第三章 傅里葉變換2

§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)1本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例進(jìn)行分析，討論：頻譜的特點頻譜結(jié)構(gòu)頻帶寬度能量分布希望通過對周期矩形脈沖信號的討論，起到舉一反三的作用。其他信號，如周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號自學(xué)。其問題結(jié)構(gòu)與周期矩形脈沖信號是相同的?！?.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)2一、周期矩形脈沖信號1．三角形式的譜系數(shù)是個偶函數(shù)3

周期矩形脈沖信號的三角形式傅里葉級數(shù)為

f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為42、指數(shù)形式的譜系數(shù)3、頻譜圖56包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)；最大值在處，為；離散譜（諧波性），僅當(dāng)時取值；第一個零點坐標(biāo)為因為一般是復(fù)函數(shù)（此處為實函數(shù)），時，相位為0；時，相位為。頻譜特點7

4、頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系（t1,）

1.若不變，擴(kuò)大一倍，即8

2.若不變，減小一半，即

譜線間隔只與周期有關(guān)，且與成反比；零值點頻率只與有關(guān)，且與成反比；而譜線幅度與和都有關(guān)系，且與成反比與成正比。9總結(jié)矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：

（1）離散性；（2）諧波性；（3）收斂性。105、頻帶寬度問題提出第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。11周期矩形脈沖信號的功率而總功率

二者比值

12頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：信號的有效帶寬與信號時域的持續(xù)時間成反比。即

越大，其wb越?。环粗?，越小，其wb

越大。

物理意義：在信號的有效帶寬內(nèi)，集中了信號絕大部分諧波分量。若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產(chǎn)生明顯影響。13語音信號頻率大約為 300~3400hz，音樂信號 50~15,000hz，擴(kuò)大器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為15~20,000h對于一般周期信號，將幅度下降為的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。信號的有效帶寬有多種定義方式。說明：當(dāng)信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。頻帶寬度系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真14對稱方波是周期矩形的特例t1t1/4-t1/4實偶函數(shù)周期矩形對稱方波奇次余弦15對稱方波的頻譜變化規(guī)律tt/4-t/416二、周期鋸齒脈沖信號e/2tf(t)-e/2t1/2-t1/2周期鋸齒脈沖信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。17三、周期三角脈沖信號周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以的規(guī)律收斂。ef(t)t-t1-t1/2t1/2t118分析問題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級數(shù)最重要概念：頻譜函數(shù)要點

1.頻譜的定義、物理意義

2.頻譜的特點

3.頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號的頻譜

4.功率譜的概念及在工程中的應(yīng)用周期信號的頻譜分析小結(jié)19§3.4非周期信號的頻譜分析─傅里葉變換本節(jié)內(nèi)容是本章的核心，也是本課程最難理解接受的部分。本節(jié)的主要內(nèi)容為：傅里葉變換傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的特殊形式傅里葉變換存在的條件重點：傅里葉變換的定義難點：傅里葉變換的物理意義

20一、連續(xù)時間信號的傅氏變換及其頻譜從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別傅里葉反變換非周期矩形脈沖信號的頻譜分析21周期信號的離散譜非周期信號的連續(xù)譜由于1、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換22頻譜密度函數(shù)則記為f[f(t)]-----------非周期信號f(t)

的傅里葉變換---------傅里葉逆變換f–1物理意義:f(jw)是單位頻率所具有的信號頻譜，稱之為非周期信號的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。232、頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別------連續(xù)譜、相對幅度周期信號：------離散譜、實際幅度頻譜函數(shù)：頻譜密度函數(shù)：關(guān)系：24頻譜演變的定性觀察-t/2t/2t/2-t/225小結(jié)（1）周期信號的頻譜為離散頻譜，

非周期信號的頻譜為連續(xù)頻譜。（2）周期信號的頻譜為fn的分布，表示每個諧波分量的復(fù)振幅；非周期信號的頻譜為t1fn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。兩者關(guān)系：263、傅里葉反變換物理意義：非周期信號可以分解為無數(shù)個頻率為，復(fù)振幅為[f(j)/2p]d

