射影幾何入門

1.1-1對(duì)應(yīng)的定義12.1-1對(duì)應(yīng)的意義和性質(zhì)23.1-1對(duì)應(yīng)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用44.無(wú)窮集之間的1-1對(duì)應(yīng) 45.部分和整體的1-1對(duì)應(yīng),無(wú)窮集的定義6.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).點(diǎn)列和線束107.軸束.基本形118.三種基本形的六種透視對(duì)應(yīng)129.射影關(guān)系1410.1到無(wú)窮或無(wú)窮到1的對(duì)應(yīng)16TOC\o"1-5"\h\z11.平面點(diǎn)的無(wú)窮階數(shù) 1712.一階與二階無(wú)窮集 1713.通過空間一點(diǎn)的所有直線 1714.通過空間一點(diǎn)的所有平面 1815.平面上所有的直線1816.平面系和點(diǎn)系1917.空間中的所有平面1918.空間中的所有點(diǎn)2019.空間系2020.空間中的所有直線 2021.點(diǎn)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng) 2022.無(wú)窮遠(yuǎn)元素2225（二）1-1對(duì)應(yīng)基本形之間的關(guān)系2523.七種基本形2524.射影性2525.Desargues定理2626.關(guān)于二個(gè)完全四邊形的基本定理2727.定理的重要性2828.定理的重述2829.四調(diào)和點(diǎn)概念2930.調(diào)和共軛的對(duì)稱性3031.概念的重要性3032.四調(diào)和點(diǎn)的投影不變性3133.四調(diào)和線3134.四調(diào)和平面. 3135.結(jié)果的概要性總結(jié)3236.可射影性的定義3337.調(diào)和共軛點(diǎn)相互之間的對(duì)應(yīng)3338.調(diào)和共軛的元素的隔離3439.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共軛3440.射影定理和度量定理,線性作圖法3541.平行線與中點(diǎn)3642.將線段分成相等的n個(gè)部分3743.數(shù)值上的關(guān)系3744.與四調(diào)和點(diǎn)關(guān)聯(lián)的代數(shù)公式3745.進(jìn)一步的公式3846.非調(diào)和比（交比）39TOC\o"1-5"\h\z（三）射影相關(guān)基本形的結(jié)合 4147.疊加的基本形,自對(duì)應(yīng)元素4148.無(wú)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況4249.射影對(duì)應(yīng)的基本定理,連續(xù)性假設(shè) 4350.定理應(yīng)用于線束和平面束4451.具有一公共自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射影點(diǎn)列 4452.無(wú)公共自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射影相關(guān)點(diǎn)列 4553.透視對(duì)應(yīng)的兩個(gè)射線束4754.透視對(duì)應(yīng)的面束（軸束）4755.二階點(diǎn)列4756.軌跡的退化48TOC\o"1-5"\h\z57.兩階線束 4858.退化情況 4859.二階圓錐面49（四）二階點(diǎn)列 4960.二階點(diǎn)列與二階線束4962.切線5063.軌跡生成問題的陳述5064.基本問題的解決5165.圖形的不同構(gòu)作法5266.將軌跡上四點(diǎn)連到第五點(diǎn)的直線5267.定理的另一種陳述形式5368.更為重要的定理5469.Pascal定理5470.Pascal定理中點(diǎn)的名稱的替換5471.在一個(gè)二階點(diǎn)列上的調(diào)和點(diǎn)5672.軌跡的確定5673.作為二階點(diǎn)列的圓和圓錐線5674.通過五點(diǎn)的圓錐曲線5775.圓錐線的切線5876.內(nèi)接四邊形5977.內(nèi)接的三角形6078.退化圓錐線61（五）二階線束 6379.已定義的二階射線束6380.圓的切線6381.圓錐曲線的切線6582.系統(tǒng)的生成點(diǎn)列線6583.線束的確定6584.Brianchon定理6785.Brianchon定理中線的替換68TOC\o"1-5"\h\z86.用Brianchon定理構(gòu)造線束 6887.與一圓錐曲線相切的點(diǎn)6888.外切四邊形 6989.外切三邊形 7090.Brianchon定理的應(yīng)用7091.調(diào)和切線7192.可射影性和可透視性7193.退化情況7294.對(duì)偶律72（六）極點(diǎn)和極線 7595.關(guān)于圓的極點(diǎn)和極線757796.圓錐曲線的內(nèi)點(diǎn)的共軛點(diǎn)的軌跡7797.更多的性質(zhì)7898.極點(diǎn)極線的定義7899.極點(diǎn)與極線的基本定理78100.共軛點(diǎn)與共軛直線79102.自配極三角形79103.射影相關(guān)的極點(diǎn)與極線80104.對(duì)偶性81105.自對(duì)偶定理81106.其他對(duì)應(yīng)關(guān)系82（七）圓錐曲線的度量性質(zhì)83

