理論力學(xué)-理力講稿2力系簡(jiǎn)化

第2章力系的簡(jiǎn)化TheoreticalMechanics第一篇靜力學(xué)主講郭翔

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第2章力系的簡(jiǎn)化2.1匯交力系2.2力偶系2.3任意力系2.4重心目錄

TheoreticalMechanics

第2章力系的簡(jiǎn)化2.1匯交力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics2.1匯交力系2.1.1幾何法

設(shè)匯交于A點(diǎn)的力系由n個(gè)力Fi（i=1,2,…,n）組成，記為F1、F2、…、Fn。根據(jù)平行四邊形法則，將各力依次兩兩合成，F(xiàn)R為最后的合成結(jié)果，即合力。匯交力系合力的矢量表達(dá)式為匯交力系的合成結(jié)果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和確定，作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。

返回首頁(yè)TheoreticalMechanicsF1FRFR2FR1F4F3F2例：用力多邊形法則，求四個(gè)力組成的平面匯交力系的合力。使各力首尾相接，其封閉邊即為合力FR。2.1匯交力系2.1.1幾何法

返回首頁(yè)OTheoreticalMechanics幾點(diǎn)討論

合力矢FR與各分力矢的作圖順序無(wú)關(guān)。各分力矢必須首尾相接。合力從第一個(gè)力矢的始端指向最后一個(gè)力矢的末端。按力的比例尺準(zhǔn)確地畫(huà)各力的大小和方向。2.1匯交力系2.1.1幾何法

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結(jié)論

平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用線通過(guò)各力的匯交點(diǎn)。2.1匯交力系2.1.1幾何法

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics匯交力系各力Fi和合力FR在直角坐標(biāo)系中的解析表達(dá)式由合力投影定理得到匯交力系合力的大小和方向余弦合力作用線過(guò)匯交點(diǎn)。2.1匯交力系2.1.2解析法

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第2章力系的簡(jiǎn)化2.2力偶系

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TheoreticalMechanics

大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的兩個(gè)力稱為力偶。

二力作用線所決定的平面稱為力偶的作用平面，兩作用線的垂直距離d稱為力偶臂。

力偶是一種基本力學(xué)量，力偶對(duì)剛體的作用，只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶是一種特殊的力系。

返回首頁(yè)2.2.1力偶與力偶矩2.2力偶系

TheoreticalMechanics設(shè)rBA和rAB分別表示圖中的矢徑和，矢量M=rBA×F=rAB×F

稱為力偶(F,F)的力偶矩矢量，簡(jiǎn)稱為力偶矩矢。

在圖中空間任取一點(diǎn)O，則A、B兩點(diǎn)的矢徑，用rA、rB表示，

rBA=rA–rB。力偶對(duì)O點(diǎn)之矩

MO(F,F')=MO(F)+MO(F')=rA×F+rB×F'=(rA–rB)×F=rBA×F

所以

MO(F,F')=M

力偶的性質(zhì)

返回首頁(yè)2.2.1力偶與力偶矩2.2力偶系

TheoreticalMechanics(1)力偶矩矢量M與矩心的選擇無(wú)關(guān)，因而是一個(gè)自由矢量。(2)決定力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的轉(zhuǎn)向。(3)因?yàn)榱ε季厥甘亲杂墒噶?，在保持這一矢量的大小和方向不變的條件下，可以在空間任意移動(dòng)力偶矩矢量而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果，稱為力偶的等效性。力偶對(duì)剛體的作用完全決定于力偶矩矢。

返回首頁(yè)2.2.1力偶與力偶矩2.2力偶系

TheoreticalMechanics力偶矩在平面問(wèn)題中視為代數(shù)量，記為M

M=±Fd

正負(fù)號(hào)分別由力偶的轉(zhuǎn)向決定。力偶的等效性：現(xiàn)計(jì)算組成力偶的兩個(gè)力對(duì)任一點(diǎn)力矩之和，即

返回首頁(yè)2.2.1力偶與力偶矩2.2力偶系

設(shè)剛體上作用力偶矩矢M1、M2、…、Mn

，根據(jù)力偶的等效性，將各力偶矩矢平移至圖中的任一點(diǎn)A，力偶系合成結(jié)果為一合力偶。TheoreticalMechanics天津大學(xué)2.2力偶系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics天津大學(xué)合力偶矩矢在各直角坐標(biāo)軸上的投影其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和

對(duì)于平面力偶系M1、M2、…、Mn，合成結(jié)果為該力偶系所在平面內(nèi)的一個(gè)力偶，合力偶矩M為各力偶矩的代數(shù)和2.2力偶系

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第2章力系的簡(jiǎn)化2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics2.3任意力系2.3.1力的平移定理M+M力的平移定理