的虛指數(shù)信號ejw

t的線性組合。t1

,記nw1=w,w1=2p/t1=dw,274．傅里葉變換對（正變換）

（逆變換）簡寫為

28傅里葉變換的物理意義

的連續(xù)余弦信號之和，其含義為：無窮多個振幅為無窮小

其含義為：無窮多個振幅為無窮小

的連續(xù)指數(shù)信號之和

29傅里葉變換的特殊形式進(jìn)一步得到：

f(t)偶函數(shù)(奇分量為零）

實偶函數(shù)，只有

相位

f(t)奇函數(shù)(偶分量為零）

虛奇函數(shù)，只有

相位30傅里葉變換存在的條件注：所有能量信號均滿足此條件。當(dāng)引入函數(shù)的概念后，允許變換的函數(shù)類型大大擴(kuò)展了。但這類函數(shù)的傅里葉變換中將包含沖激函數(shù)的形式，計算過程不宜采用直接帶入定義計算的方法

狄里赫萊條件（1）非周期信號在無限區(qū)間上絕對可積（2）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號只有有限個最大值和最小值（3）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號僅有有限個不連續(xù)點，且這些點必須是有限值。31§3.5典型非周期信號的頻譜本課程求解信號的傅里葉變換的方法就是合適地選取一個典型信號，建立該信號與典型信號的關(guān)系，根據(jù)該關(guān)系，利用傅里葉變換的性質(zhì)，求得該信號的傅里葉變換。本節(jié)就是介紹若干典型信號的傅里葉變換，包括矩形脈沖信號單邊指數(shù)信號直流信號符號函數(shù)重點：矩形脈沖的頻譜密度函數(shù)難點：不滿足絕對可積條件信號的傅里葉變換的求解32一、單邊指數(shù)信號

幅度頻譜相位頻譜33相位頻譜幅度頻譜一、單邊指數(shù)信號

34幅度頻譜

相位頻譜二、雙邊指數(shù)信號e-a|t|35三、矩形脈沖信號頻寬：

周期矩形脈沖信號：之間滿足如下關(guān)系：信號在時域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)。36脈沖寬度越窄，有效帶寬越寬，高頻分量越多。即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用的頻帶越寬。37四、直流信號直流信號：不滿足絕對可積條件，所以不能直接用定義求。采用矩形脈沖求極限的方法，即演示p120圖3-2838推導(dǎo)：注：

p17（1-35）39即：時域無限寬，頻帶無限窄。

當(dāng)

不改變所以

注：

40四、符號函數(shù)

處理方法：做一個雙邊函數(shù)

()().1wwff，求極限得到求()()sgn1aettft-=41頻譜圖42§3.6

沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換本節(jié)依然是介紹典型信號的傅里葉變換，包括沖激函數(shù)沖激偶單位階躍函數(shù)這些函數(shù)在以后的應(yīng)用中非常廣泛，所以單獨(dú)討論。43一、沖激函數(shù)的傅里葉變換44比較對照沖激、直流時頻曲線可看出:

時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續(xù)越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。45二、沖激偶的傅里葉變換奇函數(shù)虛數(shù)46二、沖激偶的傅里葉變換f即：上式兩邊對t求導(dǎo)得：f同理：f47三、單位階躍函數(shù)將單位階躍信號用直流和符號函數(shù)表示48()wwpdjtu1)(+?0w()p0ww0()wf()p49§3.7傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)本質(zhì)就是信號的時域運(yùn)算關(guān)系在傅里葉變換域中的體現(xiàn)，也是求解信號傅里葉變換的基本手段。傅里葉變換具有唯一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：

1.了解特性的內(nèi)在聯(lián)系

2.用性質(zhì)求

3.了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的實用這些性質(zhì)在內(nèi)容和形式上具有某種程度的對稱性。

50傅立葉變換的基本性質(zhì)1.

線性特性 2.共軛對稱特性3.對稱互易特性 4.展縮特性 5.

時移特性6.頻移特性7.時域卷積特性 8.頻域卷積特性9.時域微分特性10.積分特性 11.頻域微分特性12.能量定理51一、互易對稱特性5202πf(ω)ω(2π)tf(t)=1010f(jω)=1ω1例如：0(1)t又如：53例題1、2、3、54利用傅里葉變換的互易對稱性，可以將求傅里葉逆變換的問題轉(zhuǎn)化為求傅里葉變換來進(jìn)行。f即fff若則55f例：求解：fff56二、線性1．性質(zhì)2．說明這個性質(zhì)雖然簡單，但實際上是應(yīng)用最多的。

例

57三、奇偶虛實性（共軛對稱特性）奇偶虛實性實際上在“傅里葉變換的特殊形式”中已經(jīng)介紹過。1.

