統(tǒng)計(jì)學(xué)課程中方差分析內(nèi)容的教學(xué)方法探討

統(tǒng)計(jì)學(xué)課程中方差分析內(nèi)容的教學(xué)方法探討【內(nèi)容摘要】針對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)經(jīng)過中有關(guān)方差分析教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，通過結(jié)合一個(gè)詳細(xì)的例子來講解方差分析的概念、原理和前提條件等知識(shí)點(diǎn)，有助于克制方差分析教學(xué)內(nèi)容較為抽象、理論性較強(qiáng)的難點(diǎn)，進(jìn)而更好地幫助學(xué)生理解和把握方差分析的知識(shí)?！颈疚年P(guān)鍵詞語】統(tǒng)計(jì)學(xué)、教學(xué)方法方差分析〔ANOVA〕萊文方差等同性檢驗(yàn)一、引言方差分析是一種常用的統(tǒng)計(jì)分析方法，屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。從統(tǒng)計(jì)方法上課，方差分析是較為復(fù)雜的一種假設(shè)檢驗(yàn)的方法，回歸分析的結(jié)果中也牽涉到方差分析的內(nèi)容，所以對(duì)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)課程的學(xué)生來說，正確理解和把握方差分析的思想和原理顯然非常主要。但從授課老師的角度，一些老師往往會(huì)發(fā)現(xiàn)方差分析的內(nèi)容欠好講，也講欠好，無法讓學(xué)生較好地理解方差分析的原理。本文基于筆者多年統(tǒng)計(jì)學(xué)課程教學(xué)的經(jīng)歷體驗(yàn)總結(jié)，圍繞方差分析的概念、原理和前提條件等教學(xué)內(nèi)容，與同行討論教學(xué)方法。二、方差分析的概念方差分析〔AnalysisofVariance，縮寫為ANOVA〕，是由英國統(tǒng)計(jì)與遺傳學(xué)家，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)科學(xué)的奠基人之一，發(fā)明的，用于檢驗(yàn)多個(gè)總體均值能否全相等的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法。例如，一個(gè)國家不同地區(qū)的成年男性平均身高能否相等呢？對(duì)于該問題的分析就能夠使用方差分析的方法。假設(shè)該國分為北部、中部和南部等三個(gè)區(qū)域，成年男性平均身高分別用來表示，則相應(yīng)零假設(shè)和備擇假設(shè)為：H0：μ1=μ2=μ3H1：μj不相等，j=1，2，3假如最后零假設(shè)無法被回絕，能夠得出三個(gè)地區(qū)成年男性的平均身高不存在顯著差別，即地區(qū)因素對(duì)身高沒有影響；反之，假如最后回絕零假設(shè)，進(jìn)而支持被擇假設(shè)，則能夠得出三個(gè)地區(qū)成年男生的平均身高存在顯著差別，至少有一個(gè)地區(qū)的平均身高與另一個(gè)地區(qū)不一樣，說明地區(qū)因素對(duì)身高有影響。因而，方差分析可以以用于研究一個(gè)自變量〔通常為分類變量〕對(duì)別一個(gè)變量〔數(shù)值變量〕能否有影響的問題。假如只牽涉到一個(gè)自變量，該方差分析方法稱為單因素方差分析，牽涉兩個(gè)自變量則稱為雙因素方差分析。本文重要圍繞單因素方差分析的教學(xué)。方差分析的名稱容易造成學(xué)生的誤解，使一些學(xué)生誤以為方差分析是比較多個(gè)總體方差。其實(shí)，方差分析是用來比較總體均值能否一樣的，但由于使用計(jì)算“方差〞的方法，故把該方法稱作方差分析。三、方差分析的原理為了比較多個(gè)總體的均值能否相等，方差分析將通過計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的方差大小進(jìn)行判定。假設(shè)在北部、中部和南部分別隨機(jī)、獨(dú)立地抽取一定樣本容量的樣本，這里為了便于分析，從三地分別抽取3名成年男性，樣本容量為9，并記錄身高的樣本數(shù)據(jù)，如以下圖所示。方差分析就是比較樣本數(shù)據(jù)中北部、中部和南部這三組數(shù)據(jù)的組間方差和各組數(shù)據(jù)的組內(nèi)方差的大小，并構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。組間方差度量樣本數(shù)據(jù)中組與組之間的變異，從數(shù)據(jù)構(gòu)造的角度看表現(xiàn)為數(shù)據(jù)的橫向差別。造成組間數(shù)據(jù)變異有兩個(gè)因素，一個(gè)是地區(qū)因素，另一個(gè)是隨機(jī)因素。組內(nèi)方差度量樣本數(shù)據(jù)中各組內(nèi)部的數(shù)據(jù)變異，是由于抽樣的隨機(jī)性導(dǎo)致，表現(xiàn)為數(shù)據(jù)的縱向差別。