名師課件：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第三冊(cè) 兩角和與差的余弦

8.2.1兩角和與差的余弦課標(biāo)闡釋

1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程,掌握用向量證明問(wèn)題的方法,進(jìn)一步體會(huì)向量法的作用.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式,并能用兩角和與差的余弦公式解決相關(guān)的求值、化簡(jiǎn)和證明等問(wèn)題.思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示,在地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得A,C兩點(diǎn)間的距離約為60米,從點(diǎn)A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為45°,∠CAB=15°,求這座電視發(fā)射塔的高度.設(shè)電視發(fā)射塔的高度CD=x,則AB=AC·cos15°=60cos15°,BC=ACsin15°=60sin15°,BD=AB·tan60°=60·cos15°·tan60°=60cos15°,∴x=BD-BC=60cos15°-60sin15°.如果能求出cos15°,sin15°的值,就可求出電視發(fā)射塔的高度.問(wèn)題:1.30°=60°-30°,那么cos30°=cos60°-cos30°成立嗎?類(lèi)似的15°=45°-30°,那么cos15°=cos45°-cos30°成立嗎??α,β∈R,cos(α-β)=cosα-cosβ成立嗎?2.如何用α,β的正弦、余弦值來(lái)表示cos(α-β)呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn):兩角和與差的余弦公式

名

稱(chēng)公

式簡(jiǎn)記兩角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβCα+β兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβCα-β激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

兩角和與差的余弦公式的常見(jiàn)變形應(yīng)用

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)cos15°=

.

微判斷(1)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(2)cos(α+β)=cosα+cosβ.(

)(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ對(duì)任意α,β都成立.(

)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)兩角和與差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

分析(1)先把615°轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的差,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化利用兩角和的余弦公式求解.(2)先利用誘導(dǎo)公式對(duì)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再逆用兩角差的余弦公式求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案(1)D

(2)B反思感悟

利用兩角和與差的余弦公式解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題的一般思路(1)先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,再用公式直接求值;(2)充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)給值求值問(wèn)題

分析將β轉(zhuǎn)化為(α+β)-α,再利用公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

給值求值問(wèn)題的兩個(gè)主要技巧一個(gè)是已知角的某一三角函數(shù)值,求該角的另一三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)注意角的終邊所在的象限,從而確定三角函數(shù)值的正負(fù).二是注意變角,“變角”的技巧在三角函數(shù)求值以及證明中經(jīng)常用到,因?yàn)楹侠怼白兘恰焙罂沙浞掷靡阎獥l件中的三角函數(shù)值來(lái)計(jì)算或證明.常見(jiàn)的角的變換方式:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)給值求角問(wèn)題分析利用兩角和的余弦公式求α+β的余弦值,并結(jié)合角α+β的范圍進(jìn)行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

解決給值求角問(wèn)題的策略求角時(shí),先根據(jù)已知條件求出角的余弦值,然后根據(jù)已知條件求出角的范圍,從而確定角的大小.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角的變換技巧的應(yīng)用角的變換是三角恒等變換的首選方法.在進(jìn)行三角恒等變換時(shí),對(duì)角與角之間的關(guān)系必須進(jìn)行認(rèn)真的分析.(1)分析角之間的和、差、倍、分關(guān)系,例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),(2)在非特殊值角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)中,要特別注意能否產(chǎn)生特殊角.(3)熟悉兩角互余、互補(bǔ)的各種形式,如α+β=,α+β=π,正確掌握誘導(dǎo)公式的正用、逆用、變形用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

三角變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心,它包括角的變換、函數(shù)名稱(chēng)的變換、三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換,而角的變換主要體現(xiàn)了拆角與湊角的方法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.在△ABC中,已知cosAcosB>sinAsinB,則△ABC一定是(

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形解析由cos

Acos

B>sin

Asin

B得cos