第四章-波動(dòng)上

§4-5機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播天線發(fā)射出電磁波水波地震波造成的損害聲波波動(dòng)的共同特征反射折射干涉衍射4-5-1機(jī)械波的產(chǎn)生條件機(jī)械波是機(jī)械振動(dòng)狀態(tài)在彈性介質(zhì)中的傳播過程由無窮多的質(zhì)元通過相互之間的彈性力組合在一起的連續(xù)介質(zhì)。彈性介質(zhì)：uxy1.波源；2.能夠傳播機(jī)械振動(dòng)的彈性介質(zhì)。產(chǎn)生機(jī)械波的兩個(gè)條件：兩種類型的機(jī)械波：橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波動(dòng)的傳播方向垂直。波形特征：波峰波谷存在波峰和波谷。縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波動(dòng)的傳播方向相平行波形特征：

存在相間的稀疏和稠密區(qū)域。4-30稠密稀疏聲波是一種縱波t=00481620············12·················t=T/4·····················t=T/2································t=3T/4·······················t=T····················:波長

一.波是振動(dòng)的傳播質(zhì)元并未“隨波逐流”，波的傳播不是媒質(zhì)質(zhì)元的傳播(2)“上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)(3)

某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻于“下游”某處出現(xiàn)---波是振動(dòng)狀態(tài)（能量）的傳播二.波是相位的傳播沿波的傳播方向,各質(zhì)元的相位依次落后。當(dāng)某一點(diǎn)相位落后于前一點(diǎn)2時(shí)，該點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)與前一點(diǎn)一致，稱兩點(diǎn)同相位?！ぁbxxu傳播方向圖中b點(diǎn)比a點(diǎn)的相位落后四.波形曲線(波形圖):空間周期性t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波形圖

不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)有不同的波形曲線oxuy三.波是能量的傳播：

波形曲線能反映橫波、縱波的位移情況4-5-2波動(dòng)過程的描述波線：表示波的傳播途徑和方向的有向線段。波面：振動(dòng)相位相同的點(diǎn)所構(gòu)成的面。波陣面（波前）：在最前面的那個(gè)波面。球面波波線波前波面平面波波線波面波前在各向同性的均勻介質(zhì)中，波線總是與波面垂直。平面波的波面與波線在各向同性媒質(zhì)中波線和波面垂直波面波線球面波的波面與波線波面波線在各向同性媒質(zhì)中波線和波面垂直描述波動(dòng)的物理量：波長：同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2π的質(zhì)點(diǎn)之間的距離。

周期T：波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需的時(shí)間。頻率：單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)前進(jìn)距離中完整波長的個(gè)數(shù)。波速：振動(dòng)狀態(tài)（或相位）在空間的傳播速度。1.液體和氣體B為容變彈性模量，為質(zhì)量密度。理想氣體：液體和氣體內(nèi)只能傳播縱波，不能傳播橫波。在彈性介質(zhì)中，波速取決于介質(zhì)的特性。2.固體橫波：G為切變彈性模量?？v波：Y為楊氏彈性模量。3.繩索中的波速F為張力，為線密度。結(jié)論：波速由彈性媒質(zhì)性質(zhì)決定，頻率（或周期）則由波源的振動(dòng)特性決定。4-6-1平面簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式1.一維平面簡諧波表達(dá)式的建立O點(diǎn)的振動(dòng)方程：P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)在時(shí)間上落后于O點(diǎn)：平面簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式：因?yàn)棣?2kl角波數(shù)在數(shù)值上等于2π長度上的完整波數(shù)目坐標(biāo)為x的質(zhì)元振動(dòng)相位比原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)相位落后了。結(jié)論：波長標(biāo)志著波在空間上的周期性。結(jié)論：隨著x值的增大，即在傳播方向上，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。這是波動(dòng)的一個(gè)基本特征。用旋轉(zhuǎn)矢量推導(dǎo)波函數(shù)：設(shè)0點(diǎn)的振動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量為yP點(diǎn)的振動(dòng)落后于0點(diǎn)所以對(duì)應(yīng)的矢量與y軸的夾角為P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的諧振動(dòng)方程為平面諧波的相位一維平面簡諧波表達(dá)式的物理意義：（1）當(dāng)x=x

0（常數(shù)）時(shí)質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式：yto表示x0

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（2）當(dāng)t=t0（常數(shù)）時(shí)：各質(zhì)元的位移分布函數(shù)：yxo表示在t=t0時(shí)刻的波形xy左邊：t時(shí)刻，x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移。右邊：t+t時(shí)刻，x+ut處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移。t時(shí)刻，x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)t時(shí)間傳到了x+ut處。結(jié)論：(3)

t

與x都發(fā)生變化:(4)如看定某一相位,即令

(t-kx)=常數(shù)相位傳播的速度即為波速(5)表達(dá)式也反映了波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播y(x+x,t+t)=y(x,t)其中x=u

t

xytt+t空間周期性x=uttyx0x0+x時(shí)間周期性t=x/u(6)

表達(dá)式還反映了波的時(shí)間、空間雙重周期性

空間周期性T時(shí)間周期性簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播：若已知的振動(dòng)點(diǎn)不在原點(diǎn)，而是在x0點(diǎn)，則只要將各波動(dòng)表達(dá)式中的x換為（x-x0）即可。注：此時(shí)假設(shè)參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為

