2022-2023學年上海海事大學附屬北蔡高二年級上冊學期12月月考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年上海海事大學附屬北蔡高級中學高二上學期12月月考數(shù)學試題一、填空題1．如圖，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________.【答案】【分析】由直觀圖還原可得原圖形，根據(jù)斜二測畫法原則可求得原圖形的各邊長，由此可得結(jié)果.【詳解】由直觀圖還原可得原圖形為如圖所示的平行四邊形，其中，，，，原圖形的周長為.故答案為：.2．已知，直線，直線且與是異面直線，則與所成角的大小是__________.【答案】【分析】由異面直線所成角的定義及范圍即可得結(jié)果.【詳解】由直線，直線且與是異面直線，可得為異面直線與所成的角或補角，由于異面直線所成的角的范圍是，所以異面直線與所成的角為，故答案為.【點睛】本題主要考查了等角定理的應(yīng)用，異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.3．從同一點出發(fā)的四條直線最多能確定______個平面．【答案】6【分析】根據(jù)任意兩條相交直線都可以確定一個平面，把所有可能列出來即可.【詳解】設(shè)這四條直線分別為a，b，c，d，則有a與b，a與c，a與d，b與c，b與d，c與d，共6種情況，故答案為：64．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為___________.【答案】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，若，，，的方差為，則，，的方差為，計算即得答案.【詳解】根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差，則數(shù)據(jù)，，，的方差為；故答案為：.5．羊村村長慢羊羊決定從羊村派羊去割草，每只羊去割草都是相互獨立的，且每只羊被選中去割草的概率為，則喜羊羊、美羊羊、懶羊羊都去割草的概率為______．【答案】【分析】利用事件的獨立性直接計算即可.【詳解】由事件相互獨立，則，故答案為：6．直線m和平面所成角為，則直線m和平面內(nèi)任意直線所成角的取值范圍是_____【答案】【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義得到所成角的最小值為，由三垂線定理可得當該平面內(nèi)的直線與已知直線在平面內(nèi)的射影垂直時，所成角為，達到最大值．由此即可得到本題答案．【詳解】直線為，平面為，為內(nèi)的任意一條直線．根據(jù)直線與平面所成角的定義，可得與平面所成的角是與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，直線與平面內(nèi)的直線所成角的最小值為，當平面內(nèi)的直線與直線在平面內(nèi)的射影垂直時，，與也垂直，此時，所成的角，達到所成角中的最大值．因此，此直線與該平面內(nèi)任意一條直線所成角的取值范圍是.故答案為：.7．在北緯60°圈上有兩地，之間的球面距離為（為地球半徑），則兩地在此緯度圈上的弧長等于__________.【答案】【分析】本題目要將實際問題轉(zhuǎn)化為球面的問題，緯度指的是地面上某點與地心的連線與赤道面所成的線面角；球面距離是指經(jīng)過兩點以及球心這三點的圓上的一段劣弧長【詳解】設(shè)地球的球心為，球心角，因為球面距離為，根據(jù)球面距離的定義可得：，所以，所以是等邊三角形，弦長；設(shè)北緯60°所在的圓的半徑為，根據(jù)緯度的定義，則有，所以在北緯60°所在的圓中，,，所以為直徑，故答案為：8．空間四邊形兩對角線的長分別為6和8﹐所成的角為60°，連接各邊中點所得四邊形的面積是_______________.【答案】【分析】空間四邊形中，分別取、、、的中點、、、，連接、、、，則連接各邊中點所得四邊形的面積是，由此能求出結(jié)果．【詳解】如圖，空間四邊形中，兩對角線的長、的長分別為6和8，所成的角為，分別取、、、的中點、、、，連接、、、，則，且，，且，或，連接各邊中點所得四邊形的面積是：．故答案為：．9．如圖，正三角形，點、、分別為邊、、的中點，將三角形沿、、折起，使、、三點重合為點，則折起后與平面所成的角為______．【答案】【分析】先判斷所得幾何體的形狀，然后作出平面并判斷出線面角，結(jié)合線段長度求解出線面角的大小.【詳解】由條件可知所得幾何體為正三棱錐，過點作平面，則為底面的重心，如圖所示，因為重合，所以與平面所成的角即為，設(shè)正三角形的邊長為，所以，所以，且，所以，所以與平面所成的角為，故答案為：.10．如圖,在棱長為1的正方體中，點P在截面上，則線段AP的最小值等于________.【答案】【分析】由已知可得平面，可得為與截面的垂足時線段最小，然后利用等積法求解．【詳解】如圖，連接交截面于，由底面，可得，又，可得平面，則，同理可得，得到平面，此時線段最小，由棱長為1，可得等邊三角形的邊長為，，∵，∴，解得，故答案為.【點睛】本題主要考查點、線、面間的距離的求法，利用了等積法求距離，屬于中檔題．11．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是___________.【答案】36【分析】根據(jù)題中定義“正交線面對”的含義，找出正方體中“正交線面對”的組數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】如果一條直線與一個平面垂直，那么，這一組直線與平面就構(gòu)成一個正交線面對.如下圖所示：①對于正方體的每一條棱，都有個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有個；②對于正方體的每一條面對角線（如，則平面），均有一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有個.綜上所述，正方體中的“正交線面對”共有個.故答案為.12．一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數(shù)的圖象上，則此矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體的體積的最大值為_______________【答案】【分析】由題意知該幾何體是圓柱，，設(shè)（），則，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出的單調(diào)性，得出最大值，設(shè)，則，是方程的兩個解，由韋達定理求得，然后可用表示出圓柱的體積，從而求得最大值．【詳解】如圖，由題意知該幾何體是圓柱，，記（），則，，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，又，所以在上遞增，在上遞減，所以，，設(shè)，則，由，得，，，，圓柱體積為，所以，即時，．故答案為：．二、單選題13．從甲?乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：).根據(jù)數(shù)據(jù)估計（

