自動(dòng)控制原理04(拉氏變換)

§2-1動(dòng)態(tài)微分方程式的編寫(xiě)③機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)例：彈簧---質(zhì)量---阻尼系統(tǒng)輸入外力輸出位移

阻尼系數(shù)，與運(yùn)動(dòng)方向相反1編輯ppt§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1.概念對(duì)于非本質(zhì)非線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，假設(shè)系統(tǒng)工作過(guò)程中，其變量的變化偏離穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)增量很小，各變量在工作點(diǎn)處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是可將非線性函數(shù)（數(shù)模）在工作點(diǎn)的某一鄰域展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，忽略高次（二次以上）項(xiàng)，便可得到關(guān)于各變量近似線性關(guān)系，我們稱(chēng)這一過(guò)程為非線性系統(tǒng)(數(shù)模)的線性化。2編輯ppt2.數(shù)學(xué)描述設(shè)系統(tǒng)的輸入為x(t),輸出為y（t），且滿足y(t)=f(x),其中f(x)為非線性函數(shù)。設(shè)t=t0時(shí)，x=x0,y=y0為系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)（x0,y0）,§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化3編輯ppt§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化當(dāng)|x-xo|很小時(shí)，忽略其二階以上各項(xiàng)，得：在該穩(wěn)定工作點(diǎn)處將f(x)泰勒展開(kāi)為：即：4編輯ppt也即：是線性化模型例：將上例流體運(yùn)動(dòng)非線性方程線性化如：可將非線性特性在處線性化§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化5編輯ppt即有：去掉即為線性化方程。不難看出線性化方程與工作點(diǎn)有關(guān)，工作點(diǎn)不同，方程就不同。代入原方程得：§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化6編輯ppt自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析一、典型輸入信號(hào)為了對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析、比較，給出了幾種典型輸入信號(hào)

①階躍輸入定義如下0tAxrA=1時(shí)稱(chēng)為單位階躍信號(hào)對(duì)于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動(dòng)量；對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，相當(dāng)于加一突變的給定位置信號(hào)。7編輯ppt§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析②斜坡（勻速）輸入A0txr(t)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)加入一按恒速變化的位置信號(hào)，該恒速度為A。8編輯ppt§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析③拋物線（勻加速）輸入xr(t)0t相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)加入一按恒加速度變化的位置信號(hào)，該恒加速度為A。9編輯ppt§3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析④脈沖函數(shù)當(dāng)A=1，ε∞時(shí)

稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)δ（t）

，其面積為1δ（t）

εt0ε1⑤正弦函數(shù)用正弦函數(shù)作輸入信號(hào)，可以求得系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。10編輯ppt拉普拉斯變換(Laplace變換)拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的應(yīng)用11編輯ppt

在數(shù)學(xué)中，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，常常采用一種變換手段，所謂積分變換，就是通過(guò)積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。積分變換包括拉普拉斯（Laplace）變換和傅立葉（Fourier）變換。這里只研究Laplace變換，討論他的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用。12編輯ppt在所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為設(shè)函數(shù)當(dāng)有意義,而且積分（是一個(gè)復(fù)參量）

稱(chēng)上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),一、拉普拉斯變換的概念=?13編輯ppt二、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換

例2求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解

?例1求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換

解

?14編輯ppt例3求函數(shù)的拉氏變換

解

?

例4求單位斜坡函數(shù)的拉氏變換

解

?

15編輯ppt例5正弦函數(shù)16編輯ppt是周期為當(dāng)在一個(gè)周期上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí),則有周期函數(shù)的拉普拉斯變換

這是求周期函數(shù)拉氏變換公式

的周期函數(shù),即可以證明:若?

17編輯ppt（1）線性性質(zhì)三拉氏變換的幾個(gè)重要定理（2）微分定理（3）積分定理（4）實(shí)位移定理（5）復(fù)位移定理（6）初值定理（7）終值定理（終值確實(shí)存在時(shí)）?18編輯ppt《自動(dòng)控制原理》國(guó)家精品課程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所19應(yīng)用拉氏變換的終值定理求注意拉氏變換終值定理的適用條件：事實(shí)上：的極點(diǎn)均處在復(fù)平面的左半邊。不滿足終值定理的條件。

19編輯ppt四拉氏反變換（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）例1已知，求解.20編輯ppt1利用拉普拉斯變換表和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換

一些常用函數(shù)的拉氏變換21編輯ppt《自動(dòng)控制原理》國(guó)家精品課程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所22典型信號(hào)的拉氏變換（2）22編輯ppt2.用留數(shù)法分解部分分式一般有其中：設(shè)I.當(dāng)無(wú)重根時(shí)23編輯ppt例2已知，求解.例3已知，求解.24編輯pptII.當(dāng)有重根時(shí)(設(shè)為m重根，其余為單根)25編輯ppt例5已知，求解.26編輯ppt常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法

利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問(wèn)題,其基本步驟如下:（1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對(duì)微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程;（2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù);（3）對(duì)象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.27編輯ppt例17求微分方程滿足初始條件的解

解設(shè)?對(duì)方程兩邊取拉氏變換,并考慮到初始條件,則得解得所以28編輯ppt用L變換方法解線性常微分方程0初條件n>m:特征根（極點(diǎn)