而,Y可以是0到15厘米之間的任何數(shù)值。Y不限于整數(shù)。因此,X是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量。實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(5)期望值離散隨機(jī)變量X的期望值為:

μx=E(X)=∑P(X=xi)×xi連續(xù)隨機(jī)變量Y的期望值為:

μy=E(Y)=∫y×f(Y)dY方差離散隨機(jī)變量X的方差計(jì)算公式為:VAR(X)=∑P(X=xi)×(xi-E(X))2連續(xù)隨機(jī)變量y的方差計(jì)算公式為: VAR(Y)=∫(

Y-E(Y))2×f(Y)dY標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為:

實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(6)實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(7)協(xié)方差與相關(guān)性設(shè)X和Y是兩個(gè)具有均值μX和μY的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量則X和Y的協(xié)方差被定義為COV(X,Y)=∑pi×(xi-μX)×(yi-μY)X和Y的協(xié)方差是對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量同步變化的一種度量。X和Y的相關(guān)性定義為:實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(8)實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(9)考察表8.1中的數(shù)據(jù)。投資于新通信股票獲得的年收益(或資金的年收益率)在投資時(shí)是一個(gè)未知數(shù),在某些年份會(huì)獲得高收益,而在某些年份會(huì)獲得低收益。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和對(duì)市場(chǎng)環(huán)境的研究,金融分析師能夠估計(jì)一種資產(chǎn),比如,新通信股票的平均年收益率,或年收益率的均值。分析師也能夠估計(jì)新通信股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差,估計(jì)結(jié)果是4.00%。分析師還估計(jì)出新通信股票與一般空間系統(tǒng)股票之間的相關(guān)系數(shù),為0.16,新通信股票與數(shù)字設(shè)備之間的相關(guān)系數(shù),為-0.395。實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(10)馬拉松投資公司想要確定投資三種股票的資金比例。我們定義下述決策變量:XA=投資于新通信股票的資金比例XG=投資于一般空間系統(tǒng)股票的資金比例XD=投資于數(shù)字設(shè)備股票的資金比例由于這些變量都是百分比,它們必須滿足約束條件:

XA+XG+XD=1設(shè)RA,RG和RD分別表示新通信,一般空間系統(tǒng)和數(shù)字設(shè)備的年收益率。設(shè)R表示三個(gè)股票組合的收益率,R可以被表示為:R=XARA+XGRG+XDRD由于RA,RG和RD都是隨機(jī)變量,因此R也是一個(gè)隨機(jī)變量。事實(shí)上,R是隨機(jī)變量RA,RG和RD的線性函數(shù),其期望值為:

E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(11)我們的目標(biāo)是使組合的年收益率最大化。我們定義σR為組合年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差,它是組合的風(fēng)險(xiǎn)大小的一種度量。如何計(jì)算σR?參見下述公式推導(dǎo)實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(12)將表8.1中的數(shù)據(jù)代入上式,整理后有:所以組合的標(biāo)準(zhǔn)差為:實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(13)假設(shè)我們希望組合的年收益不低于11%,如何選擇投資比例使的組合的風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小?其數(shù)學(xué)模型為:最小化:約束條件為:比例:目標(biāo)收益率:非負(fù)性:實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(14)上述非線性優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)就是投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差(度量投資組合風(fēng)險(xiǎn))。第一個(gè)約束條件是所有投資比例(共有3個(gè))之和必須等于1。第二個(gè)約束條件是投資組合的年期望值必須至少是11%。第三個(gè)約束條件是不可賣空

。注意到這是個(gè)非線性優(yōu)化問題,因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是決策變量XA,XG,XD的一個(gè)非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個(gè)問題,結(jié)果參見表8.2。

