2023年高中數(shù)學奧林匹克模擬真題(一)

2023年高中數(shù)學奧林匹克模擬真題〔一〕答案第一試一、填空題1、設，那么．答案：．解：注意，當時，有，而，所以，……，，又因奇數(shù)，故．2、為實數(shù)，假設對于滿足的任何實數(shù)，都成立等式：，那么．答案：．解：條件中蘊含，故所涉各式皆有意義；于所給等式中，取，得；再取，得，由此解得，．3、二次函數(shù)的圖像經過點和，假設其與軸的兩個交點的距離滿足，那么函數(shù)的具體表達式為．答案：．解：由條件得，于是二次函數(shù)又可表為，設其兩根為，有，，，據(jù)，得，代入得．4、在用這八個數(shù)碼所組成的全部無重復數(shù)字的八位數(shù)中，能被整除的有個．答案：.解：由于中有個奇數(shù)，故任意添加正負符號后其代數(shù)和皆為偶數(shù)．因中最大的四數(shù)和與最小的四數(shù)和之差不大于，于是符合條件的每個八位數(shù)，其奇數(shù)數(shù)位上的四個數(shù)碼和必等于偶數(shù)數(shù)位上的四個數(shù)碼和，由于，再將分成和為的兩組，每組四個數(shù)，并考慮含的組，該組另三數(shù)的和為，只有四種情況：.對于每種情況，可將含的組排在奇數(shù)數(shù)位上或者偶數(shù)數(shù)位上，得到個數(shù)，四種情況下共得個符合條件的八位數(shù)．5、設數(shù)集，而兩兩之和構成集合，那么集合．答案：或．解：設，由于集中有個元，即知兩兩的和互不相同，因，且，只有兩種情況：．，那么，由，得，進而得，；．，那么，于是，得，進而得，．6、將正五角星的五個“角〞〔等腰的小三角形〕分別沿其底邊折起，使其與原所在平面成直二面角，那么所形成的空間圖形中，共有異面直線段對．答案：．解：五角星的外圍是由條線段組成的封閉折線，將其按紅、藍間隔染色，〔內圈的小正五邊形不染色〕，那么在這條線段中，任一對同色的線異面，而任一對異色的線共面，于是得到對異面直線段；又每條有色線段恰與底面小正五邊形的三條邊異面，這種情況共有對；因此總共有個“異面直線段對〞．7、對于給定的正整數(shù)，那么由直線與拋物線所圍成的封閉區(qū)域內〔包括邊界〕的整點個數(shù)是．答案：．解：如圖，直線與拋物線的交點、的坐標為，，設直線上位于區(qū)域內的線段的線段為，其坐標為，線段上的整點數(shù)為，故區(qū)域內的整點數(shù)為．8．假設四面體的六條棱長分別為，那么不同的形狀有種．〔假設兩個四面體經適當放置后可完全重合，那么認為是相同的形狀〕.答案：種．解：將長為的線段記為，考慮：情形甲：共面，那么該面的另一邊必為假設按順時針方向組成三角形〔如圖，均指從形內向該面看三邊的繞向，下同〕，那么邊不能取〔否那么將使的三邊為，矛盾〕．假設取，，有兩種情況；假設取，，也有兩種情況．共得種情況．按反時針方向組成三角形，類似也得種情況．情形乙：異面，設，那么其余四條邊，每一條皆與相鄰；于是所在面的另一條邊必為，假設按順時針方向組成三角形，不妨設〔如圖〕，剩下兩條邊，不能取，故只有，得一種情況；假設按反時針方向組成三角形，不妨設〔如圖〕，剩下兩條邊，不能取，故只有，得一種情況；因此，此題中不同的情況共種．二、解答題9、試確定，是否存在2023個實數(shù)，滿足：；．解：假假設存在滿足以上條件的2023個實數(shù)，設，那么，去掉絕對值符號，并分開其正、負部，可記為，，即有……eq\o\ac(○,1)，其中；是的某個排列．從而由條件，……eq\o\ac(○,2)所以，；．………eq\o\ac(○,3)由于，；．那么；．由此，，相加得，，矛盾．因此這樣的個實數(shù)不存在．10、設數(shù)列滿足：．證明：，．證：假設，那么，結論顯然；假設，固化，改證以下命題：，有……eq\o\ac(○,1)對歸納：時結論顯然；設對于時eq\o\ac(○,1)式成立，即……eq\o\ac(○,2)，當時，由于……eq\o\ac(○,3)由eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)得，即當時eq\o\ac(○,1)式成立，因此eq\o\ac(○,1)得證，今在eq\o\ac(○,1)中取，得．11、設，，證明不等式：．證：，故即要證，……eq\o\ac(○,1)．據(jù)對稱，可設，由于，……eq\o\ac(○,2)；同理有，……eq\o\ac(○,3)，……eq\o\ac(○,4)注意，而，又由知，，即有，從而由eq\o\ac(○,2)+eq\o\ac(○,3)+eq\o\ac(○,4)得，，即eq\o\ac(○,1)成立，當且僅當時取得等號．從而所證結論成立．第二試〔加試題〕一．以任意方式，把空間染成五種顏色〔每點屬于一色，每色的點都有〕；．證明：存在一個平面，至少含有四種不同顏色的點；．是否一定存在五色平面？．