）A．甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊B．乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊C．甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊D．乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊【答案】D【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布情況直接估計，即可得出正確的統(tǒng)計結(jié)論.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布情況，得乙種玉米的株高數(shù)據(jù)大部分分布在下方，所以平均數(shù)大；但甲種玉米數(shù)據(jù)的分布集中在中間位置，說明方差小，∴乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊，故選:D．14．對關(guān)于的一元二次方程，通過擲骰子確定其中的系數(shù)，第一次出現(xiàn)的數(shù)作為，第二次出現(xiàn)的數(shù)作為（一顆骰子有6個面，分別刻有1、2，3、4、5、6六個數(shù)，每次擾擲，各數(shù)出現(xiàn)的可能性相同），那么，這個方程有解的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件“方程有實根”．由，得：，利用列舉法得到事件包含的基本事件的個數(shù)，又總的基本事件共個，由古典概型概率公式求出方程有解的概率．【詳解】記事件“方程有實根”．由，得：又基本事件共個，其中事件包含19個基本事件，列舉如下：，，，，，，,,，，，，，，，，，，，所以，故選：C.15．如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的個數(shù)是（

）（1）與平行

（2）與是異面直線（3）與是異面直線

（4）與是異面直線A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】把平面圖還原正方體，由正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷（1）與（2）；由異面直線的定義判斷（3）與（4）．【詳解】解：把正方體的平面展開圖還原原正方體如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與異面垂直，故（1）錯誤；與平行，故（2）錯誤；平面，平面，平面，，由異面直線定義可得，與是異面直線，故（3）正確；平面，平面，平面，，由異面直線定義可得，與是異面直線，故（4）正確．所以正確的個數(shù)是2個.故選：B．16．如圖，已知正四面體，點，，，，，分別是所在棱中點，點滿足且，記，則當，且時，數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是（）A．3 B．5 C．9 D．21【答案】B【分析】由條件可知點在平面上，并且由幾何意義可知平面，利用數(shù)量積的幾何意義求的不同取值的個數(shù).【詳解】條件“且”，說明點在平面上，而說明為平面的中心，此時平面，由向量數(shù)量積的幾何意義，在的投影有5種情況：0、、，∴數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是5，故選：B．【點睛】本題考查空間向量共面定理的應(yīng)用，數(shù)量積的幾何意義，重點考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型.三、解答題17．在正方體中，是棱的中點．（1）作出平面與平面的交線，保留作圖痕跡；（2）在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，說明點的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）存在，中點．【分析】（1）延長與交于點，連接即為所求；（2）存在，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，通過證明EG∥A1B可得四點共面，根據(jù)正方體的性質(zhì)得到B1F∥BG，根據(jù)線面平行判定定理即可得結(jié)論.【詳解】（1）延長與交于點，連接，由于，∴，平面又∵平面，∴為面和面的公共點，同時也為面和面的公共點，根據(jù)公理3可得為平面與平面的交線.