通信系統(tǒng)仿真第二章教程文件

通信系統(tǒng)仿真第二章矩陣元素可以是任何數(shù)值表達式例：>>

x=[-1.3,

sqrt(3),

(1+2+3)*4/5]矩陣元素賦值矩陣元素的單獨賦值例：>>

x(5)=abs(x(1))例：>>

x(5)=abs(x(6))

??Matlab自動將向量x

的長度擴展到5，并將未賦值部分置零。大矩陣可以把小矩陣作為其元素矩陣元素賦值例：>>

A=[A;

111213]在原矩陣的下方加一行如何在原矩陣的右邊添加一列？單個元素的引用例：>>

A(2,3)矩陣元素的引用多個元素的引用：冒號的特殊用法利用小括弧和元素所在的位置(下標)x

(

i

)：向量x中的第i個元素A

(

i,

j

)：矩陣A中的第i行，第j

列元素a:b:c產生一個由等差序列組成的向量；a是首項，b是公差，c確定最后一項；若b=1，則b可以省略。例：>>

x=1:2:5>>

y=1:2:6例：>>

x=2:1:5>>

y=2:5例：>>

x=3:2:1例：>>

x(1:3)>>

A(3,1:3)矩陣元素的引用A(i:j,m:n)表示由矩陣A的第

i

到第j

行和第m

到第n列交叉線上的元素組成的子矩陣?？衫妹疤柼崛【仃嚨恼谢蛘小＠?gt;>

A(1,:)>>

A(:,1:3)>>

A(:,:)Matlab幫助系統(tǒng)聯(lián)機幫助

help

顯示指定命令的簡短使用說明例：>>

helpeig>>

helphelp

詳細使用幫助

doc

以網(wǎng)頁形式顯示指定命令的幫助頁例：>>

doceig

其它相關命令helpdesk、helpwinMatlab查找命令

lookfor

按指定的關鍵詞查詢與之相關的命令例：>>

lookforinverse

which

顯示指定函數(shù)所在的目錄例：>>

whicheig

其它相關命令cd、dir、more變量命名原則Matlab變量以字母開頭后面可以跟字母、數(shù)字和下劃線

長度不超過63個字符（6.5版本以前為

19個）變量名區(qū)分字母的大小寫

Matlab語句的通常形式變量=

表達式表達式是用運算符將有關運算量連接起來的式子，其結果被賦給賦值號“=”左邊的變量Matlab不需要任何類型聲明和維數(shù)說明,變量名的第一個字符必須是字母。

a=1；num_students=25;分號和續(xù)行符的作用Matlab變量若不想在屏幕上輸出結果，可以在語句最后加分號

如果語句很長，可用續(xù)行符“…”（三個點）續(xù)行

續(xù)行符的前面最好留一個空格例：變量的查詢Matlab變量

who

顯示工作空間中的所有變量

whos

查看工作空間中變量的詳細屬性系統(tǒng)預定義變量Matlab變量

pi

：圓周率

，其值為

imag(log(-1))

inf，Inf

：無窮大

nan，NaN

：Not-a-Number，一個不定值，如

0/0

eps

：浮點運算相對精度特殊變量

ans

i，j

：虛部單位，即應盡量避免給系統(tǒng)預定義變量重新賦值！數(shù)與算術表達式Matlab數(shù)值運算

Matlab中的數(shù)默認是雙精度實數(shù)，表示方法同C語言3,-9,0.4,1.603e-12,3.23e+20

浮點運算的相對誤差為

eps

浮點數(shù)表示范圍為：10-308

～10308

復數(shù)的輸入

z=3+4i

(4與i之間不能有空格)

z=3+4*i復數(shù)作為矩陣元素輸入時，加號兩邊不能有空格!數(shù)學運算符

+

加法Matlab數(shù)值運算

-

減法

*乘法

/和

\

除法（右除和左除）

^

冪運算命令分隔符：逗號和分號輸出格式Matlab的輸出

Matlab以雙精度執(zhí)行所有的運算，運算結果可以在屏幕上輸出，同時賦給指定變量；若無指定變量，則系統(tǒng)會自動將結果賦給變量“ans”

