第三章 光纖模式理論

第三章光纖模式理論

ModeTheoryforOpticalFibers

編輯課件主要內(nèi)容階躍折射率光纖中的場模式弱導(dǎo)光纖中的線偏振模光波導(dǎo)中模式的普遍性質(zhì)波導(dǎo)橫向非均勻性的微擾法處理縱向非均勻性與模式耦合方程編輯課件直角坐標(biāo)（x,y,z）柱坐標(biāo)（r,,z）基矢坐標(biāo)系編輯課件波動光學(xué)光波導(dǎo)理論邏輯過程Maxwell方程邊界條件波動方程場的解邊界條件特征方程場的解傳輸常數(shù)模場分布編輯課件一.階躍折射率光纖中的場模式光纖的對稱性與柱坐標(biāo)系下的波動方程縱向均勻光波導(dǎo)中場的縱橫關(guān)系

Bessel方程及其解階躍光纖中矢量模的場分布矢量模的特征方程、模式分類與命名規(guī)則矢量模的特性曲線模式的截止特性、基模與光纖的單模工作條件矢量模在光纖橫截面上的場分布與光功率密度分布編輯課件結(jié)構(gòu)階躍型光纖折射率剖面Stepindexn1n2ab編輯課件j=1,2芯層，包層（r,,z）為柱坐標(biāo)系波動方程(柱坐標(biāo))Helmholtz編輯課件把E=Er+E+Ez代入到波動方程，并在柱坐標(biāo)系下展開柱坐標(biāo)系下，橫場滿足的方程十分復(fù)雜，除Ez、Hz外，其它橫向分量都不滿足標(biāo)量的亥姆霍茲方程。因而矢量解法是從解Ez、Hz的標(biāo)量亥姆霍茲方程入手，再通過場的橫向分量與縱向分量的關(guān)系，求其他分量。

橫場縱場編輯課件縱橫關(guān)系縱向均勻、無損、z向傳輸場分布形式傳輸因子編輯課件對稱性的波動方程光纖的圓對稱性電磁場沿方向為駐波解編輯課件對稱性的波動方程光纖的圓對稱性電磁場沿方向為駐波解m階Bessel方程m階虛宗量Bessel方程編輯課件m階Bessel方程m階虛宗量Bessel方程m階Bessel方程m階虛宗量Bessel方程編輯課件Bessel方程的解m階Bessel方程m階虛宗量Bessel方程編輯課件貝塞爾方程的解Nm(0)=Im()=芯層包層Bessel函數(shù)虛宗量Bessel函數(shù)Neumann函數(shù)虛宗量Neumann函數(shù)Ez連續(xù)：F1|r=a=F2|r=a編輯課件貝塞爾函數(shù)性質(zhì)J函數(shù)編輯課件貝塞爾函數(shù)性質(zhì)N函數(shù)編輯課件貝塞爾函數(shù)性質(zhì)I函數(shù)編輯課件貝塞爾函數(shù)性質(zhì)K函數(shù)編輯課件貝塞爾函數(shù)遞推關(guān)系(了解，會用)編輯課件電磁場的縱向分量編輯課件電磁場的橫向分量由“縱橫關(guān)系式”得到返回編輯課件導(dǎo)模條件泄漏模和輻射模橫向約束橫向輻射傳輸常數(shù)編輯課件方向分量連續(xù)E|r=aH|r=a特征方程光纖中電磁場模式的特征方程——由橫向電場和磁場的邊界條件得到

編輯課件不同的模式m=0E0=0,Ez=0,

TE模H0=0,Hz=0,

TM模TE模TM模編輯課件混合模特征方程HE模EH模編輯課件HE模：EH模：m反映了模場分布隨方位角變化情況，n為特征方程根的序號編輯課件-V特性曲線編輯課件矢量模的截止特性W=0,U=Vc,歸一化截止頻率截止條件特征方程歸一化截止頻率W0Km(W)的小宗量近似：編輯課件TE模TM模特征方程W0UVc截止時的特征方程截止頻率Vc不為0!!!TE0n,TM0n的截止頻率最小值TE01,TM01編輯課件EHmn的截止頻率特征方程W0UVc截止時的特征方程截止頻率最小值EH11編輯課件HE1n的截止頻率特征方程W0UVc截止時的特征方程截止頻率最小值HE11!!!編輯課件HEmn的截止頻率(m>1)特征方程W0UVc截止時的特征方程編輯課件模式的歸一化截止頻率及低階模的Vc值單模條件單模條件：編輯課件-V特性曲線編輯課件

