機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本問題

會計(jì)學(xué)1機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本問題2教學(xué)目的、要求1．熟悉優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念2．掌握數(shù)值計(jì)算的迭代過程和終止準(zhǔn)則教學(xué)重點(diǎn)1．優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表示方法2．?dāng)?shù)值計(jì)算法的迭代過程3．梯度準(zhǔn)則第1頁/共42頁3第2頁/共42頁4

優(yōu)化設(shè)計(jì)是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項(xiàng)新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機(jī)配合方式或“自動探索”方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動或自動設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

§1-1緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的含義例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動中經(jīng)過無數(shù)次摸索認(rèn)識到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強(qiáng)度也最大?！皟?yōu)化”yōuhuà[optimalize]采取一定措施使變得優(yōu)秀所謂優(yōu)化,

是指在一定條件下力求獲得最優(yōu)結(jié)果的思想與觀念。金山詞霸的解釋國家知識基礎(chǔ)設(shè)施（NationalKnowledgeInfrastructure，CNKI）的解釋第3頁/共42頁5機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)

就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

常規(guī)設(shè)計(jì)流程二者有何區(qū)別？前者是找到可行解決方案，后者是找到最好的方案。第4頁/共42頁62.優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況

1.古希臘時期歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。

2.十七、十八世紀(jì)

微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。

3.19~20世紀(jì)初進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。

4.二戰(zhàn)軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實(shí)際問題，如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。

第5頁/共42頁75.50年代末

數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。6.60年代初

最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第6頁/共42頁8

7.近幾十年來

最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到各工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域。(建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車)

其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。第7頁/共42頁9機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例

美國波音飛機(jī)公司對大型機(jī)翼用138個設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用10個變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本降低約10%。例如，工廠在安排生產(chǎn)計(jì)劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設(shè)備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達(dá)到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導(dǎo)車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。LPD17級兩棲船塢運(yùn)輸艦首艦"圣安東尼奧"號第8頁/共42頁10體積小如何合理分配傳動比節(jié)能曲柄均方根扭矩最小第9頁/共42頁11

優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)1.保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能2.減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本3.使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。第10頁/共42頁12

基礎(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論（2）現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)內(nèi)容：（1）將工程實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；（建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型）（2）用最優(yōu)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，是很好的工具。3.本課程的任務(wù)第11頁/共42頁13本課程的主要目的和任務(wù)：①了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識；②擴(kuò)大視野，并初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本方法解決簡單工程實(shí)際問題的素質(zhì)。第12頁/共42頁14§1-2優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的示例

已知：制造一體積為100m3，長度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面積的表達(dá)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長x1，寬x2，高x3

；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）體積要求； （b）長度要求；

x1x2x3箱盒的優(yōu)化設(shè)計(jì)第13頁/共42頁15數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：第14頁/共42頁16

某工廠生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品單位價格為PA

萬元，B產(chǎn)品單位價格為PB

萬元。每生產(chǎn)一個單位A產(chǎn)品需消耗煤aC

噸，電aE度，人工aL

個人日；每生產(chǎn)一個單位B產(chǎn)品需消耗煤bC

噸，電bE

度，人工bL個人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C噸，電E度，勞動力L個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。分析：（1）產(chǎn)值的表達(dá)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：A產(chǎn)品xA，B產(chǎn)品xB

；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動力約束；最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題第15頁/共42頁17數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：第16頁/共42頁18§1-3優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型1.設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量—在設(shè)計(jì)中需進(jìn)行優(yōu)選的獨(dú)立的待求參數(shù)；（從互相依賴的參數(shù)中把真正獨(dú)立的參數(shù)分解出來,i=i1*i2）

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。包括3個要素：設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。設(shè)計(jì)變量連續(xù)變量離散變量（齒輪的模數(shù)、螺紋的公稱直徑、滾動軸承的內(nèi)徑）第17頁/共42頁19設(shè)計(jì)常量—預(yù)先已給定的參數(shù)；

設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。

由n個設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計(jì)空間。一個“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。

工程中，設(shè)計(jì)變量均為實(shí)數(shù)，設(shè)計(jì)空間為n維歐氏空間。第18頁/共42頁20圖1-1設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問題（b）三維設(shè)計(jì)問題n>4時，設(shè)計(jì)空間成為超越空間第19頁/共42頁21

通常,設(shè)計(jì)自由度,越能獲得理想的結(jié)果,但求解難度。小型設(shè)計(jì)問題：一般含有2—10個設(shè)計(jì)變量；中型設(shè)計(jì)問題：10—50個設(shè)計(jì)變量；大型設(shè)計(jì)問題：50個以上的設(shè)計(jì)變量。目前已能解決200個設(shè)計(jì)變量的大型優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。第20頁/共42頁222.目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化過程就是使設(shè)計(jì)變量的不斷向F(X)值改善的方向自動調(diào)整的過程，最后求得X

，使F(X)值最好，一般處理為求最小值形式。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量?？勺鳛閰⒖寄繕?biāo)函數(shù)的有：

體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負(fù)荷最小等等。

將優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)表達(dá)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。第21頁/共42頁23

在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。

在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題中，常常會遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。（凸輪機(jī)構(gòu)：緊湊，基圓半徑減小，但壓力角增大，傳力性能不好）第22頁/共42頁24

目標(biāo)函數(shù)等值（線）面

目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

c為一系列常數(shù)*等值線（面）—能使目標(biāo)函數(shù)取某一定值的所有設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合;—在無約束極小點(diǎn)處，等值線一般收縮一個點(diǎn)。如:第23頁/共42頁25

3.約束條件

設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計(jì)滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。一個可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束第24頁/共42頁26顯式約束隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計(jì)算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。第25頁/共42頁27消極約束---能夠被其他約束條件所替代的約束。

可行域:

在設(shè)計(jì)空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間。

Dⅲ)起作用的約束與不起作用的約束約束邊界上的點(diǎn)為邊界點(diǎn),其余可行點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)。ⅱ)邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)D內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行點(diǎn),否則為不可行點(diǎn)。*ⅰ)可行點(diǎn)與不可行點(diǎn)第26頁/共42頁28圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D例：某優(yōu)化約束條件如下：g1（X）=x12＋x22—16≤Og2（X）＝2—X2≤0。畫出可行域。若又有g(shù)3（X）＝4—X1≤0。則g3（X）是否為一個起作用約束。第27頁/共42頁29§1-3優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的表示方法滿足約束條件求設(shè)計(jì)變量向量使目標(biāo)函數(shù)D第28頁/共42頁30D對于若有，使，則稱為最優(yōu)點(diǎn)，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值稱為最優(yōu)值，稱為最優(yōu)解。線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)。第29頁/共42頁311）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對優(yōu)化對象進(jìn)行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量。3）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型一般步驟：第30頁/共42頁32

對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。第31頁/共42頁33§1-4優(yōu)化計(jì)算的數(shù)值解法和收斂條件求解優(yōu)化問題的基本解法有：

1.基本解法解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。局限性：工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩。第32頁/共42頁34

優(yōu)點(diǎn)：

1）是數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析方法；

2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算—便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；

3）最后得出的是逼近精確解的近似解。

數(shù)值解法：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)或直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長的確定等。第33頁/共42頁35在中間過程中每一步的迭代形式為：

迭代逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)過程示意圖

上式中：X（k）——第k步