實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(15)表8.2股票名稱決策變量最優(yōu)比例新通信XA0.3769一般空間系統(tǒng)XG0.3561數(shù)字設(shè)備XD0.2670實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(16)根據(jù)表8.1中的數(shù)據(jù),組合的標(biāo)準(zhǔn)差(目標(biāo)函數(shù)值)為:實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(17)另外一種方案,假設(shè)馬拉松投資公司希望目標(biāo)為最大化組合的收益率,并滿足一個(gè)使組合的標(biāo)準(zhǔn)差限制在至多是一個(gè)預(yù)先給定的數(shù)值范圍內(nèi)(控制風(fēng)險(xiǎn))的約束。假設(shè),能夠容忍的標(biāo)準(zhǔn)差至多是3.1%。那么,產(chǎn)生的非線性優(yōu)化問題為:實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(18)最大化:約束條件為:比例:目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn):非負(fù)性:實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(19)在這個(gè)問題中,目標(biāo)函數(shù)是決策變量的一個(gè)線性函數(shù),但是其中一個(gè)約束條件是非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個(gè)問題,結(jié)果參見表8.3。組合年收益率的期望值將是:E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD=11.0(0.3782)+14.0(0.5339)+7.0(0.0879)=12.250%實(shí)例實(shí)例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(20)表8.3股票名稱決策變量最優(yōu)比例新通信XA0.3782一般空間系統(tǒng)XG0.5339數(shù)字設(shè)備XD0.0879實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(1)回顧GTC公司的生產(chǎn)計(jì)劃模型,參見第七章的實(shí)例7.2。在GTC的生產(chǎn)計(jì)劃問題中,公司想要選擇每天生產(chǎn)扳手和鉗子的產(chǎn)量,分別以

XW和XP表示,以使每日利潤(rùn)最大化。相應(yīng)的線性優(yōu)化模型為:最大化:

130XW+100XP

約束條件為:鋼鐵:1.5XW+1.0XP<=27澆鑄:1.0XW+1.0XP<=21裝配:0.3XW+0.5XP<=9扳手需求:XW<=15鉗子需求:XP<=16非負(fù)性:XW,XP>=0實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(2)線性優(yōu)化模型的假設(shè)為GTC是一個(gè)”價(jià)格接受者”,也就是說,GTC是家非常小的公司,以至不會(huì)影響扳手和鉗子的價(jià)格。假設(shè)GTC有非常大的市場(chǎng)份額,GTC是扳手和鉗子市場(chǎng)的”價(jià)格制定者”。市場(chǎng)對(duì)GTC的扳手和鉗子的需求是GTC所制定價(jià)格的函數(shù)。假設(shè),PW表示扳手的價(jià)格(以每千件美元表示),PP表示鉗子的價(jià)格(以每千件美元表示)。GTC估計(jì)設(shè)定的價(jià)格PW和PP對(duì)扳手和鉗子需求的影響可以表示為下述需求等式:DW=565.0-0.50PWDP=325.0-0.25PP其中DW和DP分別表示扳手和鉗子的需求。這兩個(gè)關(guān)系式將GTC設(shè)定的每件工具的價(jià)格與GTC面臨的每件工具的需求關(guān)聯(lián)起來。實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(3)所以,如果GTC設(shè)定每千件扳手的價(jià)格為PW=1,100美元,那么GTC面臨的需求為千件:DW=565.0-0.50X1,100=15.0我們注意到需求是價(jià)格的遞減函數(shù),既價(jià)格上升,需求就下降。表8.4給出了生產(chǎn)扳手和鉗子的單位(以千件為單位)成本。實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(4)表8.4扳手鉗子需求(千件)DW=565.0-.50PWDP=325.0-0.25PP單位成本(美元/千件)1,0001,200利潤(rùn)(美元/千件)PW-1,000PP-1,200實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(5)將扳手和鉗子的價(jià)格作為兩個(gè)新的決策變量,并將需求等式和生產(chǎn)成本加入到GTC的生產(chǎn)計(jì)劃模型中。目標(biāo)函數(shù)就變?yōu)?(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP扳手和鉗子的產(chǎn)量不可以超過它們的需求量:XW<=565.0-0.50PWXP<=325.0-0.25PP修改后的優(yōu)化模型是:實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(6)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP約束條件為:鋼鐵:1.5XW+1.0XP≤27澆鑄:1.0XW+1.0XP≤21裝配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW≤565.0-0.50PW鉗子需求:XP≤325.0-0.25PP非負(fù)性:XW,XP,PW,PP≥0重新安排后,我們有:實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(7)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP約束條件為:鋼鐵:1.5XW+1.0XP≤27澆鑄:1.0XW+1.0XP≤21裝配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW+0.50PW≤565.0鉗子需求:XP+0.25PP≤325.0非負(fù)性:XW,XP,PW,PP≥0實(shí)例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價(jià)決策(8)在這個(gè)模型中,所有約束都是決策變量XW,XP,PW,PP的線性函數(shù)。然而,目標(biāo)函數(shù)是決策變量的一個(gè)非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個(gè)問題的最優(yōu)解。最優(yōu)解:XW=13.818,XP=6.273,PW=1,102.36