假如組間數(shù)據(jù)的方差明顯地跨越組內(nèi)數(shù)據(jù)的方差，很可能表示清楚地區(qū)因素會(huì)顯著影響成年男性的身高，進(jìn)而不同地區(qū)成年男性的平均身高存在差別。為了計(jì)算組間方差〔MSA〕，需要先求組間平方和〔SSA〕和相應(yīng)的自在度〔C-1〕，其中C為組數(shù)，這里為3。組間方差等于組間平方和與相應(yīng)自在度的比值。MSA=組間平方和用每組的均值與所有數(shù)據(jù)的均值之差的平方再乘以該組觀測(cè)值的個(gè)數(shù)來表示。組間平方和越大，說明各組之間的數(shù)據(jù)差別越大，當(dāng)然假如組數(shù)越多組間平方和也會(huì)越大，因而這里不消直接用平方和直接進(jìn)行比較。為了計(jì)算組內(nèi)方差〔MSW〕，需要先求組內(nèi)平方和〔SSW〕和相應(yīng)的自在度〔N-C〕，其中N為所有觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，這里為9。組內(nèi)方差等于組內(nèi)平方和與相應(yīng)自在度的比值。MSA=組內(nèi)平方和用每組的觀測(cè)值與該組數(shù)據(jù)的均值之差的平方和來表示。組內(nèi)平方和越大，說明各組內(nèi)部的數(shù)據(jù)差別越大，當(dāng)然假如各組的觀測(cè)值越多，則組內(nèi)平方和也會(huì)越大。有了組間方差和組內(nèi)方差，就能夠造成出F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，再與臨界值比較，能夠就以做出統(tǒng)計(jì)。FSTAT=其中，服從分子自在度為C-1，分母自在度為N-C的F分布，其臨界值能夠在指定顯著性水平下通過查表獲得。在樣本量較大情況下，手工計(jì)算顯然耗時(shí)耗力，方差分析的相關(guān)算一般需要通過統(tǒng)計(jì)軟件來完成。以下為用EXCEL進(jìn)行方差分析的輸出結(jié)果。EXCEL共輸出2個(gè)表格，第一個(gè)表格是對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行描繪敘述分析，從中能夠發(fā)現(xiàn)各組觀測(cè)值的個(gè)數(shù)、均值和方差。第二個(gè)表格為方差分析的結(jié)果。方差分析把數(shù)據(jù)的差別區(qū)分為組間差別和組間差別，SS為平方差，從表中能夠SSA=0.020，SSW=0.018，df為自在度，組間平方和對(duì)應(yīng)的自在度C-1=2，組內(nèi)平均和對(duì)應(yīng)的自在度為N-C=6。MS為均方，組間均方MSA=0.010，組內(nèi)均方MSW=0.003。F為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其值為MSA/MSW=3.307。在0.05顯著性水平下，F(xiàn)的臨界值約為5.14。假如使用P值法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，EXCEL也給了相應(yīng)的P值，約為0.108。根據(jù)EXCEL單因素方差分析的輸出結(jié)果，不管使用臨界值還是P值法，在0.05的顯著性水下，我們都能夠得出不回絕零假設(shè)的結(jié)論，即三個(gè)地區(qū)成年男性的平均身高不存在顯著差別，同時(shí)也表示清楚地區(qū)因素沒有顯著地影響成年男生的身高。四、方差分析的前提條件在統(tǒng)計(jì)方法的教學(xué)經(jīng)過中，都要強(qiáng)調(diào)使用某種統(tǒng)計(jì)方法的前提假設(shè)條件，假如條件知足，就不能使用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)方法。在方差分析的教學(xué)經(jīng)過中，同樣需要強(qiáng)調(diào)方差分析的三個(gè)前提假設(shè)，即樣本是隨機(jī)、獨(dú)立抽樣的，每個(gè)總體是正態(tài)分布而且方差相等。其中抽樣的隨機(jī)性和獨(dú)立性相對(duì)容易做到，總體能否為正態(tài)分布能夠通過直方圖等方法進(jìn)行判定。最后總體方差相等是一個(gè)非常主要的條件，假如該條件不知足，就不能進(jìn)行方差分析。假如各總組〔各組〕自己方差大小存在顯著差別，就不能從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)由于地區(qū)因素造成的數(shù)據(jù)變異到底有多大。關(guān)于總體同方差假設(shè)能否成立可能用萊文方差等同性檢驗(yàn)來解決。萊文方差等同性檢驗(yàn)第一步是對(duì)各組樣本數(shù)據(jù)排序，找中位數(shù)；第二步計(jì)算各組觀測(cè)值與其中位數(shù)之差的絕對(duì)值；第三步對(duì)絕對(duì)值做單因素方差分析；第四步得出結(jié)論。根據(jù)萊文方差等同性檢驗(yàn)的EXCEL輸出結(jié)果，能夠得出三個(gè)地區(qū)成年男性身高的方差不存在顯著差別，