等邊三角形的性質和判定

關于等邊三角形的性質和判定第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日

學習目標

1．探索等邊三角形的性質和判定．

2．能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明．

第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日名稱圖形性質

判定等腰三角形ABC等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形知識回顧第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日等邊三角形:(正三角形)三條邊都相等的三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形.第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日

聯(lián)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形；

區(qū)別：等邊三角形有三條相等的邊，而等腰三角形只有兩條.創(chuàng)設情境，導入新知請分別畫出一個等腰三角形和等邊三角形，結合你畫的圖形說出它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？ABCABC第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日1、等邊三角形的內角都相等嗎?為什么?∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C(在同一個三角形中等邊對等角)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°探索星空：探究性質一第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日證明：∵△ABC是等邊三角形，∴

BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．細心觀察，探索性質已知：△ABC是等邊三角形求證：∠A=∠B=∠C

=60°．ABC第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

符號語言：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．細心觀察，探索性質等邊三角形的性質：

等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.ABC第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、等邊三角形有“三線合一”的性質嗎?為什么?結論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線都三線合一。（所有的高線，角平分線，中線的長度相等。）探索星空：探究性質二第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日3、等邊三角形是軸對稱圖形嗎?有幾條對稱軸?探索星空：探究性質三第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日等邊三角形的性質2.等邊三角形的內角都相等,且等于60°3.等邊三角形各邊上中線,高和所對角的平分線都三線合一.4.等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.1.三條邊相等第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日圖形邊角軸對稱圖形等腰三角形兩邊相等（定義）

兩底角相等（等邊對等角）是（三線合一）一條對稱軸等邊三角形三邊相等（定義）？？細心觀察，探索性質結合等腰三角形的性質，你能填出等邊三角形對應的結論嗎？第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日細心觀察，探索性質結合等腰三角形的性質，你能填出等邊三角形對應的結論嗎？圖形邊角軸對稱圖形等腰三角形兩邊相等（定義）

兩底角相等（等邊對等角）是（三線合一）一條對稱軸等邊三角形三邊相等（定義）？

相等每個角都等于60°第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日相等每個角都等于60°細心觀察，探索性質結合等腰三角形的性質，你能填出等邊三角形對應的結論嗎？圖形邊角軸對稱圖形等腰三角形兩邊相等（定義）

兩底角相等（等邊對等角）是（三線合一）一條對稱軸等邊三角形三邊相等（定義）是（三線合一）三條對稱軸第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日思考1一個三角形的三個內角滿足什么條件是等邊三角形？

三個角都相等的三角形或者一個角為60°的等腰三角形．思考2一個等腰三角形滿足什么條件是等邊三角形？細心觀察，探索性質問題等邊三角形除了用定義（即用邊）來判定以外，能否利用角來判定呢？第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(在同一個三角形中等角對等邊)探索星空：探究判定一1、三個內角都等于60°的三角形是等邊三角形?∴△ABC是等邊三角形第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日符號語言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等邊三角形．細心觀察，探索性質等邊三角形的判定定理1：

三個角都相等的三角形是等邊三角形．

CAB第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

證明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，∴BC=AC，AC=AB．∴AB=BC=AC．∴△ABC是等邊三角形．已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．細心觀察，探索性質CAB第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、有一個內角等于60°的等腰三角形是等邊三角形?探索星空：探究判定二當頂角為60°時，兩個底角各為60°.當?shù)捉菫?0°時，頂角為60°.第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日細心觀察，探索性質等邊三角形的判定定理2：

有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．CAB符號語言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形．第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日等邊三角形的判定定理1：

三個角都相等的三角形是等邊三角形．等邊三角形的判定定理2：

有一個角為60°的等腰三角形．細心觀察，概括歸納判定等邊三角形的方法：

從邊的角度：等邊三角形的定義；

從角的角度：等邊三角形的兩條判定定理．第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日等邊三角形的判定方法:1.三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個內角都等于60°（或三個內角都相等）的三角形是等邊三角形.3.有一個內角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日嘗試舞臺例4等邊三角形ABC的周長等于21㎝，求：（1）各邊的長；（2）各角的度數(shù)。解：（1）∵AB＝BC＝CA，又∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知）∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7（㎝）（2）∵AB＝BC＝CA，（已知）∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等邊三角形的每個內角都等于60°）

ABC第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日試一試你能行

１、下列四個說法中，不正確的有（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個三個角都相等的三角形是等邊三角形。有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形。有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形。２、等邊三角形的對稱軸有（）（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條

３、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（）（A）3條（B）6條（C）9條（D）7條

（選擇）ＢＣＡ第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日探究：如圖,等邊三角形ABC,以下三種方法分別得到的三角形ADE都是等邊三角形嗎？為什么？（1）在邊AB，AC，分別截取AD=AE（2）∠ADE=60°，D，E分別在邊AB，AC上（3）過邊AB上D點，作DE∥BC，交

AC于E點ABCDE第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，

∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．動腦思考，例題解析例1如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC,分別交AB，AC于點D，E．求證：△ADE是等邊三角形.追問本題還有其他證法嗎？ABCDE第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.動腦思考，變式訓練變式1若點D、E在邊AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結論還成立嗎？ADEBC第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日動腦思考，變式訓練變式2若點D、E在邊AB、AC的反向延長線上，且DE∥BC，結論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，

∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等邊三角形．ADEBC第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日這是兩個等邊三角形,那么請移動三根火柴,將此圖變成四個等邊三角形.提示:此題并不難,如果外部不能解決,那么想想里面吧.考考你第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日名稱圖形性質

等邊三角形等邊三角形的性質:三個角都相等，且都為60°三線合一三條邊都相等軸對稱圖形，有三條對稱軸第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日名稱圖形

判定

等邊三角形等邊三角形的判定:三個角都等于60°的三角形三條邊都相等的三角形有一個角等于60°的等腰三角形第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日BACD將兩個含有30°的直角三角板如圖擺放在一起你能借助這個圖形,找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關系嗎?探究第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日∵△ABC與△ADC關于AC軸對稱∴AB＝AD△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB你還能用其他方法證明嗎?BACD第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日在直角三角形中,如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.A┓）30°BC在直角△ABC中∵∠A＝30°∴AC＝2BC第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日下圖是屋架設計圖的一部分,點D是斜梁AB的中點,立柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多長?ABDEC第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°可得2BC＝AB,2DE＝AD∴BC＝1/2×7.4＝3.7m又AD＝1/2AB

∴DE＝1/2AD＝1/2×3.7＝1.85m答:立柱BC的長是3.7m,DE的長是1.85m.第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

1如圖,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之長.作業(yè)題:MCBDA第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

2如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分線