,PP=1,274.91

。實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(1)假設(shè)一家公司想要選擇一個(gè)新的分發(fā)中心的地址,以便同時(shí)對(duì)位于A,B,C,D地區(qū)的四個(gè)銷售中心提供服務(wù)。圖8.1說明了在這個(gè)坐標(biāo)平面中每個(gè)銷售中心的相對(duì)位置。表8.5說明了從新的分發(fā)中心對(duì)每個(gè)銷售中心每天必須發(fā)送的卡車次數(shù),以及每個(gè)銷售中心在圖8.1中的坐標(biāo)值。假設(shè)對(duì)于分發(fā)中心和每個(gè)銷售中心之間,卡車的運(yùn)輸成本是每英里1.00美元。公司想要確定新分發(fā)中心的位置,以便用最低的運(yùn)輸成本為銷售中心提供服務(wù)。實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(2)16圖8.1四個(gè)銷售中心的位置14121086024246810121416ABCD實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(3)表8.5銷售中心每日卡車運(yùn)輸次數(shù)X坐標(biāo)值Y坐標(biāo)值A(chǔ)982B7310C3815D21413實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(4)構(gòu)造這個(gè)問題的非線性優(yōu)化模型。設(shè)P=(X,Y)是坐標(biāo)平面中的分發(fā)中心的位置。從P到銷售中心A的距離為:由于銷售中心A每天必須接受9輛卡車,那么從分發(fā)中心到銷售中心A的運(yùn)輸成本為:實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(5)以類似方法獲得從P到其他銷售中心A的運(yùn)輸成本。那么,有關(guān)決定分發(fā)中心位置(X,Y)的設(shè)施位置問題是:在這個(gè)模型中,決策變量X和Y沒有任何約束條件,目標(biāo)函數(shù)是X和Y的非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個(gè)問題的最優(yōu)解為:X=6.95,Y=7.47。最小化:實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(6)161412810642048121416BCDA圖8.2必須為于四邊形內(nèi)的分發(fā)中心的位置實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(6)考慮這個(gè)設(shè)施問題的一個(gè)更全面的解決方案。假設(shè)要求分發(fā)中心的位置限制在圖8.2中顯示的四邊形的區(qū)域內(nèi),那么分發(fā)中心位置問題可以表示為:最小化:約束條件為:X≥10Y≥5Y≤11X+Y≤24實(shí)例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(7)利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個(gè)問題的最優(yōu)解。

最優(yōu)解為:X

=10.0,Y=7.40最優(yōu)的日運(yùn)輸成本是308.45美元。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(1)我們研究非線性優(yōu)化問題的幾何圖形。約束條件為:P1:最小化8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(2)在問題P1中,如果決策變量X和Y滿足所有約束條件,則X和Y是一個(gè)可行解。所有可行解的集合被稱為可行域。非線性模型的最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)(最大值或最小值)值的可行解。我們通過將問題P1的所有約束條件繪制在二維平面上來獲得問題P1的可行域。第一個(gè)約束條件是:(X-8)2+(Y-9)2≤49首先繪制等式約束:(X-8)2+(Y-9)2=49它是圓心為于(8,9),半徑等于7的圓,參見圖8.3。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(3)

YX

138

1514圖8.3滿足約束(X-8)2+(Y-9)2≤49

98.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(4)從圖8.3中,我們可以看到滿足第一個(gè)約束條件,即(X-8)2+(Y-9)2≤49的點(diǎn)位于圓內(nèi)(包括圓周)的所有點(diǎn)。第二個(gè)約束條件X≥2是為于直線X=2右邊(包括直線)所有的點(diǎn)。第三個(gè)約束條件X≤13是為于直線X=13左邊(包括直線)所有的點(diǎn)。第四個(gè)約束條件X+Y≤24是為于直線X+Y=24下邊(包括直線)所有的點(diǎn)。那么問題P1的可行域如圖8.4所示。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(5)

YX1610圖8.4問題P1的可行域

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16

981412642

148.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(6)接下來,我們需要繪制目標(biāo)函數(shù)的等值線。對(duì)于問題P1,目標(biāo)函數(shù)為:這個(gè)函數(shù)的等值線是圓心都在點(diǎn)(14,14)的同心圓。我們將問題P1的目標(biāo)函數(shù)的等值線顯示在圖8.5中。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(7)

