2022湖南省湘潭市中國百強中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2022湖南省湘潭市中國百強中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

（

）

A

BC

D

參考答案：C2.若滿足，則關于的函數(shù)圖象大致是（

）A.

B.C.

D.參考答案：B由，即，則，故可排除答案C，D；又，即，故排除答案A，所以應選答案B。3.設集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，則A∩B=（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）參考答案：A考點：交集及其運算．專題：計算題．分析：求解一元二次不等式化簡集合B，然后直接利用交集運算進行求解．解答：解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故選A．點評：本題考查了交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎的運算題．4.復數(shù)=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則公差d的值為：A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：C6.對于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點： 向量的共線定理；充要條件．

專題： 常規(guī)題型．分析： 利用向量垂直的充要條件，得到由前者推出后者；通過舉反例得到后者推不出前者；利用充要條件的定義得到選項．解答： 解：∵??反之，推不出，例如滿足兩個向量平行但得到所以是的充分不必要條件故選A點評： 本題考查向量共線的充要條件、考查說明一個命題不成立只要舉一個反例即可、考查條件判斷條件的方法．7.已知拋物線y2=8x的焦點F到雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為，點P是拋物線y2=8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1（0，c）的距離與到直線x=﹣2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為(

) A． B． C． D．參考答案：B考點：雙曲線的標準方程．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：確定拋物線的焦點坐標，雙曲線的漸近線方程，進而可得b=2a，再利用拋物線的定義，結合P到雙曲線C的上焦點F1（0，c）的距離與到直線x=﹣2的距離之和的最小值為3，可得FF1=3，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結論．解答： 解：拋物線y2=8x的焦點F（2，0），雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為ax﹣by=0，∵拋物線y2=8x的焦點F到雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為，∴∴b=2a∵P到雙曲線C的上焦點F1（0，c）的距離與到直線x=﹣2的距離之和的最小值為3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，b=2a∴a=1，b=2∴雙曲線的方程為故選B．點評：本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質，考查拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．8.設是定義在R上的偶函數(shù)，對，都有，且當時，，若在區(qū)間(－2,6)內關于x的方程恰好有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A．(2,+∞)

B．(1,2)

C．

D．參考答案：D∵對，都有∴，即的周期為4∵當時，∴當時，，則∵是偶函數(shù)∴當時，∵∴∴作出在區(qū)間內的圖象如下：∵在區(qū)間內關于的方程恰好有三個不同的實數(shù)根∴函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內有三個不同的交點∴只需滿足在點的下方，過點或在點上方，即∴故選D

9.在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且平面，則與平面所成角的正切值構成的集合是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為

.參考答案：4略12.若動直線與函數(shù)和的圖象分別交于兩點,則的最大值為________________.參考答案：2

13.已知直線與圓交于兩點，且，其中

為坐標原點，則實數(shù)的值為_________________。

參考答案：答案：14.已知雙曲線x2﹣=1的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若△ABF1是以A為直角頂點的等腰三角形，則△AF1F2的面積為