證：假設存在四色線,那么含有的平面為所求；假設存在三色線，那么在線外可再取到一個第四色的點，過點和線的平面為所求；假假設任一直線上都不多于兩色，為此，用分別表示這五種顏色的點所構成的點集，今取點，過的直線記為，那么直線上其余的點也屬于或色，不妨設，直線上有點屬于；在空間分別取點，過的平面記為，那么直線與平面有公共點．假設，那么平面為所求；〔這時平面上含有四色〕.假設，在空間再取一點，過點和直線作平面，那么平面和平面的交線為過的直線，在平面內，過點的兩條直線和中，至少有一條要與直線相交，不妨設，〔如圖〕，那么點屬于或色，于是平面至少含有四色(或含；或含).．不一定存在五色面，例如，假設將四面體的四個頂點分別染成四色，空間其余的點全染色，這時不存在五色面．二．如圖，△中，分別是邊上的點，在的延長線上分別取點，使，分別是△，△的垂心.證明：.證：如圖，設線段的中點分別為，那么也是的中點，據(jù)中位線知，在△中，∥，；在△中，∥，，即∥，，所以△△，且∥，.為證，只要證.以為圓心，為直徑作，其半徑記為；以為圓心，為直徑作，其半徑記為，設直線交于，交于，由于點是△的垂心，那么，，所以共圓，故有……eq\o\ac(○,1)另一方面，由于可知，在上，在上，從而，因此eq\o\ac(○,1)化為，即……eq\o\ac(○,2)又設直線交于，交于，由于點是△的垂心，，那么，，所以共圓，故有……eq\o\ac(○,3)再由可知，在上，在上，從而，因此eq\o\ac(○,3)化為，即……eq\o\ac(○,4)據(jù)eq\o\ac(○,2)、eq\o\ac(○,4)得，，所以，而∥，所以.三、數(shù)列為：，其構作方法是：首先給出，接著復制該項后，再添加其后繼數(shù)，于是得；接下來再復制前面所有的項，再添加的后繼數(shù)，于是得；接下來再復制前面所有的項，再添加的后繼數(shù)，于是得前項為如此繼續(xù)．試求以及數(shù)列前項的和解：據(jù)的構作方法，易知一般地，我們有即數(shù)首次出現(xiàn)于第項，并且，假設，那么有，由于，所以為求，先計算，由的構作方法知，數(shù)列的前個項中，恰有個，個，個，個，個，所以有，eq\o\ac(○,1)，從而eq\o\ac(○,2)，據(jù)eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)得，eq\o\ac(○,3)其次，當，那么因此，，，因此由eq\o\ac(○,3)得，．四、邊長為的菱形,其頂角為,今用分別與及平行的三組等距平行線，將菱形劃分成個邊長為1的正三角形(如下圖).試求以圖中的線段為邊的梯形個數(shù).解一:由于圖中任兩條線段所在的直線，或者平行,或者相交成的銳角,因此,由圖中線段組成的所有梯形都是底角為的等腰梯形.對于這種梯形,假設兩腰延長線的交點在菱形內部或周界上,那么稱為“內置梯形〞;假設交點在菱形外,就稱為“外延梯形〞.一．先求“內置梯形〞的個數(shù).將邊長為的正三角形稱為“級三角形〞,相應地,下底(較長底邊)的長為的梯形稱為“級梯形〞,再將腰長為的級梯形稱為式梯形.并且,圖中所有正三角形,要么頂點朝上,要么頂點朝下,分別稱作“順置三角形〞與“倒置三角形〞.易見,每個式梯形,可看作由一個級三角形切去一個級三角形而得到.每個級三角形所切出的級梯形有種情況,(其中式梯形各三個).今計算圖中級三角形的個數(shù):取為原點,為軸,建立斜角坐標系,每個級順置三角形,下底左端點的橫坐標可取共個值,的縱坐標也可取共個值.因此,級順置三角形有個,據(jù)對稱性,級倒置三角形也有個.從而級三角形有個,于是級內置梯形有個,求和得:.二．再求“外延梯形〞的個數(shù)．先考慮外延交點在線段AB外側的情況,任取，使,設諸點的斜角坐標為:,,,,延長；交直線于，位于延長線上的交點共有個，對于確定的，三角形為一個倒置正三角形，當在AB上移動時，點在直線y=j上移動，由于∥，這兩條線段間的平行線共j+1條〔包括這兩條線在內〕，任兩條這種平行線都在三角形上截出一個梯形。因此,這種梯形共有個,它們都以為外延交點,而延長線位于外側的交點共有個,因此當固定時,共得到個外延梯形,現(xiàn)讓取遍,因此,位于外側的全部外延點,共形成個“外延梯形〞.據(jù)對稱性，在菱形另三條邊外側的外延點，也分別形成同樣數(shù)目的“外延梯形〞，從而全部外延梯形的個數(shù)為：==.因此，.解二：易知，〔邊長為的菱形中，所有梯形的下底長為，因此，菱形的四條邊各是一個梯形的下底，中間正六邊形的三條對角線，每條恰是兩個梯形的下底，共得個梯形〕．為方便計，稱題中的菱形為階菱形，易知，階菱形可看作階菱形外側添加一對寬為的平行四邊形的框〔稱為單位框〕而得.如圖，設為階菱形，將其右方和上方的單位框染為紅色，于是菱形中帶有紅色〔全紅色或局部紅色〕的梯形數(shù)為個，而在右上方的階菱形中帶有紅色的梯形數(shù)為個，又將不在〔或不全在〕菱形中的帶有紅色的梯形〔簡稱為“外梯形〞〕數(shù)記為，那么有……eq\o\ac(○,1)今計算：下底在上，且以為一個頂點的“外梯形〞有個，〔其中下底為的個，下底為的個，…，下底為的個〕；類似地，上底在上，且以為一個頂點的“外梯形〞也有個.于是得，底邊在上的“