YX圖8.5問題P1的解的圖形表示

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92468101214168.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(8)從圖8.5可以看出P1問題的最優(yōu)解是與點(diǎn)(14,14)最近的可行域上的點(diǎn)。它是目標(biāo)函數(shù)的等值線與約束X+Y≤24相接觸的點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)一定在直線Y=X上,由此可以求出最優(yōu)解為X=12,Y=12。最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊界上。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(9)我們對(duì)問題P1修改后獲得問題P2。P2:最小化約束條件為:8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(10)問題P2的約束條件與問題P1的約束條件完全一樣。問題P2的目標(biāo)函數(shù)與問題P1的目標(biāo)函數(shù)具有相同公式形式。問題P2的目標(biāo)函數(shù)的等值線的中心點(diǎn)是(16,14)。問題P2的解的圖形標(biāo)識(shí)顯示在圖8.6中。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(11)

YX圖8.6問題P2的解的圖形表示

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9281216148.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(12)從圖8.6可以看出P2問題的最優(yōu)解是與點(diǎn)(16,14)最近的可行域上的點(diǎn)。它是目標(biāo)函數(shù)的等值線同時(shí)與約束X+Y≤24和約束X≤13相接觸的點(diǎn)。最優(yōu)解正好是邊角點(diǎn)。最優(yōu)解為X=13,Y=11。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(13)最后讓我們考慮第三個(gè)問題P3。

P3:最小化約束條件為:8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(14)這個(gè)問題P3的約束條件與問題P1和問題P2的約束條件完全一樣。問題P3的目標(biāo)函數(shù)與問題P1和問題P2的目標(biāo)函數(shù)具有相同公式形式。問題P3的目標(biāo)函數(shù)的等值線的中心點(diǎn)是(8,8)。問題P3的解的圖形標(biāo)識(shí)顯示在圖8.7中。這個(gè)問題的最優(yōu)解出現(xiàn)在點(diǎn)(8,8)位置。最優(yōu)解不在邊界上,滿足所有嚴(yán)格不等式。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(15)YX圖8.7問題P3的解的圖形表示

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12

8281416

108.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(16)根據(jù)以上的討論,我們得到一個(gè)非線性優(yōu)化模型算法的初步觀察。有關(guān)非線性優(yōu)化模型的圖形分析的兩個(gè)認(rèn)識(shí)。1.非線性優(yōu)化模型的最優(yōu)解不一定出現(xiàn)在可行域的”頂點(diǎn)”,甚至也不一定出現(xiàn)在可行域的邊界上。2.如果最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊界上,它一定處在可行域的邊界與目標(biāo)函數(shù)等值線相接觸的位置。8.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(17)局部與全局最優(yōu)解局部最優(yōu)解是在可行解附近(也稱為一個(gè)鄰域內(nèi))的所有可行點(diǎn)中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的一可行解。我們用一個(gè)例子說明局部最優(yōu)解,參見圖8.9。P4:最小化F(X)約束條件為:X≤7X≥28.2具有兩個(gè)變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(18)圖8.9