矢量模特性曲線1.每一條曲線代表一個模式2.當(dāng)光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作頻率給定時，光纖的歸一化頻率一定，此時，各傳導(dǎo)模式具有特定的傳輸常數(shù)。3.V越大，光纖中支持的導(dǎo)模數(shù)量越多。4.單模傳輸條件編輯課件矢量模的橫向場分布橫向場分量橫向場分布功率密度分布電力線方程EErEtrA編輯課件橫向場分布電力線與磁力線（實線：電力線，虛線：磁力線）編輯課件矢量模的橫向光功率密度低階模橫向光功率密度/光強分布編輯課件TM01TE01HE21TM01TE01HE21TE01HE21TM01TE01HE21HE11HE11HE21編輯課件二、弱導(dǎo)光纖中的線偏振模

弱導(dǎo)光纖中存在線偏振(LP)模的可能性階躍折射率光纖的標(biāo)量近似解法

LP模的場分布與特征方程

LP模的構(gòu)造

LP模的截止特性與特性曲線

光纖的功率限制因子導(dǎo)模、輻射模與泄漏模編輯課件縱向場分量橫向場分量橫向分量大，縱向分量?。菏噶糠ǖ睦щy橫向分量形式復(fù)雜除HE11模外，各傳導(dǎo)模式的橫向場分量在光纖橫截面上具有非常復(fù)雜的偏振特性，分析起來困難。相對折射率差編輯課件弱導(dǎo)近似

弱導(dǎo)近似：0，n1n2光纖芯子和包層的折射率非常接近，對光波導(dǎo)的分析會大為簡化，這種光纖稱為弱導(dǎo)光纖。編輯課件弱導(dǎo)光纖的特點（1）光纖中傳輸?shù)碾姶艌龇浅＝咏跈M電磁波（TEM波）或均勻平面波。因此，電磁波在弱導(dǎo)光纖中傳輸時其橫向場基本上沿同一方向極化，并保持不變?！谌鯇?dǎo)近似的條件下，光纖中支持線偏振模LP（LinearlyPolarizedMode)編輯課件弱導(dǎo)光纖的特點（2）

弱導(dǎo)光纖中，磁場的橫向分量可以由電場的橫向分量運算得出。，波阻抗編輯課件線偏振模——橫場

對于弱導(dǎo)光纖，可以通過適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，使得滿足Helmholtz方程：編輯課件線偏振模——橫場

編輯課件Ey,Hx線偏振?！v場縱橫關(guān)系編輯課件縱向分量與特征方程切向分量連續(xù)z分量特征方程二式等價LPmn模編輯課件矢量模特征方程的弱導(dǎo)近似弱導(dǎo)近似編輯課件EHmn，TE0n，TM0nHEmn非弱導(dǎo)形式非弱導(dǎo)形式矢量模在弱導(dǎo)近似下的特征方程編輯課件LPmn模mm-1EHm-1,nmm+1HEm+1,nHEmn模TE0n,TM0nm=1LP1nHE2nm=0HE1nLP0nm>1矢量模與標(biāo)量模的對應(yīng)關(guān)系EHmn(m≠0),TE0n，TM0n(m=0)模編輯課件標(biāo)量模=矢量模的迭加表3.2與線偏振模對應(yīng)的矢量模及其簡并度和歸一化頻率編輯課件弱導(dǎo)光纖中模式的簡并性在n1n2的弱導(dǎo)近似條件下，矢量?？梢苑譃橐幌盗心Ｊ浇M，每一組內(nèi)的矢量模具有完全相同的特征方程，因而從其傳輸特性來看，這些模式是簡并的，它們的傳輸相速度相同，可以證明，每一個線偏振模均由一組簡并的矢量模疊加而成。編輯課件場的迭加編輯課件截止特性W0截止特性LP0n模LPmn模編輯課件單模條件LP01模的歸一化截止頻率為10，10=0，不截止！??！LP11模的歸一化截止頻率為01，01=2.4048V<2.4048只有LP01模傳輸——基模單模條件矢量模結(jié)論編輯課件b：歸一化傳輸常數(shù)接近截止時，W0，b0遠(yuǎn)離截止時，U0，b1光纖結(jié)構(gòu)+工作波長V