[例1]以P點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。解：yxPoudπωyp=Acost)(2Acosxtπ)(ω2=-uy[-d]p=π2φx振動(dòng)從Ｐ點(diǎn)傳播到x點(diǎn)所需的時(shí)間為：任一點(diǎn)x處的振動(dòng)方程為：

[例2]波速

u=400m/s,t=0s時(shí)刻的波形如圖所示,寫出波動(dòng)方程。y(m)p453解2ox(m)t=0(o點(diǎn))==Ay022v0＞0{=yvppt0(p點(diǎn))=0＜0{π3=φ0得：2=φπp得：3=φπ0φφπλp=20dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)yπ=04cos)cm(200π3tλ==ω2πππν2002u==24004πS1()y(m)p4532ox(m)π2=φp[例3]如圖所示是沿X軸傳播的平面余弦波在t時(shí)刻的波形曲線。1.若波沿＋X軸方向傳播，該時(shí)刻o、A、B、C點(diǎn)的振動(dòng)位相是多少？2.若沿－X軸方向傳播，上述各點(diǎn)的振動(dòng)相位又是多少？XyoABCuy解：當(dāng)沿＋X軸方向傳播時(shí)1.(1)(2)、y(3)、yxyoABCu(4)y2.當(dāng)沿－X軸傳播時(shí):yoABCu[例4]一平面諧波波函數(shù)為y=0.1cos(6t+0.05x)(SI),求（1）當(dāng)t=0.1s時(shí)，原點(diǎn)與最近一個(gè)波谷的距離；（2）此波谷何時(shí)通過原點(diǎn)？解：（1）t=0.1s時(shí)，波谷的坐標(biāo)x滿足方程：距離原點(diǎn)最近的波谷坐標(biāo)為（2）x=8m處的波谷運(yùn)動(dòng)到x=0處所需的時(shí)間為此波谷通過原點(diǎn)的時(shí)刻為[例5]一平面諧波在介質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右傳播，已知在傳播路徑上某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為y=3cos(4t－)(SI)，另一點(diǎn)D在A點(diǎn)右方9m處。求（1）若取x軸方向向左，并以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出波動(dòng)方程，并求出D點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）若取x軸方向向右，并以A點(diǎn)左方5m處的o點(diǎn)為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)，重新寫出波動(dòng)方程及D點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：(1)

如圖，任取一點(diǎn)P，可得波動(dòng)方程ADuyxpx解：(2)

如圖，任取一點(diǎn)P.ADuyxx5mP０例6.

已知t=0時(shí)的波形曲線為Ⅰ，波沿ox方向傳播，經(jīng)t=1/2s后波形變?yōu)榍€Ⅱ。已知波的周期T>1s，試根據(jù)圖中給出的條件求出波的表達(dá)式，并求A點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：波速：y(cm)x(cm)123456ⅠⅡ1cmA0原點(diǎn)振動(dòng)方程：初始條件：y(cm)x(cm)123456ⅠⅡ1cmA0波動(dòng)方程：A點(diǎn)振動(dòng)方程：y(cm)x(cm)123456ⅠⅡ1cmA0A點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：初始條件：波動(dòng)表達(dá)式：y(cm)x(cm)123456ⅠⅡ1cmA0法二：例7.有一平面簡諧波沿x軸方向傳播，在距反射面B為L處的振動(dòng)規(guī)律為y=Acost，設(shè)波速為u，反射時(shí)無半波損失，求入射波和反射波的波動(dòng)方程。解：入射波方程：反射波方程：xoBxLuu4-6-2波動(dòng)方程將平面簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式對(duì)t和x求導(dǎo)比較上述兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)波動(dòng)方程：4-6-3波的能量波動(dòng)的過程是能量傳播的過程平面簡諧縱波在直棒中傳播：1.動(dòng)能：質(zhì)元的振動(dòng)速度：質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能：2.勢(shì)能：可以證明彈性勢(shì)能：比較動(dòng)能與勢(shì)能；結(jié)論：在波動(dòng)過程中，任一質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能相等，且同相位變化。質(zhì)元的機(jī)械能：能量密度：單位體積介質(zhì)中的波動(dòng)能量。動(dòng)能能量密度：勢(shì)能能量密度：平均能量密度：結(jié)論：機(jī)械波的能量與振幅的平方、頻率的平方以及媒質(zhì)的密度成正比。wk、w

p均隨t周期性變化(1)固定x

物理意義：

任一時(shí)刻：wk=wp

(2)固定twk、w

p隨x周期分布y=0wkwp最大y最大wkwp為0oyxwkwpt=t0u(1/4)2A2oyTtwkwpx=x0(1/4)2A2對(duì)比：簡諧振動(dòng)的能量曲線yxwk=wp=0以細(xì)繩為例wk=wp=wkmax

關(guān)于波的能量：(1)任何質(zhì)量元的動(dòng)能和勢(shì)能不僅最大值（平均值）相等，而且瞬時(shí)值始終相等。兩者同位相。在平衡位置處動(dòng)能和勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大值，而在最大位移處同時(shí)達(dá)到最小值（零）。波動(dòng)的勢(shì)能正比于形變量dy2，而不是位移y2。

ytt+txEk~(dy/dt)2,