Matlab中數(shù)的輸出格式可以通過format

命令指定format只改變變量的輸出格式，但不會影響變量的值！各種format格式格式解釋例format短格式（缺省顯示格式），同short3.1416formatshort短格式（缺省顯示格式），只顯示5位3.1416formatlong長格式，雙精度數(shù)15位，單精度數(shù)7位3.14159265358979formatshorte短格式e方式（科學計數(shù)格式）3.1416e+000formatlonge長格式e方式3.141592653589793e+000formatshortg短格式g方式3.1416formatlongg長格式g方式3.14159265358979formatcompact壓縮格式formatloose自由格式format+/formatbank/formatrat/formathex(詳情查看聯(lián)機幫助)變量的存儲存儲當前工作空間中的變量

save

將所有變量存入文件

matlab.mat

savemydata

將所有變量存入指定文件

mydata.mat存儲指定的變量

savemydata.mat

將所有變量存入文件

mydata.matsave

文件名變量名列表例：>>

savemydataAxz

變量名列表中各變量之間用空格分隔變量的讀取將數(shù)據(jù)文件中的變量載入當前工作空間

loadmydata

載入數(shù)據(jù)文件中的所有變量

loadmydata

Ax

從數(shù)據(jù)文件中提取指定變量清除當前工作空間中的變量

clear清除當前工作空間中的所有變量

clearAx

清除指定的變量幾個小技巧

Matlab的命令記憶功能：上下箭頭鍵命令補全功能：Tab鍵

可以先輸入命令的前幾個字符，再按上下鍵縮小搜索范圍用Esc鍵刪除命令行（1）用線性等間距生成向量矩陣（start:step:end）》a=[1:2:10]a=13579（2）a=linspace(n1,n2,n)在線性空間上，行矢量的值從n1到n2，數(shù)據(jù)個數(shù)為n，缺省n為100。》a=linspace(1,10,10)a=12345678910（3）a=logspace(n1,n2,n)在對數(shù)空間上，行矢量的值從10n1到10n2，數(shù)據(jù)個數(shù)為n，缺省n為50。這個指令為建立對數(shù)頻域軸坐標提供了方便。》a=logspace(1,3,3)a=1010010002.用matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣空陣[]—matlab允許輸入空陣，當一項操作無結果時，返回空陣。rand——隨機矩陣eye——單位矩陣zeros——全部元素都為0的矩陣ones——全部元素都為1的矩陣常見矩陣生成函數(shù)zeros(m,n)生成一個m

行n

列的零矩陣，m=n

時可簡寫為zeros(n)ones(m,n)生成一個m行n列的元素全為1的矩陣,

m=n

時可寫為ones(n)eye(m,n)生成一個主對角線全為1的m

行n

列矩陣,

m=n

時可簡寫為eye(n)，即為n

維單位矩陣diag(X)若X是矩陣，則diag(X)為X的主對角線向量若X是向量，diag(X)產生以X為主對角線的對角矩陣tril(A)提取一個矩陣的下三角部分triu(A)提取一個矩陣的上三角部分rand(m,n)產生0～1間均勻分布的隨機矩陣m=n

時簡寫為rand(n)randn(m,n)產生均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布隨機矩陣

m=n

時簡寫為randn(n)其它特殊矩陣生成函數(shù)：magic、hilb、pascal》eye(2,3)ans=100010》zeros(2,3)ans=000000》ones(2,3)ans=111111》V=[572];A=diag(V)A=500070002》eye(2)ans=1001》zeros(2)ans=0000》ones(2)ans=1111如果已知A為方陣，則V=diag(A)可以提取A的對角元素構成向量V。

還有伴隨矩陣、稀疏矩陣、魔方矩陣、對角矩陣、范德蒙矩陣等的創(chuàng)建。注意：matlab嚴格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個不同的變量。

matlab函數(shù)名必須小寫。例子建立隨機矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內均勻分布的5階隨機矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。2．用于專門學科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個有趣的性質，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。

M=100+magic(5)

(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。

(3)希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。

使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產生不可靠的計算結果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命令如下：

formatrat%以有理形式輸出

H=hilb(4)

H=invhilb(4)

(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長。toeplitz(x)用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如

T=toeplitz(1:6)(5)伴隨矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：

p=[1,0,-7,6];

compan(p)(6)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。例子例求(x+y)5的展開式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。例子產生5階隨機方陣A，其元素為[10,90]區(qū)間的隨機整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。

(1)生成5階隨機方陣A。

A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)