107.直徑與中心83108.相關(guān)的幾個(gè)定理83109.共軛直徑84110.圓錐曲線的分類 84111.漸近線84112.有關(guān)的幾個(gè)定理 85113.關(guān)于漸近線的定理85115.由雙曲線及其漸近線切割的弦86116.定理的應(yīng)用868799100117.8799100118.用漸近線來表示一個(gè)雙曲線的方程88119.拋物線方程88120.參引共軛直徑的有心圓錐線的方程91（八）對(duì)合（Involution） 95121.基本定理95122.線性作圖法96直線上點(diǎn)的對(duì)合的定義97對(duì)合中的二重點(diǎn)97有關(guān)通過四點(diǎn)的圓錐曲線的Desargues定理126.退化圓錐線100127.通過四點(diǎn)并與一已知直線相切的圓錐線二重對(duì)應(yīng)100Steiner的作圖方法101Steiner作圖法在重對(duì)應(yīng)中的應(yīng)用102二階點(diǎn)列中點(diǎn)的對(duì)合103射線的對(duì)合104TOC\o"1-5"\h\z二重射線 105134.通過一固定點(diǎn)與四線相切的圓錐線105雙重對(duì)應(yīng) 105處于對(duì)合下的二階射線束106有關(guān)對(duì)合二階射線束的定理106由一圓錐曲線確定的射線的對(duì)合106定理的陳述 106定理的對(duì)偶 107（九） 對(duì)合的度量性質(zhì)109無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的引入;對(duì)合的中心109基本度量定理109

143.二重點(diǎn)的存在110144.二重射線的存在112145.通過圓來構(gòu)筑對(duì)合112146.147.1498.146.147.1498.150.圓點(diǎn)113對(duì)合中的正交射線對(duì)由圓圓一點(diǎn)錐圓的線錐性的質(zhì)線軸確定的1111對(duì)54合,圓的對(duì)點(diǎn)合是圓點(diǎn)115114115151.圓點(diǎn)的位置116152.尋找圓錐曲線的焦點(diǎn)117153.圓和拋物線117154.圓錐線焦點(diǎn)性質(zhì)118155.拋物線的情況 119156.拋物面反射鏡 119157.準(zhǔn)線．主軸．頂點(diǎn)119158.圓錐線的另一種定義120159.離心率120160.焦距之和與差121（十）綜合射影幾何的歷史 123161.早期成果123162.統(tǒng)一性原理124163.Desargues124164.極點(diǎn)與極線125165.通過4點(diǎn)的二階曲線的Desargues定理125166.推廣到空間的極點(diǎn)與極線理論126TOC\o"1-5"\h\z167.描述圓錐曲線的Desargues方法 126Desargues工作的被接納 127Desargues時(shí)代的保守性 127Desargues的寫作風(fēng)格 128Desargues工作缺乏欣賞 129Pascal與他的定理 129Pascal的短評(píng) 130Pascal的獨(dú)創(chuàng)性 130DeLaHire和他的工作 131Descartes和他的影響 132Newton和Maclaurin133Maclaurin的證法 133179.畫法幾何與綜合幾何的二次復(fù)興134180.對(duì)偶性,同調(diào)性,連續(xù)性,偶然性聯(lián)系 135181.Poncelet和Cauchy 135182.Poncelet的工作 136183.解析幾何妥欠綜合幾何的債137184.Steiner和他的工作 137185.VonStaudt和他的工作 138139186.近期的發(fā)展附錄140參考文獻(xiàn)148索引1511391.1-1對(duì)應(yīng)的定義第1章1-1對(duì)應(yīng)【定義】任意給定兩個(gè)集合，如果在它們之間能夠建立一種對(duì)應(yīng)，使得任意一個(gè)集合中的每一個(gè)元素，都對(duì)應(yīng)到另一集合中的一個(gè)且僅一個(gè)元素，那么，這兩個(gè)集合就稱為能夠建立1-1對(duì)應(yīng)的集合，簡(jiǎn)稱兩個(gè)集合為1-1對(duì)應(yīng)（One-to-OneCorrespondence）。