《離散型隨機(jī)變量的均值與方差》同步練習(xí) 全市一等獎(jiǎng)

《離散型隨機(jī)變量的均值與方差》同步練習(xí)一、選擇題1．(2022·廣東理，4)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為()X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝()\f(3,2) B．2\f(5,2) D．3[答案]A[解析]E(x)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).2．已知X～B(n，p)，EX＝8，DX＝，則n，p的值分別為()A．100和 B．20和C．10和 D．10和[答案]D[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝8，,np1－p＝，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝10，,p＝.))3．在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：90899095939493去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為()A．92,2 B．92,C．93,2 D．93,[答案]B[解析]去年一個(gè)最高分95與一個(gè)最低分89后，所得的5個(gè)數(shù)分別為90、90、93、94、93，所以eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq\f(460,5)＝92，s2＝eq\f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq\f(14,5)＝.二、填空題4．同時(shí)拋擲兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量ξ＝1表示結(jié)果中有正面向上，ξ＝0表示結(jié)果中沒(méi)有正面向上，則Eξ＝________.[答案][解析]本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，P(ξ＝1)＝eq\f(3,4)，P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，則Eξ＝1×eq\f(3,4)＋0×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＝.5．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X＝xi－1012P(X＝xi)abceq\f(1,12)若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.[答案]eq\f(5,12)eq\f(1,4)[解析]由分布列中概率滿足的條件可知a＋b＋c＋eq\f(1,12)＝1①，由均值和方差的計(jì)算公式可得－a＋c＋eq\f(1,6)＝0②，12×a＋12×c＋22×eq\f(1,12)＝1③，聯(lián)立①②③解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).三、解答題6．(2022·山東理，19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒(méi)有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.[解析](1)P＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＋eq\f(1,4)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)；(2)X＝0,1,2,3,4,5P(X＝0)＝eq\f(1,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝eq\f(1,4)Ceq\o\al(1,2)eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(1,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,3).X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)EX＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12)＝3eq\f(5,12).一、選擇題1．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1，且P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)，則Dξ＝()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,9) \f(2,9)[答案]D[解析]由題意知ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝1)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，故Dξ＝P(ξ＝1)[1－P(ξ＝1)]＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).2．(2022·湖北理，9)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()\f(126,125) \f(6,5)\f(168,125) \f(7,5)[答案]B[解析]P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)，∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).3．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下：環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)P(η＝k)其中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是()A．甲 B．乙C．一樣 D．無(wú)法比較[答案]B[解析]Eξ＝，Eη＝＝Eξ，Dξ＝，Dη＝<Dξ，乙穩(wěn)定．4．簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的6支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)．則X的均值為()A．5 B．C． D．[答案]B[解析]由題意可知，X可以取3、4、5、6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)；P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，∴EX＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝.5．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為d(a，b∈(0,1))，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為()\f(1,48) \f(1,24)\f(1,12) \f(1,6)[答案]B[解析]由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)·(eq\f(3a＋2b,2))2＝eq\f(1,6)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,24)，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)時(shí)取“等號(hào)”，故選B.二、填空題6．(2022·浙北名校聯(lián)盟聯(lián)考)一袋中裝有分別標(biāo)記著1,2,3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號(hào)最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X，Y，設(shè)ξ＝Y(jié)－X，則E(ξ)＝________.[答案]eq\f(4,3)[解析]由題意知ξ的取值為0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y(jié)，ξ＝1表示X＝1，Y＝2；或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.∴P(ξ＝0)＝eq\f(3,33)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(2×2×3,33)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2×3＋A\o\al(3,3),33)＝eq\f(4,9)，∴E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(4,3).7．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Pxy已知ξ的期望Eξ＝，則y的值為_(kāi)_______．[答案][解析]依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋＋＋y＝1，,7x＋＋＋10y＝，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝，,7x＋10y＝，))由此解得y＝.三、解答題8．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下：X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．[分析]一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下生產(chǎn)出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看次品數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大?。甗解析]工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的期望和方差分別為：EX＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝，DX＝(0－2×eq\f(6,10)＋(1－2×eq\f(1,10)＋(2－2×eq\f(3,10)＝；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的期望和方差分別為：EY＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝，DY＝(0－2×eq\f(5,10)＋(1－2×eq\f(3,10)＋(2－2×eq\f(2,10)＝.由EX＝EY知，兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但DX>DY，可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．9．(2022·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)下表是某市11月10日至23日的空氣質(zhì)量指數(shù)統(tǒng)計(jì)表，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇11月10日至11月21日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天(包括到達(dá)的當(dāng)天)．(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.日期10111213141516空氣質(zhì)量指數(shù)853056153221220150日期17181920212223空氣質(zhì)量指數(shù)859515012498210179[解析]設(shè)Ai表示事件“此人于11月i日到達(dá)該市”(i＝10,11，…，21)．根據(jù)題意，P(Ai)＝eq\f(1,12)，且Ai∩Aj＝?(i≠j)(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B＝A14∪A15，所以P(B)＝P(A12∪A15)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝P(A13∪A14)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝P(A11∪A16∪A17)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(A10)＝eq\f(1,12)，所以X的分布列為：X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,12)∴X的期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(5,4).D(X)＝(0－eq\f(5,4))2×eq\f(1,6)＋(1－eq\f(5,4))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(5,4))2×eq\f(1,4)＋(3－eq\f(5,4))2×eq\f(1,12)＝eq\f(11,16).10．(2022·湖南理，17)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將