YX2735作業(yè)(3)P457練習(xí)8.2P457練習(xí)8.38.3非線性優(yōu)化模型的計(jì)算機(jī)求解(1)利用電子表格的規(guī)劃求解功能求解非線性優(yōu)化模型。考慮求解P3。P3:最小化約束條件為:8.3非線性優(yōu)化模型的計(jì)算機(jī)求解(2)根據(jù)EXCEL規(guī)劃求解的要求，將P1的決策變量，目標(biāo)函數(shù)，和約束條件輸入到EXCEL模板中。利用EXCEL規(guī)劃求解功能直接求解非線性優(yōu)化問題P1。參見下表。8.3非線性優(yōu)化模型的計(jì)算機(jī)求解(3)8.4非線性優(yōu)化模型的影子價(jià)格信息(1)在第七章,我們介紹了有關(guān)線性優(yōu)化問題的約束的影子價(jià)格的概念。非線性優(yōu)化問題的約束的影子價(jià)格的定義與線性優(yōu)化問題完全一樣。一個(gè)約束的影子價(jià)格是當(dāng)該約束的右邊項(xiàng)增加一個(gè)單位,而所有其他問題的數(shù)據(jù)保持不變時(shí)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值發(fā)生變化的數(shù)量?？梢酝ㄟ^EXCEL規(guī)劃求解中的靈敏度分析報(bào)告獲得。報(bào)告中的拉格朗日乘數(shù)就是影子價(jià)格。8.4非線性優(yōu)化模型的影子價(jià)格信息(2)在次考慮實(shí)例8.1中介紹的投資組合優(yōu)化問題。最小化約束條件為:比例目標(biāo)收益率非負(fù)性8.4非線性優(yōu)化模型的影子價(jià)格信息(3)表8.6是以上問題的一個(gè)電子表格的表示。利用EXCEL規(guī)劃求解軟件求解后的靈敏度分析報(bào)告在表8.7中。8.4非線性優(yōu)化模型的影子價(jià)格信息(4)表8.68.4非線性優(yōu)化模型的影子價(jià)格信息(5)表8.78.4非線性優(yōu)化模型的影子價(jià)格信息(6)根據(jù)表8.7中的數(shù)據(jù),約束條件”目標(biāo)收益率”的影子價(jià)格是0.4813。這意味著每增加一個(gè)單位的目標(biāo)收益率約束的右邊值,這個(gè)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值將以0.4813個(gè)單位的速度增加。目標(biāo)收益率約束的右邊值為11.0,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為2.4008%。如果目標(biāo)收益率約束的右邊值為11.0+Δ,那么最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值將會(huì)近似增加0.4813Δ。也就是說,新的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值將會(huì)近似等于:2.4008+0.4813Δ由于目標(biāo)函數(shù)是非線性函數(shù),這個(gè)公式是一個(gè)近似值,只對(duì)非常小的Δ有效。假設(shè)Δ=0.1,目標(biāo)收益率約束的右邊值從11.0增加到11.1,那么最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值等于:最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值=2.4008+0.4813(0.1)=2.44898.5投資組合優(yōu)化的深入討論(1)基本投資組合模型的擴(kuò)展基本投資組合模型可以以幾種方法進(jìn)行擴(kuò)展,比如,如果我們想要把投資組合看成一個(gè)高科技的投資組合。我們可以用一個(gè)約束條件來完成,至少70%的資金投資到計(jì)算機(jī)制造,即:XA+XD≥0.7有效邊界通過改變目標(biāo)收益率約束的右邊值(以前為11.0%),我們可以對(duì)不同的年收益率的期望值的模型進(jìn)行求解。表8.8列出了各種最優(yōu)解的信息。8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(2)表8.8年預(yù)期收益率(%)最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)差(%)最優(yōu)分配比例新通信一般空間系統(tǒng)數(shù)字設(shè)備8.01.89280.37550.08720.53739.01.89280.37550.08720.537310.02.01620.37620.21360.410211.02.40080.37690.35610.267012.02.94740.37770.49850.123813.03.59010.33330.66670.000014.04.69040.00001.00000.00008.5投資組合優(yōu)化的深入討論(3)根據(jù)表8.8中的第一列和第二列的數(shù)據(jù)繪制圖形,我們就可獲得三種股票組合的有效邊界。這個(gè)圖形顯示在圖8.8中。管理者可以利用有效邊界決定收益率的期望值和可以接受的組合風(fēng)險(xiǎn)。8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(4)1.5%2%3.5%7%14%8%作業(yè)（4）P458練習(xí)8.5P459練習(xí)8.7P459練習(xí)8.88.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(1)EPCF私募基金基金管理公司需要開發(fā)出不同的基金產(chǎn)品以滿足客戶的需要。兩年前推出了固定收益基金。上一季度推出了籃籌股基金(EPCF)。EPCF是由五家上市公司(波音,?？松?通用,麥當(dāng)勞,和寶潔)和一個(gè)指數(shù)基金(標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)基金)構(gòu)成。投資比例是根據(jù)上一季度的一個(gè)投資組合優(yōu)化模型來進(jìn)行選擇的。投資組合優(yōu)化模型是對(duì)于一個(gè)給定的投資風(fēng)險(xiǎn)水平下,使投資組合的收益率的期望值最大化。。。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(2)資產(chǎn)組合,預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)差資產(chǎn)分配是通過分配給投資于N種(N=6)資產(chǎn)中對(duì)每種資產(chǎn)投資的資金額(美元等貨幣)的比例來創(chuàng)建的。表8.10給出了一個(gè)有關(guān)EPCF投資于每種資產(chǎn)比例的一個(gè)實(shí)例。表8.10資產(chǎn)波音?？松ㄓ名湲?dāng)勞寶潔SP500基金比例0.10.20.250.050.150.258.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(3)從表8.10中我們注意到投資組合的確比例之和等于1,通常我們也稱這個(gè)比例為投資組合權(quán)重。設(shè)Xi表示資產(chǎn)i的投資組合權(quán)重,其中,i=1,2,…,N。這些權(quán)重必須滿足:∑Xi=1.0在大多數(shù)應(yīng)用中,投資組合權(quán)重必須是非負(fù)的,也就是說,要求有:Xi≥0,i=1,2,…,N在一個(gè)典型的投資組合的構(gòu)成中,管理人的目標(biāo)是是使投資組合的年收益率最大化,同時(shí)使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小化。投資組合的”收益率是投資組合的年收益率的期望值。為了度量這種投資組合的收益率的期望值,我們需要獲得投資組合中每種資產(chǎn)的年收益率的期望值數(shù)據(jù)。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(4)表8.11給出了未來一年里6種資產(chǎn)的年收益率的期望值(以年%)和年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差(以年%)的估計(jì)值。這些估計(jì)值由專業(yè)人員(金融工程師)通過結(jié)合相關(guān)的市場(chǎng)數(shù)據(jù)庫,基本的統(tǒng)計(jì)分析,專業(yè)判斷以及管理層對(duì)市場(chǎng)的直觀認(rèn)識(shí)?？紤]表8.11中波音公司的數(shù)據(jù)。設(shè)B表示投資于波音公司股票在未來一年里的年收益率。那么,B是一個(gè)隨機(jī)變量,即一年之后的收益率可能是任何一個(gè)數(shù)值,但是B的期望值是每年12.6904%,標(biāo)準(zhǔn)差是每年19.05455%。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(5)表8.11資產(chǎn)年收益率的期望值(%)年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差(%)波音12.6960419.05455?？松?.9217012.03149通用11.8072524.79470麥當(dāng)勞13.5490621.69084寶潔13.4590621.80891SP500基金13.0429511.710338.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(6)如果資產(chǎn)i的年收益率的期望值是μi,并且資產(chǎn)i的投資組合權(quán)重是Xi,其中,i=1,2,…,N。那么投資組合的年收益μ的期望值的計(jì)算公式為:

μ=∑μiXi投資組合的風(fēng)險(xiǎn)就是投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。為了計(jì)算投資組合標(biāo)準(zhǔn)差,我們需要獲得投資組合中每種資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù),以及不同資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)。表8.12包含不同資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(7)表8.12波音?？松ㄓ名湲?dāng)勞寶潔SP500基金波音1.000000.205590.219020.435230.258490.49609?？松?.205591.000000.115220.302490.210950.56073通用0.219020.115221.000000.32526-1.176820.36528麥當(dāng)勞0.435230.302490.325261.000000.149530.59082寶潔0.258490.21095-1.176820.149531.000000.55053SP500基金0.496090.560730.365280.590820.550531.000008.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(8)一般說來,如果資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的收益率的相關(guān)矩陣為CORR(i,j),其中,i=1,2,…,N,j=1,2,…,N;如果資產(chǎn)i的標(biāo)準(zhǔn)差為σi,其中,i=1,2,…,N;如果資產(chǎn)i的投資組合權(quán)重是Xi,其中,i=1,2,…,N。那么投資組合的方差為:

σ2=∑∑σiσjCORR(i,j)XiXj合因此,投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差為:8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(9)用于EPCF的投資組合的優(yōu)化模型上一極度由BJ先生創(chuàng)立,用于計(jì)算每種資產(chǎn)的權(quán)重。模型為:最大化:約束條件為:比例:標(biāo)準(zhǔn)差:最大的單個(gè)數(shù)值:Xi,其中,i=1,2,…,6非負(fù)性:Xi≥0

,其中,i=1,2,…,68.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(10)EPCF的基金經(jīng)理在上一個(gè)季度初期就已經(jīng)計(jì)算了EPCF投資組合的投資組合權(quán)重,參見表8.13的第二行。由于這個(gè)季度期間股票價(jià)格發(fā)生了變化,在這個(gè)季度末期,重新EPCF投資組合的投資組合權(quán)重,參見表8.13的第三行。資產(chǎn)波音?？松ㄓ名湲?dāng)勞寶潔SP500基金初始比例0.1