b~V歸一化傳輸常數(shù)編輯課件b~V曲線b~V曲線編輯課件b~V曲線與-V曲線-V曲線b~V曲線編輯課件光纖中的功率流縱向功率流密度Sz芯層包層編輯課件功率限制因子光纖芯層中傳輸?shù)墓夤β逝c光纖中傳輸?shù)目偣β手确从彻饫w的導(dǎo)光能力或?qū)獾募s束能力功率限制因子定義編輯課件~V特性曲線編輯課件輻射模和泄漏模截止條件下，離散的、復(fù)數(shù)，非正常波形。傳導(dǎo)模離散，每一個導(dǎo)模對應(yīng)一個，滿足橫向諧振條件。輻射模連續(xù)，包層中出現(xiàn)輻射形式的解，產(chǎn)生橫向輻射不滿足全反射條件，不滿足任何橫向諧振條件。泄漏模編輯課件波動光學(xué)光波導(dǎo)理論邏輯過程Maxwell方程邊界條件波動方程場的解邊界條件特征方程場的解傳輸常數(shù)模場分布復(fù)習(xí)編輯課件復(fù)習(xí)光纖模式理論矢量法標(biāo)量法1.嚴(yán)格解法近似解法前提：弱導(dǎo)近似n1=n2橫向分量大，縱向分量?。篢EM波，均勻平面波編輯課件矢量法標(biāo)量法復(fù)習(xí)3.利用滿足光纖邊界條件的Maxwell方程求解

弱導(dǎo)近似條件下，求解橫場滿足的標(biāo)量Helmholtz方程2.解法煩瑣，結(jié)果復(fù)雜,不易分析導(dǎo)波特性易于分析，結(jié)果簡單Helmholtz方程編輯課件矢量法標(biāo)量法復(fù)習(xí)4.Ez,HzEt=eyEy

Ht=exHx編輯課件矢量法標(biāo)量法復(fù)習(xí)縱橫關(guān)系Ez,HzEr,E,Hr,H特征方程模式分類截止特性Ez,Hz縱橫關(guān)系Et=eyEy

Ht=exHx5.編輯課件矢量法特征方程復(fù)習(xí)6.方向分量連續(xù)E|r=aH|r=a特征方程編輯課件標(biāo)量法特征方程切向分量連續(xù)z分量特征方程二式等價復(fù)習(xí)編輯課件矢量法模式分類復(fù)習(xí)TE0n模：E0=0,m=0,TM0n模:H0=0,m=0,HEmn模：EHmn模：H0>>E0E0>>H0編輯課件標(biāo)量法模式構(gòu)造復(fù)習(xí)標(biāo)量模=矢量模的迭加編輯課件矢量模的截止特性W=0,U=Vc,歸一化截止頻率截止條件特征方程歸一化截止頻率W0Km(W)的小宗量近似：復(fù)習(xí)編輯課件矢量模的截止特性模式的歸一化截止頻率及低階模的Vc值單模條件：復(fù)習(xí)編輯課件-V特性曲線復(fù)習(xí)基模：HE11編輯課件W0截止特性標(biāo)量模的截止特性特征方程歸一化截止頻率W0表3.2與線偏振模對應(yīng)的矢量模及其簡并度和歸一化頻率V<2.4048單模條件復(fù)習(xí)編輯課件b~V曲線b~V曲線只有LP01模傳輸——基模復(fù)習(xí)b：歸一化傳輸常數(shù)編輯課件三、光波導(dǎo)中模式的普遍性質(zhì)

模式的完備性及其物理含義

模式的正交性及其物理含義

2的穩(wěn)定性及其含義編輯課件模式的完備性和光場展開任意縱向均勻無損光波導(dǎo)，波導(dǎo)中的總電磁場可以表示為波導(dǎo)所支持的各導(dǎo)模和輻射模的迭加完備性光波導(dǎo)中的模式能完全反映其中的電磁場而且模式之間互相獨立，正交！光場展開編輯課件