(2)判斷A的元素是否可以被3整除。

P=rem(A,3)==0

其中，rem(A,3)是矩陣A的每個元素除以3的余數(shù)矩陣。此時，0被擴展為與A同維數(shù)的零矩陣，P是進行等于(==)比較的結果矩陣。建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。

(1)建立矩陣A。

A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]

(2)找出大于4的元素的位置。

find(A>4)先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A%用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù)

2．三角陣

三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。(1)上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。

(2)下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。2.4.2矩陣的轉置與旋轉

1．矩陣的轉置

轉置運算符是單撇號(‘)。

2．矩陣的旋轉

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉90o的k倍，當k為1時可省略。3．矩陣的左右翻轉

對矩陣實施左右翻轉是將原矩陣的第一列和最后一列調換，第二列和倒數(shù)第二列調換，…，依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉的函數(shù)是fliplr(A)。

4．矩陣的上下翻轉

MATLAB對矩陣A實施上下翻轉的函數(shù)是flipud(A)。2.4.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當然，A也是B的逆矩陣。

求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調用函數(shù)inv(A)。

例用求逆矩陣的方法解線性方程組。

Ax=b

其解為：

x=A-1b2．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。2.4.4方陣的行列式

把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對應的行列式的值的函數(shù)是det(A)。2.4.5矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無關的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。

2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。2.4.6向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。1．向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)

在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計算向量V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計算向量V的∞—范數(shù)。2．矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。

2.4.7矩陣的條件數(shù)

在MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計算A的2—范數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(A,inf)計算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。2.4.8矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量。(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。例用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴隨矩陣

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)%直接求多項式p的零點2.5矩陣的超越函數(shù)

1．矩陣平方根sqrtm

sqrtm(A)計算矩陣A的平方根。

2．矩陣對數(shù)logm

logm(A)計算矩陣A的自然對數(shù)。此函數(shù)輸入?yún)?shù)的條件與輸出結果間的關系和函數(shù)sqrtm(A)完全一樣3．矩陣指數(shù)expm、expm1、expm2、expm3

expm(A)、expm1(A)、expm2(A)、expm3(A)的功能都求矩陣指數(shù)eA。

4．普通矩陣函數(shù)funm

funm(A,‘fun’)用來計算直接作用于矩陣A的由‘fun’指定的超越函數(shù)值。當fun取sqrt時，funm(A,‘sqrt’)可以計算矩陣A的平方根，與sqrtm(A)的計算結果一樣。

2.6字符串

在MATLAB中，字符串是用單撇號括起來的字符序列。

MATLAB將字符串當作一個行向量，每個元素對應一個字符，其標識方法和數(shù)值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。字符串是以ASCII碼形式存儲的。abs和double函數(shù)都可以用來獲取字符串矩陣所對應的ASCII碼數(shù)值矩陣。相反，char函數(shù)可以把ASCII碼矩陣轉換為字符串矩陣。例建立一個字符串向量，然后對該向量做如下處理：

(1)取第1～5個字符組成的子字符串。

(2)將字符串倒過來重新排列。

(3)將字符串中的小寫字母變成相應的大寫字母，其余字符不變。

(4)統(tǒng)計字符串中小寫字母的個數(shù)。命令如下：

ch='ABc123d4e56Fg9';

subch=ch(1:5)%取子字符串

revch=ch(end:-1:1)%將字符串倒排

k=find(ch>='a'&ch<='z');%找小寫字母的位置

ch(k)=ch(k)-('a'-'A');%將小寫字母變成相應的大寫字母

char(ch)

length(k)%統(tǒng)計小寫字母的個數(shù)

與字符串有關的另一個重要函數(shù)是eval，其調用格式為：

eval(t)

其中t為字符串。它的作用是把字符串的內容作為對應的MATLAB語句來執(zhí)行。3.矩陣的修改直接修改可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=來修改。例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=120305780矩陣加、減（＋,－）運算規(guī)則：相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列兩矩陣對應元素相加減。允許參與運算的兩矩陣之一是標量。標量與矩陣的所有元素分別進行加減操作。三、矩陣運算2.矩陣乘（）運算規(guī)則：A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)標量可與任何矩陣相乘。a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*bc=143223

d=[-1;0;2];f=pi*df=-3.141606.2832

矩陣除的運算在線性代數(shù)中沒有，有矩陣逆的運算，在matlab中有兩種矩陣除運算

a^p——a自乘p次冪

方陣>1的整數(shù)3.矩陣乘方——a^n,a^p,p^a對于p的其它值,計算將涉及特征值和特征向量，如果p是矩陣，a是標量a^p使用特征值和特征向量自乘到p次冪；如a,p都是矩陣，a^p則無意義。