這里，1-1對(duì)應(yīng)是定義兩個(gè)集合之間的一種關(guān)系，而不是它們?cè)刂g的關(guān)系，但要確定兩個(gè)集合是否有這種關(guān)系，需要考察它們的元素之間是否能夠建立一個(gè)具體的1-1對(duì)應(yīng)。【例】試問由三個(gè)數(shù)字組成的集合｛1,2,3｝,和由三個(gè)字母組成的集合｛A,B,C｝之間是否1-1對(duì)應(yīng)？【答】我們?cè)谶@兩個(gè)集合的元素之間建立下面這樣的對(duì)應(yīng)：1<->A，2<->B，3<->C這里符號(hào)<->表示其左右兩邊元素為對(duì)應(yīng)。這樣，兩個(gè)集合中的每一個(gè)元素，都對(duì)應(yīng)到了另一集合中的一個(gè)且僅一個(gè)元素。所以集合｛1,2,3｝與集合｛A,B,C｝為1-1對(duì)應(yīng)。顯然，包含兩個(gè)數(shù)字的集合｛1,2｝或包含四個(gè)數(shù)字的集合｛1,2,3,4｝就不能與包含三個(gè)字母的集合｛A,B,C｝建立1-1對(duì)應(yīng)。集合1-1對(duì)應(yīng)的概念非常簡(jiǎn)單，但也非常重要，它在科研、生產(chǎn)或在日常生活中都頻繁使用。例如，我們通常進(jìn)行的計(jì)數(shù)過程就是將被計(jì)數(shù)對(duì)象與數(shù)字'1'、'2'、'3'之間在心中建立1-1對(duì)應(yīng)；在人類尚未進(jìn)入文明時(shí)代、尚未發(fā)明數(shù)字之前，也已利用他們的手指與被計(jì)數(shù)對(duì)象（如每天的掠物）建立1-1對(duì)應(yīng)?？茖W(xué)家們的神圣工作是對(duì)自然界各種事物進(jìn)行命名與分類本質(zhì)上就是將這些事物及其屬性與適當(dāng)?shù)膚ord（單字）建立1-1對(duì)應(yīng)。這種過程雖然不像計(jì)數(shù)那樣簡(jiǎn)單，需要反復(fù)，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本質(zhì)上，每一步無(wú)非就是對(duì)事物及其屬性進(jìn)行記錄，并用一些word與它們建立1-1對(duì)應(yīng)。這些word開始只是少數(shù)人的專用語(yǔ)言，隨著科學(xué)不斷普及，這些專業(yè)術(shù)語(yǔ)也就逐步演變成人們的日常用語(yǔ)。如果你仔細(xì)分析語(yǔ)言的各種成分，你將發(fā)現(xiàn)，人類語(yǔ)言的全部概念實(shí)際都是利用1-1對(duì)應(yīng)這種簡(jiǎn)單想法（idea）生成的。2.1-1對(duì)應(yīng)的進(jìn)一步的意義和性質(zhì)集合的1-1對(duì)應(yīng)是定義在兩個(gè)集合上的兩個(gè)互逆的1-1變換所聯(lián)合組合。如集合｛1,2,3｝與集合｛A,B,C｝的1-1對(duì)應(yīng)1<->A， 2<->B， 3<->C就是下列兩個(gè)1-1變換的組合：f：（1->A，2->B，3->C）g：（1<-A，2<-B，3<-C）其中f是｛1,2,3｝到｛A,B,C｝的變換，g是｛A,B,C｝到｛1,2,3｝的變換，且g與f互逆。如果將二個(gè)變換改為f：（1->A, 2->B, 3->C）g：(2<-A， 1<-B， 3<-C)則盡管f和g都是1-1變換，使一個(gè)元素變到一個(gè)元素，但g與f不是互逆的兩個(gè)變換，它們合在一起就不構(gòu)成（同）一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)。1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系具有對(duì)稱性和傳遞性。即：如果集合A與B為1-1對(duì)應(yīng)，則B與A也1-1對(duì)應(yīng)；如果集合A與B為1-1對(duì)應(yīng)，且集合B與集合C也1-1對(duì)應(yīng)，則集合A與C也1-1對(duì)應(yīng)。1-1對(duì)應(yīng)規(guī)定的僅僅是元素的對(duì)應(yīng)方式，不允許1個(gè)元素對(duì)應(yīng)到多個(gè)元素，也不允許某個(gè)元素不與另一集合中的任何元素對(duì)應(yīng)。但除此以外不再附加任何條件。我們不要求一個(gè)集合中的某個(gè)元素必須與另一集合中某個(gè)固定元素進(jìn)行對(duì)應(yīng)。只要滿足1-1關(guān)系，無(wú)論什么元素都可以與它對(duì)應(yīng)。如前節(jié)例子中的數(shù)字集｛1,2,3｝與字母集｛A,B,C｝之間，下列6種對(duì)應(yīng)方式都是合格的1-1對(duì)應(yīng)(1)1<->A，2<->B，3<->C(2)1<->A，2<->C，3<->B(3)1<->B，2<->A，3<->C(4)1<->B，2<->C，3<->A(5)1<->C，2<->A，3<->B(6)1<->C，2<->B，3<->A可以看出，A,B,C三元素的任何一種排列，都可與1,2,3對(duì)應(yīng)。