人教A版高中數(shù)學(xué)選修《導(dǎo)數(shù)綜合練習(xí)題》

導(dǎo)數(shù)練習(xí)題1．（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的圖象如圖所示．（I）求c,d的值；（II）若函數(shù)f(x)在x2處的切線方程為3xy110，求函數(shù)f(x)的剖析式；（III）在（II）的條件下，函數(shù)yf(x)與y1f(x)5xm3的圖象有三個(gè)不相同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．2．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)alnxax3(aR)．（I）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（II）函數(shù)f(x)的圖象的在x4處切線的斜率為3,若函數(shù)1x3m]在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求2g(x)x2[f'(x)m的取值范圍．323．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x1處獲取極大值．（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若方程f(x)(2a3)2恰好有兩個(gè)不相同的根，求f(x)的剖析式；9（III）對(duì)于（II）中的函數(shù)f(x)，對(duì)任意、R，求證：|f(2sin)f(2sin)|81．4．（本小題滿分12分）已知常數(shù)a0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx，g(x)x2alnx．I）寫出f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間，并證明eaa；II）談?wù)摵瘮?shù)yg(x)在區(qū)間(1,ea)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．5．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)ln(x1)k(x1)1．I）當(dāng)k1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；II）若函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；6．（本小題滿分12分）已知x2是函數(shù)f(x)(x2ax2a3)ex的一個(gè)極值點(diǎn)（e2.718）．I）求實(shí)數(shù)a的值；II）求函數(shù)f(x)在x[3,3]的最大值和最小值．27．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)x24x(2a)lnx,(aR,a0)I）當(dāng)a=18時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；II）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,e2]上的最小值．8．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不擁有單調(diào)性．．．．（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g(x)f(x)622，試證明：對(duì)任意兩個(gè)不38|x1x相等正數(shù)x1、x2，不等式|g(x1)g(x2)|x2|恒成立．279．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.2（I）談?wù)摵瘮?shù)f(x)的單調(diào)性；（II）證明：若a5,則對(duì)任意x1,x2(0,),x1x2f(x1)f(x2),有1.x1x210．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)1x2alnx,g(x)(a1)x,a1．2I）若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[1,3]上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若a(1,e](e2.71828L)，設(shè)F(x)f(x)g(x)，求證：當(dāng)x1,x2[1,a]時(shí)，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．11．（本小題滿分12分）設(shè)曲線C：f(x)lnxex（e2.71828），f(x)表示f(x)導(dǎo)函數(shù)．I）求函數(shù)f(x)的極值；II）對(duì)于曲線C上的不相同兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2，求證：存在唯一的x0(x1,x2)，使直線AB的斜率等于f(x0)．12．（本小題滿分14分）定義F(x,y)(1x)y,x,y(0,)，（I）令函數(shù)f(x)F(3,log2(2xx24))，寫出函數(shù)f(x)的定義域；使（II）令函數(shù)g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))的圖象為曲線，若存在實(shí)數(shù)bC得曲線C在x0(4x01)處有斜率為－8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（III）當(dāng)x,yN*且xy時(shí)，求證F(x,y)F(y,x)．導(dǎo)數(shù)練習(xí)題答案1．（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的圖象如圖所示．（I）求c,d的值；（II）若函數(shù)f(x)在x2處的切線方程為3xy110，求函數(shù)f(x)的剖析式；（III）在（II）的條件下，函數(shù)yf(x)與y1f(x)5xm的圖象有三個(gè)不3同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)3ax22bxc3a2b（2分）（I）由圖可知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)（0，3），且f'(1)0得d3d3（4分）3a2bc3a2b0c0（II）依題意f'(2)3且f(2)5解得a1,b6所以f(x)x36x29x3（8分）（III）f(x)3x212x9．可轉(zhuǎn)變成：x36x29x3x24x35xm有三個(gè)不等實(shí)根，即：gxx37x28xm與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；gx3x214x83x2x4，+0-0+增極大值減極小值增g268m,g416m．（10分）327當(dāng)且僅當(dāng)g268m0且g416m0時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，327故而，16m68為所求．（12分）272．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)alnxax3(aR)．（I）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（II）函數(shù)f(x)的圖象的在x4處切線的斜率為3,若函數(shù)1x3m]在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求2g(x)x2[f'(x)m的取值范圍．32解：（I）f'(x)a(1x)(x0)（2分）x當(dāng)a0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,1,減區(qū)間為1,當(dāng)a0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為1,,減區(qū)間為0,1;當(dāng)a=1時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)（5分）（II）f'(4)3a32,f(x)2lnx2x34得a2g(x)1x3(m2)x22x,g'(x)x2(m4)x2（6分）32g'(1)0,g'(3)0.