2.

證明：由定義

可以得到

ff如：ff58四、尺度變換性質(zhì)證明時域壓縮，則頻域展寬；展寬時域，則頻域壓縮。59(1)

0<a<1時域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a倍，信號變化減緩，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。因此高頻分量減少，幅度上升a倍。60(2)a>1時域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。持續(xù)時間短，變化加快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。

此例說明：信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。61五、時移特性式中t0為任意實數(shù)證明：令x=t-t0，則dx=

dt，代入上式可得信號在時域中的時移，對應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。同理f62例1

試求圖示延時矩形脈沖信號x1(t)的頻譜函數(shù)x1(jw)。解：

無延時且寬度為的矩形脈沖信號x(t)

如圖，因為故，由延時特性可得其對應(yīng)的頻譜函數(shù)為63幅度譜保持不變，相位譜產(chǎn)生附加相移64例題：求下圖所示函數(shù)的傅里葉變換。解：

由對稱關(guān)系求

又因為

65幅頻、相頻特性分別如下圖所示。幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜66六、時移+尺度變換

1.性質(zhì)：2.

證明：(仿的證明過程)3.

例

題672.證明：當(dāng)時，設(shè)，則68例題方法一：先標(biāo)度變換，再時延方法二：先時延再標(biāo)度變換兩種方法結(jié)果相同。

例3-2,3-369七、頻移特性（調(diào)制定理）1．性質(zhì)2．證明3．說明頻譜搬移技術(shù)70可見，此時其頻譜一分為二，并沿頻率軸向左和向右各平移具體推導(dǎo)頻譜搬移技術(shù)71調(diào)幅信號的頻譜（載波技術(shù)）求：的頻譜？72頻移特性載波頻率73調(diào)幅信號都可看成乘積信號矩形調(diào)幅指數(shù)衰減振蕩三角調(diào)幅求它們的頻譜=？（略）74調(diào)幅信號的頻譜等于將包絡(luò)線的頻譜一分為二，各項左、右移載頻例3-4：求矩形調(diào)幅信號的頻譜函數(shù)，已知f(t)=g(t)cosω0t，其中

g(t)為矩形脈沖，脈幅為a,脈寬為τ。75例3-5：求的頻譜。

解：

fff76八、時域微分性質(zhì)1.性質(zhì)2.證明3.推論)()()(

)(wwfjtfnn?774.特別注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出直流分量單獨(dú)求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。78九、頻域微分性質(zhì)或

則

例解：79例

解：p121，3-4880十、時域積分性質(zhì)81證明82例題——時域積分性質(zhì)1.求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換。解：則832.求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．分析：

（例3-6）沖激函數(shù)求導(dǎo)????84解：85例3-7求下列斜平信號的頻譜分析：86ft0ftft87用ft積分特性求階躍的ft斜平信號ft88例4

試?yán)梅e分特性求圖示信號x(t)的頻譜函數(shù)。解：

將x(t)表示為x1(t)+x2(t)即89修正的時域積分性質(zhì)則

90例5

試?yán)眯拚姆e分特性求圖示信號x(t)的頻譜函數(shù)。

解：

利用修正的積分特性，可得與例4結(jié)果一致！91§3.8卷積定理本課程中卷積是求解信號作用于系統(tǒng)的響應(yīng)的基本，也是主要的手段。時域中的卷積關(guān)系在頻域中對應(yīng)的卷積定理，揭示了時間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，是通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的傅里葉變換性質(zhì)之一。92時域卷積定理

1.內(nèi)容2.證明：交換積分次序

所以這說明：時域卷積對應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。93頻域卷積定理這說明：時域中的乘積對應(yīng)于頻域中的卷積的倍。

94卷積定理的應(yīng)用用時域卷積定理求頻譜密度函數(shù)2.求的傅里葉變換3.求系統(tǒng)的響應(yīng)這樣將時域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。

例題95例3-9求三角脈沖的頻譜解：-τ/4τ/4tg(t)