第三講有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題

第三講有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)1.掌握中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的概念.2.掌握對(duì)稱軸是特殊直線（如x軸、y軸、y＝x等）的對(duì)稱問(wèn)題的處理方法.3.會(huì)根據(jù)對(duì)稱的定義處理對(duì)稱軸是一般直線的對(duì)稱問(wèn)題.1.（1）點(diǎn)（a，b）關(guān)于點(diǎn)（2,－3）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）填（4－a，－6－b）；（2）填（b，a）.

（1）設(shè)點(diǎn)（a，b）關(guān)于（2,－3）的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則,,所以x＝4－a，y＝－6－b，故所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4－a，－6－b）.

（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）關(guān)于x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則,,，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，a）.y＝ax＝b解之得2.直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)（1,－1）對(duì)稱的直線方程是()A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0選D.設(shè)對(duì)稱直線上任一點(diǎn)為P（x，y），它關(guān)于（1,－1）的對(duì)稱點(diǎn)為（x0,y0），則,所以x0＝2－x,y0＝－2－y,代入已知直線方程得2（2－x）＋3（－2－y）－6＝0,即2x＋3y＋8＝0.3.已知點(diǎn)P（3,2）與點(diǎn)Q（1,4）關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為()A.x－y＋1＝0B.x－y＝0C.x＋y＋1＝0D.x＋y＝0選A.因?yàn)閘是PQ的中垂線，所以

,所以PQ的中點(diǎn)是（2,3），所以直線l的方程是y－3＝x－2,即x－y＋1＝0.4.直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是()A.x＋2y－1＝0B.x＋2y-1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝0

選D解法1：（數(shù)形結(jié)合法）畫出圖形可知，對(duì)稱直線經(jīng)過(guò)x＝1,x－2y＋1＝0,即（1,1），且斜率與x－2y＋1＝0的斜率相反，即k＝－12,由點(diǎn)斜式得y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.選D.

解法2：（代入法）因?yàn)?x,y)(2-x,y)，故曲線方程為：（2－x）－2y＋1＝0,即x＋2y－3＝0,故選D.x=1對(duì)稱軸是特殊直線的對(duì)稱問(wèn)題光線從點(diǎn)A（－2,4）射出，經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線又經(jīng)過(guò)x軸反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－4,2），（1）求入射光線所在直線的方程；（2）求光線從A到B經(jīng)過(guò)的路程S.（1）如圖，A′（2,4），B′（－4,－2），

A′B′：y－4＝，即y＝x＋2,與y軸交點(diǎn)為（0,2），所以入射光線所在直線的方程為y＝－x＋2.（2）A到B經(jīng)過(guò)的路程S＝｜A′B′｜＝.對(duì)稱軸是特殊直線如x軸、y軸、直線y＝x等，其對(duì)稱點(diǎn)可利用已知的結(jié)論直接得到.1.已知直線l1和l2夾角的平分線為y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab＞0），那么l2的方程是()A.bx+ay+c=0B.ax-by+c=0C.bx+ay-c=0D.bx-ay+c=0選A.因?yàn)閘1和l2夾角的平分線為y=x,所以l1、l2關(guān)于y=x對(duì)稱，因?yàn)?x,y)（y,x），則l2為ay+bx+c=0.y=x對(duì)稱對(duì)稱軸是一般直線的對(duì)稱問(wèn)題已知直線l：x+2y+1=0，l1：x-y-2=0,求直線l1關(guān)于l對(duì)稱的直線l2的方程.

解法1：即A（1,－1）在直線l2上.

l1上取一點(diǎn)（2,0），設(shè)它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B（x0,y0），x＝1,y＝－1.x＋2y＋1＝0,x－y－2＝0,由得則解得即B在直線l2上.因?yàn)?所以l2的方程為y＋1＝7（x－1），即7x－y－8＝0.解法2：設(shè)P(x，y)為l2上任意一點(diǎn)，它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)必在l1上，且PP′的中點(diǎn)M∈l，PP′⊥l，

即x′＝(3x－4y－2)，

y′＝－(4x＋3y＋4)，在軸對(duì)稱問(wèn)題中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱是最基本、最重要的對(duì)稱，處理這種對(duì)稱問(wèn)題要緊緊抓住對(duì)稱的意義，利用垂直、平分兩個(gè)條件列出方程組.本題中兩種解法是解這類問(wèn)題的基本解法.

2.已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)，A（－1,－4），內(nèi)角∠B、∠C的角平分線所在的直線方程分別是l1：y＝－1,l2：x＋y＋1＝0,求BC邊所在直線的方程.

由角平分線的性質(zhì)可知：點(diǎn)A關(guān)于直線l1、l2的對(duì)稱點(diǎn)在BC邊所在的直線上，顯然，點(diǎn)A（－1,－4）關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為M（－1,2），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)為N（a，b），則解得a＝3,b＝0所以N（3,0）.又kMN＝,所以BC的方程為y＝（x－3），即x＋2y－3＝0.對(duì)稱的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

某地兩鄰鎮(zhèn)在一直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為A(1,2)，B(4,0)，一條河所在的直線方程為l:x+2y-10=0,若在河邊l上建一座供水站P，使到A、B兩鎮(zhèn)的管道最省，問(wèn)應(yīng)建在什么地方.如圖所示，過(guò)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P.則P為所求.這是因?yàn)椋喝粼赑′(異于P)，|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|，因此，只能在點(diǎn)P處才取得最小值.設(shè)A′(a,b),則有解之，得所以A′(3,6).直線A′B的方程為：，即6x+y-24=0.a+2b=15,b=2a.a=3,b=6.點(diǎn)P由方程組確定.解得x=，y=，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故供水站應(yīng)建在點(diǎn)P上，才能使管道最省.6x+y-24=0,x+2y-10=0.凡是路程之和最近、光的行程最短等問(wèn)題的求解都可考慮利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱進(jìn)行處理.

3.求函數(shù)的最小值.因?yàn)?/p>

所以上式可看做x軸上的點(diǎn)P（x，0）到A（0,1），B（2,2）的距離之和，（如圖）因?yàn)锳（0,1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（0,－