m3,19,3)（8分）m19,（10分）m(（12分）333．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x1處獲取極大值．（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若方程f(x)(2a3)2恰好有兩個(gè)不相同的根，求f(x)的剖析式；9，對(duì)任意，求證：．（III）對(duì)于（II）中的函數(shù)f(x)、R)f(2sin)|81|f(2sin解：（I）f(0)0c0,f(x)3x22axb,f(1)0b2a3由f(x)0x1或x2a3，由于當(dāng)x1時(shí)獲取極大值，3所以2a31a3，所以a的取值范圍是:(,3)；3（4分）（II）由下表：+0-0-極大遞加值遞減極小值遞加a2依題意得：a6(2a3)2(2a3)2，解得：a9279所以函數(shù)f(x)的剖析式是：f(x)x39x215x（10分）（III）對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有22sin2,22sin2,在區(qū)間[-2，2]有：f(2)8363074,f(1)7,f(2)836302函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2]上的最大值與最小值的差等于81，所以|f(2sin)f(2sin)|81．（14分）4．（本小題滿分12分）已知常數(shù)a0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx，g(x)x2alnx．I）寫出f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間，并證明eaa；II）談?wù)摵瘮?shù)yg(x)在區(qū)間(1,ea)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：（I）fxex10，得f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是(0,)，（2分）( )∵a0，∴f(a)f(0)1，∴eaa1a，即eaa．（4分）2(x2a2a（II）g(x)2xa)(x)2a，列表22，由g(x)0，得xxx2-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞加當(dāng)x2a時(shí)，函數(shù)yg(x)取極小值g(2a)a(1lna)，無極大值．2222（6分）由（I）eae2aeaa，∴ea2aa，∵a，∴e2aa222g(1)10，g(ea)e2aa2(eaa)(eaa)0（8分）（i）當(dāng)2a1，即0a2時(shí)，函數(shù)yg(x)在區(qū)間(1,ea)不存在零點(diǎn)2（ii）當(dāng)2a1，即a2時(shí)2若a(1lna)0，即2a2e時(shí)，函數(shù)yg(x)在區(qū)間(1,ea)不存在零點(diǎn)22若a(1lna)0，即a2e時(shí)，函數(shù)yg(x)在區(qū)間(1,ea)存在一個(gè)零點(diǎn)xe；22若a(1lna)0，即a2e時(shí)，函數(shù)yg(x)在區(qū)間(1,ea)存在兩個(gè)零點(diǎn)；22綜上所述，yg(x)在(1,ea)上，我們有結(jié)論：當(dāng)0a2e時(shí)，函數(shù)f(x)無零點(diǎn)；當(dāng)a2e時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a2e時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．（12分）5．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)ln(x1)k(x1)1．I）當(dāng)k1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；II）若函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；解：（I）當(dāng)k1時(shí)，f(x)2xx1f(x)定義域?yàn)椋?，+），令f(x)0,得x2，（2分）∵當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)0，當(dāng)x(2,)時(shí),f(x)0，∴f(x)在(1,2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2,)上是減函數(shù)∴當(dāng)x2時(shí)，f(x)取最大值f(2)0（4IIk0時(shí)yln(x1)yk(x1)1f(x)811kkxk(x1k)k0時(shí)kk6f(x)x1xx11f(x)0,得xk1x(1,k1)時(shí),f(x)0,x(11,)時(shí),f(x)01kk1kf(x)在(1,1)在[1,)kkf(x)f(11)lnkkf(x)lnk0k1f(x)kk(1,)10612x2f(x)(x2ax2a3)exe2.718IaIIf(x)x[3,3]If(x)2(x2ax2a3)exf(x)(2xa)ex(x2ax2a3)ex[x2(2a)xa3]ex4x2f(x)f(2)0(a5)e20a56IIf(x)(x2)(x1)ex0f(x)(,1)(2,)f(x)0f(x)(1,2)f(2)e2f(x)x[3,3]82322323373f(3)3e37e13f()ef(3)ef( )44e(4ee7)0,f(3)f( )2422f(x)x[3,3]f(3)e3122714f(x)x24x(2a)lnx,(aR,a0)Ia=18f(x)IIf(x)[e,e2]f(x)x24x16lnxf'(x)2x4162(x2)(x4)2xxf'(x)0(x2)(x4)0x4x2注意到x0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是（4，+∞）由f'(x)0得(x2)(x4)0，解得-2＜x＜4，注意到x0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4].綜上所述，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（4，+∞），單調(diào)減區(qū)間是(0,4]6分（Ⅱ）在x[e,e2]時(shí)，f(x)x24x(2a)lnx所以f'(x)2x42a2x24x2a，xx設(shè)g(x)2x24x2a當(dāng)a0時(shí)，有△=16+4×2(2a)8a0，此時(shí)g(x)0，所以f'(x)0，f(x)在[e,e2]上單調(diào)遞加，所以f(x)minf(e)e24e2a8分當(dāng)a0時(shí)，△=1642(2a)8a0，令f'(x)0，即2x24x2a0，解得x12a或x12a；22令f'(x)0，即2x24x2a0，解得12ax12a.22①若12a≥e2，即a≥2(e21)2時(shí)，2f(x)在區(qū)間[e,e2]單調(diào)遞減，所以f(x)minf(e2)e44e242a.②若e12ae2，即2(e1)2a2(e21)2時(shí)間，2f(x)在區(qū)間[e,12a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[12a,e2]上單調(diào)遞加，22所以f(x)minf(12a)a2a3(2a)ln(12a).222③若12ae(e1)2時(shí)，f(x)在區(qū)間[e,e2]單調(diào)遞加，2≤，即0a≤2所以f(x)minf(e)e24e2a綜上所述，當(dāng)a≥2(e21)2時(shí)，f(x)mina44e242a；當(dāng)2(e1)2a2(e21)2時(shí)，f(x)mina2a3(2a)ln(12a)；22當(dāng)a2(e1)2時(shí)，f(x)mine24e2a14分≤8．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不擁有單調(diào)性．．．．（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g(x)f(x)62，試證明：對(duì)任意兩個(gè)不x2相等正數(shù)x1、x2，不等式|g(x1)g(x2)|38|x1x2|恒成立．27If(x)2x6a2x26xa2xxf(x)x(2,)x(2,)f(x)0y2x26xax(2,)4y2x26xax3y22262a02aIIIg(x)2x