．參考答案：4﹣2

【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性質即可求得4=（2+m），丨AF2丨=m=2（﹣1），丨AF1丨=2，由三角的面積公式，即可求得△AF1F2的面積．【解答】解：雙曲線x2﹣=1焦點在x軸上，a=1，2a=2，設丨AF2丨=m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2，∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨，∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2，丨BF1丨=4，根據(jù)題意丨BF1丨=丨AF1丨，即4=（2+m），m=2（﹣1），丨AF1丨=2，△AF1F2的面積S=?丨AF2丨?丨AF1丨=×2（﹣1）×2=4﹣2，△AF1F2的面積4﹣2，故答案為：4﹣2．15.在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，則實數(shù)k=．參考答案：4【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】平面向量及應用．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，利用?=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如圖所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴?=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案為：4．【點評】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積表示向量垂直的應用問題，是基礎題目．16.或是的________________條件.參考答案：略17.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為3，b﹣c=2，cosA=﹣，則a的值為．參考答案：8考點： 余弦定理．專題： 解三角形．分析： 由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化為bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．解答： 解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化為bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案為：8．點評： 本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，A、B是圓O上的兩點，且AB的長度小于圓O的直徑，直線l與AB垂于點D且與圓O相切于點C．若AB=2，DB=1（1）求證：CB為∠ACD的角平分線；（2）求圓O的直徑的長度．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段；圓周角定理．【專題】選作題；轉化思想；綜合法；推理和證明．【分析】（1）由切割線定理得CD2=DA?DB=3，證明∠ACB=∠CAB，利用CD為圓O的切線，∠BCD=∠，可得∠BCD=∠ACB，即可證明CB為∠ACD的角平分線；（2）連結AO并延長交圓O于點E，連結CE，求出AE，即可求圓O的直徑的長度．【解答】（1）證明：由切割線定理得CD2=DA?DB=3，∴…又∵在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=3+1=4…∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，∴∠ACB=∠CAB…又∵CD為圓O的切線，∴∠BCD=∠CAB…∴∠BCD=∠ACB，CB為∠ACD的角平分線

…（2）解：連結AO并延長交圓O于點E，連結CE，設DC延長線上一點為F，則∵AE為圓O直徑，∴∵直線l與圓O相切于點C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2，∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB…∴EC=BC=AB=2（相等的圓周角所對的弦相等）…∵AC2=AD2+CD2=9+3=12…∴AE2=EC2+AC2=4+12=16…∴AE=4圓O的直徑為4

…【點評】本題考查切割線定理，圓的切線的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19.（12分）某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？參考答案：考點： 函數(shù)模型的選擇與應用；函數(shù)的最值及其幾何意義．專題： 應用題．分析： （1）由投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比，結合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；（2）由（1）的結論，我們設設投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20﹣x萬元．這時可以構造出一個關于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進行求解．解答： 解：（1）f（x）=k1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）設：投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20﹣x萬元．（0≤x≤20）令，則==所以當t=2，即x=16萬元時，收益最大，ymax=3萬元．點評： 函數(shù)的實際應用題，我們要經(jīng)過析題→建?！饽！€原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（?。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問題中，最常見的思路之一．20.（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點為、，點在橢圓上．⑴求橢圓的方程；⑵若拋物線（）與橢圓相交于點、，當（是坐標原點）的面積取得最大值時，求的值．參考答案：解：⑴依題意，設橢圓的方程為……1分，ks5u……2分，，所以……3分，，所以……4分，橢圓的方程為……5分⑵根據(jù)橢圓和拋物線的對稱性，設、（）……6分，的面積……7分，在橢圓上，，所以，等號當且僅當時成立……9分，解（）得……10分，即在拋物線上，所以……11分，解得……12分．略21.已知函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，分離參數(shù)，問題轉化為在[2，4]上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可；（Ⅱ）問題等價于a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，設g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可，根據(jù)函數(shù)的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ），∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞減，∴在區(qū)間[2，4]上恒成立，即在[2，4]上恒成立，…只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．當2≤x≤4時，，…∴，即，故實數(shù)a的取值范圍是．…（Ⅱ）因f（x）圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內，即當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，設g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可．…由，（i）當a=0時，，當x＞1時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．（ii）當a＞0時，由，令g'（x）=0，得x1=1或，①若，即時，在區(qū)間[1，+∞）上，g'（x）≥0，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調遞增，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；②若，即時，函數(shù)g（x）在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，同樣g（x）在[1，+∞）無最大值，不滿足條件．（iii）當a＜0時，由，因x∈[1，+∞），故g'（x）≤0，則函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調遞減，故g（x）≤g（1）=0成立．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．…22.（本題滿分13分）如圖，是拋物線為上的一點，以S為圓心，r為半徑（）做圓，分別交x軸于A，B兩點，連結并延長SA、SB，分別交拋物線于C、D兩點。(Ⅰ)求證：直線CD的斜率為定值；(Ⅱ)延長