（2）存在，當為的中點時，滿足題意，理由如下，如圖所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因為A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，因此D1C∥A1B，又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B，這說明A1，B，G，E共面，所以平面A1BE，又F，G為C1D1和CD的中點，，且因此四邊形為平行四邊形B1F∥BG，而平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.......400名學生在一次百米賽跑測試中，成績?nèi)慷荚?2秒到17秒之間，現(xiàn)抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分組：第一組[12，13），第二組[13，14），...，第五組[16，17），如圖所示的是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）估計該校400名學生中，成績屬于第三組的人數(shù)；（2）估計該樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（精確到0.01）；（3）若第五組只有一名男生，其他都是女生，現(xiàn)從第五組抽取2名同學組成一個特色組，求2名都是女生的概率.【答案】（1）152人；（2）14.74；（3）.【分析】（1）由頻率分布直方圖可知，成績屬于第三組的概率為，又該校有名學生，相乘即可；（2）根據(jù)中位數(shù)左右兩邊的小矩形面積之和相等，即出現(xiàn)在該數(shù)左右兩邊的數(shù)的頻率均為，設(shè)樣本中位數(shù)為，根據(jù)該數(shù)前的小長方形面積為，建立方程即可求出結(jié)果；（3）由題意可知第五組的人數(shù)為，其中1名男生，3名女生，根據(jù)古典概型即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，成績屬于第三組的的頻率為，故可估計該校名學生中成績屬于第三小組的人數(shù)為人；（2）由頻率分布直方圖易判斷樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第三小組，設(shè)樣本中位數(shù)為x，根據(jù)中位數(shù)左右兩邊的小矩形面積之和相等，可得，解得；（3）第五組的人數(shù)為，其中名男生，名女生，設(shè)這名男生為，3名女生分別為，所以從第五組抽取2名同學組成一個特色組的情況有：，共6種；其中2名都是女生的情況有共3種；根據(jù)古典概型可知，2名都是女生的概率為.19．如圖，已知平面，，，，，，點分別是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）30°.【分析】推導(dǎo)出，從而⊥平面，進而⊥，由此能證明⊥平面；(2)取中點和中點，連接，，，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而,進而⊥平面,即為直線與平面所成角，最后根據(jù)已知條件求出來即可.【詳解】(1)證明：∵AB=AC，E為BC中點，∴AE⊥BC∵⊥平面ABC，//∴⊥平面ABC∴⊥AE又∵BC∩=B∴AE⊥平面如圖，取中點和中點，連接，，∵N和E分別為和BC的中點，，∴∴四邊形是平行四邊形∴

又∵⊥平面∴⊥平面∴即為直線與平面所成角，在中，可得=2∴==2∵∴且又由∴在中，在中，∴,即直線與平面所成角的大小為

一20．如圖，底面為矩形的直棱柱滿足：，.(1)設(shè)為棱上的動點，求M到的最短距離(2)設(shè)、分別為棱、上的動點，判斷：三棱錐的體積是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請舉例說明.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（2）根據(jù)點N到平面的距離為BC，求解.【詳解】（1）解：建立如圖所示空間直角坐標系：設(shè)，則，所以，所以M到的距離為，當時，M到的最短距離是；（2）因為點N到平面的距離為BC，，所以為定值.21．已知正三棱錐，頂點為，底面是三角形.(1)若該三棱錐的側(cè)棱長為，且兩兩成角為，設(shè)質(zhì)點W自出發(fā)依次沿著三個側(cè)面移動環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點，求質(zhì)點移動路程的最小值；(2)若該三棱錐的所有棱長均為，試求以為頂點，以三角形內(nèi)切圓為底面的圓錐的體積；(3)若該錐體的體積為定值，求這三棱錐側(cè)面與底面所成的角，使該三棱錐的表面積最小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用三棱錐的側(cè)面展開圖即可求解；（2）求出底面三角形內(nèi)切圓的半徑，圓錐的高和母線，利用圓錐的側(cè)面積和體積公式即可求解；（3）設(shè)為點在底面的投影，點到的距離為，利用表示與，進而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求