模式的完備性和光場展開n不同模式P=+,-正反向傳輸?shù)哪Ｊ捷椛淠Ｔ谄溥B續(xù)譜上的積分各模式的激發(fā)系數(shù)編輯課件

(m,q）&（n,p）正交性m,n模式序號q,p模式傳播方向（+，-）編輯課件正交性任意縱向均勻無損光波導(dǎo)積分遍及整個波導(dǎo)橫截面結(jié)論：不同模式之間彼此正交。導(dǎo)模與輻射模之間、輻射模之間均正交

編輯課件

正交性任意縱向均勻無損光波導(dǎo)結(jié)論：正反向傳輸?shù)耐荒Ｊ街g也彼此正交。編輯課件模式的正交性表明：在縱向均勻無損光波導(dǎo)中，模式是相互獨立傳輸?shù)摹８髂Ｊ街g不發(fā)生能量的交換和耦合。沿正反方向傳輸?shù)耐粋€模式也如此！編輯課件LP模的正交性編輯課件任意模式正交性的證明縱向均勻的任意兩個模式：（m,q）&（n,p）Maxwell方程*編輯課件波導(dǎo)橫截面S積分二維散度定理S的邊界l的外法線方向S足夠大邊界上的電磁場可忽略mn或pq0m=n且p=q(n,p)功率的4倍任意模式正交性的證明編輯課件LP模正交性的證明標(biāo)量波動方程*波導(dǎo)橫截面S積分二維散度定理mn或pq0m=n且p=q(n,p)功率的2倍任意兩個線偏振模編輯課件2弱導(dǎo)光波導(dǎo)中，任意線偏振模場n，滿足標(biāo)量波動方程波導(dǎo)橫截面S積分二維散度定理0模式傳輸常數(shù)的平方可以由相應(yīng)的模式場分布得到編輯課件2的穩(wěn)定性二維散度定理0編輯課件

結(jié)論：對于場分布的微小變化，2是穩(wěn)定的2的穩(wěn)定性編輯課件四、波導(dǎo)橫向非均勻性的微擾法處理

微擾法的基本思想

光波導(dǎo)問題的一階微擾近似編輯課件橫向非均勻性n1n2ab橫向折射率非均勻分布波導(dǎo)界面不規(guī)則微擾法統(tǒng)一處理尋找一個波導(dǎo)結(jié)構(gòu)與橫向非均勻波導(dǎo)結(jié)構(gòu)相近，模場解已知，用已知解近似描述難解之解！編輯課件微擾法兩個相近的弱導(dǎo)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)：1、可解2、不可解折射率分布模場分布傳輸常數(shù)折射率分布模場分布傳輸常數(shù)只有微小差異編輯課件微擾展開模式的完備性嚴(yán)格地，這里沒有寫出輻射模在連續(xù)譜上的積分？*橫截面上積分？編輯課件m=n正交性一階微擾近似一階微擾近似編輯課件差異甚小，一階近似即可！必要時，需要高階微擾處理！一階微擾解編輯課件五、波導(dǎo)縱向非均勻性與模式耦合