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics結(jié)論力的平移定理：作用于剛體上的力F，可以平移至同一剛體的任一點(diǎn)O，但必須增加一個(gè)附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F對(duì)于平移點(diǎn)O之矩，即M=r×F=MO(F)2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics天津大學(xué)逆過(guò)程：當(dāng)一個(gè)力與一個(gè)力偶的力偶矩矢垂直時(shí)，該力與力偶可合成為一個(gè)力，力的大小和方向與原力相同，但其作用線平移。力平移的方向?yàn)?/p>

×M的方向，平移的距離為。2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics2.3.2力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢和主矩

設(shè)剛體上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。2.3任意力系

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任選一點(diǎn)O稱為力系的簡(jiǎn)化中心。依據(jù)力的平移定理，將力系中諸力向O點(diǎn)平移。

得作用于O點(diǎn)的一匯交力系F1、F2、…、Fn和一力偶系M1、M2、…、Mn。TheoreticalMechanics

將匯交力系與力偶系合成，得到作用于簡(jiǎn)化中心O的力矢F'R與力偶矩矢MO

稱為該力系的主矢MO稱為該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩。2.3.2力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢和主矩2.3任意力系

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結(jié)論

任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為作用于該點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，這個(gè)力偶是力系的主矩，等于各力對(duì)該點(diǎn)之矩的矢量和。

主矢的大小、方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，稱為力系的第一不變量。主矩的大小、方向與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。2.3.2力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢和主矩2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics2.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析1.力系簡(jiǎn)化為合力偶M其大小、方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)2.力系簡(jiǎn)化為合力(1)力系簡(jiǎn)化為通過(guò)簡(jiǎn)化中心O的合力FRF'R=0，MO≠0力偶矩M=MO=∑MO(Fi)F'R≠0，MO=0FR=F'R=∑Fi

2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics(2)進(jìn)一步合成為一合力F'R≠0，MO≠0，且F'R

MO=0，即F'R⊥MO

合力作用線沿F'R×MO方向偏離簡(jiǎn)化中心O一段距離

OO'=d=2.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2.3任意力系

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如果在簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)上建立直角坐標(biāo)系Oxyz，合力FR作用點(diǎn)O’的矢徑用r表示。由MO=r×FR可確定合力FR的作用線。其解析表達(dá)式為2.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2.3任意力系

返回首頁(yè)xyzOxyzOTheoreticalMechanics3.力系簡(jiǎn)化為力螺旋F'R≠0，MO≠0，且F'R與MO成任意角

將正交分解為和

可看成是與的組合

與

是二平衡力，可移去。2.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2.3任意力系

返回首頁(yè)xyzOO'TheoreticalMechanics簡(jiǎn)化結(jié)果為力螺旋。將移到O'作用線沿F'R×MO偏移d，d=2.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2.3任意力系簡(jiǎn)化過(guò)程圖

返回首頁(yè)xyzOO'xyzOO'dTheoreticalMechanics

力螺旋也是一種最簡(jiǎn)單的力系。如果F'R與MO同向，即F'R

MO＞0，稱為右力螺旋；如果F'R與MO反向，即F'R

MO＜0時(shí)，稱為左力螺旋。力F'R的作用線稱為力螺旋的中心軸。4.力系平衡F'R=0，MO=02.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2.3任意力系

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結(jié)論力系的簡(jiǎn)化結(jié)果：力系簡(jiǎn)化為一合力偶M。

力系簡(jiǎn)化為作用于簡(jiǎn)化中心O的合力FR。

力系簡(jiǎn)化為作用于O'的合力FR。力系簡(jiǎn)化為力螺旋。平衡力系。2.3.3力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics例題2.3任意力系

例圖示力系中F1＝100N，F(xiàn)2＝F3＝100N，F(xiàn)4＝300N，a＝2m，試求此力系合成結(jié)果。

(F4的作用點(diǎn)有誤）解：以O(shè)為簡(jiǎn)化中心主矩則力系主矢，方向沿z軸向下 2m

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics所以力系簡(jiǎn)化為左螺旋2m例題2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics2.3.4平面任意力系的簡(jiǎn)化2.3任意力系

返回首頁(yè)結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可以得到一力和一力偶；該力作用于簡(jiǎn)化中心，其大小及方向等于平面力系的主矢，該力偶之矩等于平面力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩。主矢F'R與主矩MO視為代數(shù)量，而且F'R⊥MO。平面任意力系的最終簡(jiǎn)化結(jié)果：平衡、合力偶和合力三種情形。TheoreticalMechanics2.3.4平面任意力系的簡(jiǎn)化2.3任意力系

返回首頁(yè)當(dāng)MO≠0時(shí)，力系有合力FR=F’R，其偏移O點(diǎn)的距離OO’=d=，偏移的方向由MO的轉(zhuǎn)向來(lái)確定。合力作用線方程：TheoreticalMechanics