(,4)622xx1g(x)2a20)f(x)x262xxx2(xa4g(x)2a42442x34x48x2x3x2x3x3h(x)2448124(2x3)x2x3h(x)x3x4x4333h(x)38h(x)(0,)(,)x22227g(x)38(g(x)38x)0yg(x)38x272727x1、x2x1x2g(x2)38x2g(x1)38x12727g(x2)g(x1)38(x2x1)x2x10g(x1)g(x2)3827x1x227g(x1)g(x2)38|g(x1)g(x2)|38|x1x2|12x1x227272M(x1,g(x1))N(x2,g(x2))yg(x)g(x1)g(x2)22(x1x2)aQx1x22x1x2a4x1x2x12x22x1x22(x1x2)a(4a(4482x12x22x1x2x1x2)3x1x22x1x2)3x1x22t1,t0kMNu(t)24t34t2u(t)4t(3t2)x1x2u(t)0t2,u(t)00t2,33u(t)(0,2)(2,)33u(t)t238u(t)38g(x1)g(x2)3832727x1x227|g(x1)g(x2)|3812|x1x2|27912已知函數(shù)f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.2（I）談?wù)摵瘮?shù)f(x)的單調(diào)性；（II）證明：若a5,則對(duì)任意x1,x2(0,),x1x2f(x1)f(x2)1.,有x2x1（1）f(x)的定義域?yàn)?0,)，f'(x)xaa1x2axa1(x1)(x1a)xxx2分（i）若a11,即a2，則f'(x)(x1)2.故f(x)在(0,)單調(diào)增加．（ii）若a11,而ax1,故1a2,則當(dāng)x(a1,1)時(shí),f'(x)0.當(dāng)x(0,a1)及x(1,)時(shí),f'(x)0,故f(x)在(a1,1)單調(diào)減少，在（0，a-1），(1,)單調(diào)增加．（iii）若a11,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)單調(diào)減少,在(0,1),(a1,)單調(diào)增加．（II）考慮函數(shù)g(x)f(x)x1x2ax(a1)lnxx.2由g'(x)x(a1)a12xa1(a1)1(a11)2.xx由于aa5,故g'(x)0,即g(x)在(0,)單調(diào)增加，從而當(dāng)x1x20時(shí)有故f(x1)f(x2)1，當(dāng)0x1x2時(shí)，有f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)1x1x2x1x2x2x110．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)1x2alnx,g(x)(a1)x,a1．2I）若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[1,3]上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（II）若a(1,e](e2.71828L)，設(shè)F(x)f(x)g(x)，求證：當(dāng)x1,x2[1,a]時(shí)，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．解：（I）f(x)xa,g(x)a1，（2x分）∵函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[1,3]上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，∴當(dāng)x[1,3]時(shí)，f(a1)(x2a)恒成立，（4分）(x)g(x)0x即(a1)(x2a)0恒成立，∴∵