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2ans=303642668196102126150※當一個方陣有復數(shù)特征值或負實特征值時，非整數(shù)冪是復數(shù)陣。

a^0.5ans=

0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717ia=[12;34]；b=[35;59]》c=a+bd=a-b》c=d=47-2-3813-2-5》a*b=[1323;2951]》a/b=[-0.500.50;3.50–1.50]》a\b=[-1-1;23]》a^3=[3754;81118]》a.*b=[310;1536]》a./b=[0.330.40;0.600.44]》a.\b=[3.002.50;1.672.25]》a.^3=[18;2764]只有維數(shù)相同的矩陣才能進行加減運算。注意只有當兩個矩陣中前一個矩陣的列數(shù)和后一個矩陣的行數(shù)相同時，才可以進行乘法運算。a\b運算等效于求a*x=b的解；而a/b等效于求x*b=a的解。只有方陣才可以求冪。點運算是兩個維數(shù)相同矩陣對應元素之間的運算，本書定義為數(shù)組運算。inv——矩陣求逆det——行列式的值eig——矩陣的特征值diag——對角矩陣’——矩陣轉置sqrt——矩陣開方4.矩陣的其它運算求逆和行列式要求矩陣必須為方陣

》a=[123;456;235];》b=inv(a)b=-2.33330.33331.00002.66670.3333-2.0000-0.6667-0.33331.0000》det(a)ans=-3轉置：對于實矩陣用（’）符號或（.’）求轉置結果是一樣的；然而對于含復數(shù)的矩陣，則（’）將同時對復數(shù)進行共軛處理，而（.’）則只是將其排列形式進行轉置。》a=[123;456]'a=142536》a=[123;456].'a=142536》b=[1+2i2-7i]'b=1.0000-2.0000i2.0000+7.0000i》b=[1+2i2-7i].'b=1.0000+2.0000i2.0000-7.0000i5.矩陣的一些特殊操作矩陣的變維

a=[1:12];b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向

rot90:旋轉;fliplr:上翻;flipud:下翻矩陣的抽取

diag:抽取主對角線;tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角矩陣的擴展關系運算關系符號意義<<=>>===~=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于4．數(shù)組運算（1）數(shù)組的加和減（2）數(shù)組的乘和除（3）數(shù)組的乘方

數(shù)組運算指元素對元素的算術運算，與通常意義上的由符號表示的線性代數(shù)矩陣運算不同數(shù)組加減(.+,.-)a.+ba.-b5.矩陣的數(shù)組運算對應元素相加減（與矩陣加減等效）2.數(shù)組乘除(，./，.\）ab——a，b兩數(shù)組必須有相同的行和列兩數(shù)組相應元素相乘。a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a*bans=253746558510985133172a./b=b.\aa.\b=b./aa./b=b.\a—都是a的元素被b的對應元素除a.\b=b./a—都是a的元素被b的對應元素除例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000——給出a,b對應元素間的商.3.數(shù)組乘方(.^)—元素對元素的冪例:a=[123];b=[456];z=a.^2z=1.004.009.00z=a.^bz=1.0032.00729.00應用舉例1、行列式計算；2、求解線性方程組；3、解特征值問題4、矩陣分解6、矩陣分解（1）奇異值分解[U,S,V]=svd(A)例：a=9868可以驗證：u*u’=Iv*v’=Iu*s*v’=a求矩陣A的奇異值及分解矩陣，滿足U*S*V’=A，其中U、V矩陣為正交矩陣（U*U’=I），S矩陣為對角矩陣，它的對角元素即A矩陣的奇異值。[u,s,v]=svd(a)u=0.7705-0.63750.63750.7705s=15.5765001.5408v=0.6907-0.72310.72310.6907（2）特征值分解[V,D]=eig(A)例：a=9868[v,d]=eig(a)v=0.7787-0.73200.62740.6813d=15.4462001.5538求矩陣A的特征向量V及特征值D，滿足A*V=V*D。其中D的對角線元素為特征值，V的列為對應的特征向量。如果D=eig(A)則只返回特征值?？梢则炞C：A*V=V*D（3）正交分解[Q,R]=qr(A)例：a=9868[q,r]=qr(a)q=-0.8321-0.5547-0.55470.8321r=-10.8167-11.094002.2188將矩陣A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q為正交矩陣（其范數(shù)為1，指令norm(Q)=1)，R為對角化的上三角矩陣。norm(q)ans=1q*rans=9.00008.00006.00008.0000（4）三角分解[L,U]=lu(A)將A做對角線分解，使得A=L*U,其中L為下三角矩陣，U為上三角矩陣。注意：L實際上是一個“心理上”的下三角矩陣，它事實上是一個置換矩陣P的逆矩陣與一個真正下三角矩陣L1（其對角線元素為1）的乘積。[L1,U1,P]=lu(A)例：a=[123;456;789]