例膠帶運(yùn)輸機(jī)傳動(dòng)滾筒的半徑R=0.325m，由驅(qū)動(dòng)裝置傳來(lái)的力偶矩M=4.65kNm，緊邊帶張力FT1＝19kN，松帶張力FT2＝4.7kN，帶包角為210°，坐標(biāo)位置如圖a)所示，試將此力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化。解：（1）先求主矢量例題2.3任意力系

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics主矢量的大小為主矢量的方向（2）再求主矩

由于主矩為零，故力系的合力FR即等于主矢量，即合力FR的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。例題2.3任意力系

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例為校核重力壩的穩(wěn)定性，需要確定出在壩體截面上所受主動(dòng)力的合力作用線，并限制它和壩底水平線的交點(diǎn)E與壩底左端點(diǎn)O的距離不超過(guò)壩底橫向尺寸的2/3，即。重力壩取1m長(zhǎng)度，壩底尺寸b＝18m，壩高H=36m，壩體斜面傾角＝70°。已知壩身自重W=9.0×103

kN，左側(cè)水壓F1=4.5×103

kN，右側(cè)水壓力F2=180

kN，F(xiàn)2力作用線過(guò)E點(diǎn)。各力作用位置的尺寸a＝6.4m，h＝10m，c＝12m。試求壩體所受主動(dòng)力的合力、合力作用線方程，并判斷壩體的穩(wěn)定性。F2TheoreticalMechanics例題2.3任意力系

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解：選O為簡(jiǎn)化中心，建立圖示坐標(biāo)系Oxy。圖示=90°＝20°。力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化為F2FRMO主矢F'R

主矩MOF2FRMOTheoreticalMechanics例題2.3任意力系

返回首頁(yè)力系的合力FR＝FR。合力作用線方程y=0，得x=11.40，即合力作用線與壩底交點(diǎn)至壩底左端點(diǎn)O的距離x=11.40m

。

該重力壩的穩(wěn)定性滿足設(shè)計(jì)要求FR

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第2章力系的簡(jiǎn)化2.4重心

返回首頁(yè)TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的簡(jiǎn)化·平行力系的中心

返回首頁(yè)平行力系的簡(jiǎn)化也是空間力系簡(jiǎn)化的一種特殊情形平行力系的最終簡(jiǎn)化結(jié)果：平衡、合力偶和合力情形平行力系中的力可用代數(shù)量表示平行力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)其主矢和主矩總是互相垂直TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的簡(jiǎn)化·平行力系的中心

返回首頁(yè)在平行力系中的各力的作用點(diǎn)位置均已知的情形下，還可以求出合力作用點(diǎn)的具體位置。根據(jù)合力矩定理，得TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的簡(jiǎn)化·平行力系的中心

返回首頁(yè)對(duì)于平面平行力系來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)化后的主矢與主矩都退化為代數(shù)表達(dá)式如果MO≠0，一定有合力FR，F(xiàn)R=F'R，作用線偏離O點(diǎn)的距離OO'=d=，偏移的方向由MO轉(zhuǎn)向決定。（這個(gè)結(jié)論是否有漏洞？力偶情形呢？）TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的簡(jiǎn)化·平行力系的中心

返回首頁(yè)沿直線的分布載荷是工程實(shí)際中常見(jiàn)的一種平行力系需要知道這種分布載荷的合力大小及作用線位置圖中AB線段上作用垂直分布載荷其合力大小即ABba載荷圖形的面積。合力作用點(diǎn)即平行力系中心的x坐標(biāo)即ABba載荷圖形形心的x坐標(biāo)。TheoreticalMechanics2.4重心2.4.1平行力系的簡(jiǎn)化·平行力系的中心

返回首頁(yè)可知：對(duì)于沿直線分布的垂直分布載荷來(lái)說(shuō)，其合力的大小等于分布載荷圖形的面積，合力作用線則通過(guò)該圖形的形心。例求圖示分布載荷的合力及對(duì)A點(diǎn)之矩。解：將分布載荷圖形分成兩個(gè)三角形，每個(gè)三角形載荷合力大小分別為：作用線位置如圖示。整個(gè)分布載荷的合力大小為TheoreticalMechanics2.4重心例題

返回首頁(yè)由伐里農(nóng)定理，總體分布載荷對(duì)A點(diǎn)之矩：TheoreticalMechanics2.4.2物體的重心2.4重心

返回首頁(yè)重心：物體所受的重力是一種體積分布力。不論物體如何放置，其重力的合力作用線相對(duì)于物體總是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心。重心C的矢徑式中的ΔPi可以是物體中任一部分的重量，而不僅限于微元體。對(duì)由簡(jiǎn)單形體組成的物體，可用這種方法求重心，稱為分割法。TheoreticalMechanics2.4.2物體的重心2.4重心

返回首頁(yè)重力P對(duì)y軸之矩重力P對(duì)x軸之矩將物體連同坐標(biāo)系統(tǒng)x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90

重力P對(duì)z軸之矩重心坐標(biāo)公式TheoreticalMechanics2.4.2物體的重心2.