a1在x[1,3]時(shí)恒成立，或a1在x[1,3]時(shí)恒成立，ax2ax29x1，∴a1或a9（6分）（II）F(x)1x2alnx,(a1)x，F(xiàn)(x)xa(a1)(xa)(x1)2xx∵F(x)定義域是(0,)，a(1,e]，即a1∴F(x)在(0,1)是增函數(shù)，在(1,a)實(shí)質(zhì)減函數(shù)，在(a,)是增函數(shù)∴當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)取極大值MF(1)a1，12當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)(x)取極小值mF(a)alnaa2a，（8分）2x,x2[1,a]，∴12)||Mm|Mm（10∵1|F(x)F(x分）設(shè)G(a)Mm1a2alna1，則G(a)alna1，22∴[G(a)]11，∵a(1,e]，∴[G(a)]0a∴G(a)alna1在a(1,e]是增函數(shù)，∴G(a)G(1)0∴G(a)1a2alna1在a(1,e]也是增函數(shù)（1222分）∴G(a)G(e)，即G(a)1e2e1(e1)21，222而1e2e1(e1)21(31)211，∴G(a)Mm12222∴當(dāng)x1,x2[1,a]時(shí)，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．（14分）11．（本小題滿分12分）設(shè)曲線C：f(x)lnxex（e2.71828），f(x)表示f(x)（I）求函數(shù)f(x)的極值；（II）對(duì)于曲線C上的不相同兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2x0(x,x)，使直線AB的斜率等于f(x)．的120

導(dǎo)函數(shù)．，求證：存在唯一1解：（I）f(x)x當(dāng)x變化時(shí)，

1ex1e0，得xxef(x)與f(x)變化情況以下表：＋0－單調(diào)遞加極大值單調(diào)遞減∴當(dāng)x1時(shí)，f(x)獲取極大值f(1)2，沒有極小值；（4ee分）（II）（方法1）∵f(x0)kAB，∴1elnx2lnx1e(x2x1)，∴x2x1lnx20x0x2x1x0x1即x0lnx2(xx)x121g(x1)x1lnx2(x2x1∵x1x2，∴g(x1)g(x)xlnx2(x222x1∵x1x2，∴g(x2)

0，設(shè)g(x)xlnx2x1)，g(x1)x1x1lnx2/x1g(x2)x2lnx2(x2x2x1)，g(x2)/lnx2x2x1g(x1)x1lnx1(x1x1

(x2x1)0，g(x1)是x1的增函數(shù)，x2)0；0，g(x2)是x2的增函數(shù)，x1)0，∴函數(shù)g(x)xlnx2(x2x1)在(x1,x2)內(nèi)有零點(diǎn)x0，（10x1分）又∵

x21,lnx20，函數(shù)g(x)xlnx2(x2x1)在(x1,x2)是增函數(shù)，x1x1x1∴函數(shù)g(x)x2x1lnx2在(x1,x2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x0，命題成立（12xx1分）（方法2）∵f(x0)kAB，∴1elnx2lnx1e(x2x1)，x0x2x1即x0lnx2x0lnx1x1x20，x0(x1,x2)，且x0唯一設(shè)g(x)xlnx2xlnx1x1x2，則g(x1)x1lnx2x1lnx1x1x2，再設(shè)h(x)xlnx2xlnxxx2，0xx2，∴h(x)lnx2lnx0∴h(x)xl