比較：[l1,u1,p]=lu(a)[l,u]=lu(a)l1=1.00000.141.0000.570.501.00u1=7.008.009.0000.861.71000.00p=001100010l=0.141.0000.570.501.001.0000u=7.008.009.0000.861.71000.00可以驗證：u1=u，inv(p)*l1=la=l*up*a=l1*u1matlab語言把多項式表達成一個行向量，該向量中的元素是按多項式降冪排列的。

f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0

可用行向量p=[anan-1……a1+a0]表示poly——產生特征多項式系數(shù)向量特征多項式一定是n+1維的特征多項式第一個元素一定是1四、多項式運算例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00p是多項式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我們可用：p1=poly2str(p,‘x’)—函數(shù)文件，顯示數(shù)學多項式的形式p1=x^3-6x^2-72x-272.roots——求多項式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=roots(p)r=12.12-5.73——顯然r是矩陣a的特征值

-0.39當然我們可用poly令其返回多項式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab規(guī)定多項式系數(shù)向量用行向量表示，一組根用列向量表示。3.conv,convs多項式乘運算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+184.deconv多項式除運算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)5.多項式微分matlab提供了polyder函數(shù)多項式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多項式a,b乘積的微分[p,q]=polyder(a,b):求多項式a,b商的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=4664poly2str(b,'x')ans=4x^3+6x^2+6x+4五、代數(shù)方程組求解matlab中有兩種除運算左除和右除。對于方程ax+b，a為an×m矩陣，有三種情況：當n=m時，此方程成為“恰定”方程當n>m時，此方程成為“超定”方程當n<m時，此方程成為“欠定”方程

matlab定義的除運算可以很方便地解上述三種方程1.恰定方程組的解方程ax+b(a為非奇異)x=a-1

b

矩陣逆兩種解:x=inv(a)b—采用求逆運算解方程x=a\b—采用左除運算解方程方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=132.超定方程組的解方程ax=b,m<n時此時不存在唯一解。方程解(a'a)x=a'bx=(a'

a)-1a'b——求逆法

x=a\b——matlab用最小二乘法找一個準確地基本解。例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3

解1x=a\b

解2x=inv(a'a)a'b

x=x=1.001.0000.00

=

ax=b3.欠定方程組的解

當方程數(shù)少于未知量個數(shù)時,即不定情況,有無窮多個解存在。matlab可求出兩個解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小長度或范數(shù)的解，這個解是基于偽逆pinv求得的。

x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=[123;234];b=[1;2];x=a\bx=pinv(a)bx=x=1.000.8300.330-0.17=ax=b六、函數(shù)優(yōu)化尋優(yōu)函數(shù)：fmin——單變量函數(shù)fmins——多變量函數(shù)constr——有約束條件無約束條件七、數(shù)據(jù)分析與插值函數(shù)max——各列最大值mean——各列平均值sum——各列求和std——各列標準差var——各列方差sort——各列遞增排序矩陣的函數(shù)>>helpmatfunMatrixfunctions-numericallinearalgebra.

Matrixanalysis.norm-Matrixorvectornorm.normest-Estimatethematrix2-norm.rank-Matrixrank.det-Determinant.trace-Sumofdiagonalelements.null-Nullspace.orth-Orthogonalization.rref-Reducedrowechelonform.subspace-Anglebetweentwosubspaces.

3．矩陣的函數(shù)

Linearequations.\and/-Linearequationsolution;use"helpslash".inv-Matrixinv