縱向非均勻問題

耦合模方程編輯課件緩慢變化縱向非均勻性光波導(dǎo)的縱向不均勻：人為引入；制作不完善；z理想波導(dǎo)—均勻?qū)嶋H波導(dǎo)—不均勻折射率分布模場分布傳輸常數(shù)差異甚微緩變函數(shù)編輯課件模式的完備性緩變函數(shù)乘橫截面積分模式正交性模式展開編輯課件耦合方程耦合系數(shù)：模式（m,q）（n,p）之間的振幅耦合系數(shù)模式耦合方程?。?！編輯課件縱向非均勻性引起了各傳導(dǎo)模式之間的耦合。模式耦合：非正規(guī)光波導(dǎo)，由于存在縱向非均勻性，因此無嚴(yán)格的模式存在。但是，仍可以找到某一個正規(guī)光波導(dǎo)，使得非正規(guī)光波導(dǎo)內(nèi)的場可以展開為該正規(guī)光波導(dǎo)的一系列模式之和。光在光波導(dǎo)中傳輸?shù)目偣β什蛔儯请S著模式在波導(dǎo)內(nèi)的傳輸，各模式交換攜帶的能量，這種現(xiàn)象稱為模式耦合。關(guān)于波導(dǎo)縱向非均勻性的幾點說明編輯課件習(xí)題Page49.3.33.43.53.63.7編輯課件復(fù)習(xí)光纖模式理論矢量法標(biāo)量法1.嚴(yán)格解法近似解法前提：弱導(dǎo)近似n1=n2橫向分量大，縱向分量?。篢EM波，均勻平面波編輯課件矢量法標(biāo)量法復(fù)習(xí)3.利用滿足光纖邊界條件的Maxwell方程求解

弱導(dǎo)近似條件下，求解橫場滿足的標(biāo)量Helmholtz方程2.解法煩瑣，結(jié)果復(fù)雜,不易分析導(dǎo)波特性易于分析，結(jié)果簡單Helmholtz方程編輯課件矢量法標(biāo)量法復(fù)習(xí)4.Ez,HzEt=eyEy

Ht=exHx編輯課件矢量法標(biāo)量法復(fù)習(xí)縱橫關(guān)系Ez,HzEr,E,Hr,H特征方程模式分類截止特性Ex,Ez,Hy,Hz縱橫關(guān)系Et=eyEy

Ht=exHx5.編輯課件矢量法特征方程復(fù)習(xí)6.方向分量連續(xù)E|r=aH|r=a特征方程編輯課件標(biāo)量法特征方程切向分量連續(xù)z分量特征方程二式等價復(fù)習(xí)編輯課件矢量法模式分類復(fù)習(xí)TE0n模：E0=0,m=0,TM0n模:H0=0,m=0,HEmn模：EHmn模：H0>>E0E0>>H0編輯課件標(biāo)量法模式構(gòu)造復(fù)習(xí)標(biāo)量模=矢量模的迭加編輯課件矢量模的截止特性W=0,U=Vc,歸一化截止頻率截止條件特征方程歸一化截止頻率W0Km(W)的小宗量近似：復(fù)習(xí)編輯課件矢量模的截止特性模式的歸一化截止頻率及低階模的Vc值單模條件：復(fù)習(xí)編輯課件-V特性曲線復(fù)習(xí)基模：HE11編輯課件W0截止特性標(biāo)量模的截止特性特征方程歸一化截止頻率W0表3.2與線偏振模對應(yīng)的矢量模及其簡并度和歸一化頻率V<2.4048單模條件復(fù)習(xí)編輯課件b~V曲線b~V曲線只有LP01模傳輸——基模復(fù)習(xí)b：歸一化傳輸常數(shù)編輯課件模式的完備性和光場展開任意縱向均勻無損光波導(dǎo)，波導(dǎo)中的總電磁場可以表示為波導(dǎo)所支持的各導(dǎo)模和輻射模的迭加完備性光波導(dǎo)中的模式能完全反映其中的電磁場而且模式之間互相獨立，正交！展開n不同模式P=+,-正反向傳輸?shù)哪Ｊ捷椛淠Ｔ谄溥B續(xù)譜上的積分各模式的激發(fā)系數(shù)三、光波導(dǎo)中模式的普遍性質(zhì)編輯課件正交性任意縱向均勻無損光波導(dǎo)積分遍及整個波導(dǎo)橫截面導(dǎo)模與輻射模之間、輻射模之間均正交(m,q）&（n,p）編輯課件N個導(dǎo)模沿正向傳輸，波導(dǎo)中總的傳輸功率=Poynting矢量縱向分量在橫截面內(nèi)的積分傳輸功率模式的正交性表明：在縱向均勻無損光波導(dǎo)中，模式是相互獨立傳輸?shù)母髂Ｊ街g不發(fā)生能量的交換和耦合，沿正反方向傳輸?shù)耐粋€模式也如此！編輯課件LP模的正交性編輯課件任意模式正交性的證明縱向均勻的任意兩個模式：（m,q）&