這6種不同的1-1對(duì)應(yīng)可用以下6張關(guān)系表來表示：每個(gè)表的左邊列出了集合｛1,2,3｝的元素，上邊列出集合｛A,B,C｝的元素，中間的每個(gè)格子代表對(duì)應(yīng)行和列的元素是否有對(duì)應(yīng)關(guān)系，T代表有對(duì)應(yīng)關(guān)系，否則代表沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系。可以看出，每一行每一列都只有一個(gè)格子為T，這表示兩個(gè)集合元素之間的對(duì)應(yīng)為1-1的。六個(gè)表代表六種不同的1-1對(duì)應(yīng)方式。如果兩個(gè)集合都有n個(gè)元素，就有n!種不同的1-1對(duì)應(yīng)方式。其次，建立對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合完全任意。它們可以有相同類型元素，如｛1,2,3｝與｛4,5,6｝對(duì)應(yīng)；或完全相同的元素，如｛1,2,3｝與｛1,2,3｝本身對(duì)應(yīng)（這樣的2個(gè)集合間仍有6種可行的對(duì)應(yīng)方式）；或不同類型的元素，如前所述的｛1,2,3｝與｛A,B,C｝之間的對(duì)應(yīng)。如果一個(gè)牧童用繩子把5頭羊分別牽在5棵樹上，就是讓｛羊｝和｛樹｝建立1-1對(duì)應(yīng)；學(xué)生上課時(shí)，50名學(xué)生走進(jìn)一間有50個(gè)座位的教室，找到空位就坐下，就是在｛班級(jí)學(xué)生｝和｛教室座位｝2個(gè)集合之間自動(dòng)建立一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)；物理學(xué)家經(jīng)常把各種客觀事物的變化規(guī)律與他們主觀想象出來的公式混為一談，就是在｛客觀規(guī)律｝和｛錯(cuò)誤公式｝兩個(gè)集合之間建立1-1對(duì)應(yīng)。本書考察的對(duì)應(yīng)主要是點(diǎn)、線、面等幾何元素組成的集合之間的對(duì)應(yīng)，有時(shí)也考察其他對(duì)應(yīng)，包括幾何元素與數(shù)的對(duì)應(yīng)、幾何元素與字母的對(duì)應(yīng)，等。3.1-1對(duì)應(yīng)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，人們努力從事的工作，常常就是在簡(jiǎn)單概念和復(fù)雜概念之間建立1-1對(duì)應(yīng)，或者是在已探索過的領(lǐng)域和正在探索中的未知領(lǐng)域?qū)ふ?-1對(duì)應(yīng)。例如，利用平面幾何中點(diǎn)和直線的性質(zhì)或關(guān)系，到空間幾何中去尋找點(diǎn)、線、面對(duì)應(yīng)的性質(zhì)和關(guān)系；利用中心、焦點(diǎn)、切線、漸近線等點(diǎn)和直線的性質(zhì)來研究二階曲線的性質(zhì)。解析幾何是利用簡(jiǎn)單的代數(shù)方法來研究幾何，而進(jìn)入大學(xué)的高等代數(shù)中又反過來利用低維的幾何直觀來研究任意維的線性空間。在我們學(xué)習(xí)射影幾何時(shí)，也要利用我們已學(xué)過的各門數(shù)學(xué)知識(shí)，其中最重要的是平面幾何的知識(shí)。4.無(wú)窮集之間的1-1對(duì)應(yīng)兩個(gè)集合，如果它們相互1-1對(duì)應(yīng)，我們通常就稱這兩個(gè)集合包含了相同數(shù)目的元素；如果一個(gè)集合的一部分與另一個(gè)集合1-1對(duì)應(yīng)，那么前一集合的元素?cái)?shù)目比后一集合的元素?cái)?shù)目為大。但這些結(jié)論僅適用于有限集如果為無(wú)窮集，結(jié)論就常常不是這樣了。下面我們來看幾個(gè)例子。［例1］2,4,6,8,10,．．．等偶數(shù)僅僅是自然數(shù)的一半，但偶數(shù)集{2,4,6,8,10,...}與自然數(shù)集{1,2,3,4,5, ...}是相互之間能夠建立1-1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合?！咀C明】我們?yōu)檫@兩個(gè)集合的元素建立下面的對(duì)應(yīng)：自然數(shù)：1,2,3,4,...

偶數(shù)：2,4,6,8,...在這種對(duì)應(yīng)下,每個(gè)偶數(shù)2n都能找到一個(gè)自然數(shù)n與其對(duì)應(yīng),而且反之,每個(gè)自然數(shù)n也都能找到一個(gè)偶數(shù)2n與其對(duì)應(yīng)?？梢?偶數(shù)雖為自然數(shù)的一半,但仍與自然數(shù)1-1對(duì)應(yīng)。［例2］自然數(shù)集合：N={1,2,3,4,5, }與自然數(shù)對(duì)(i,j),i,j=1,2,3,... 的集合：N2={(1,1),(1,2),(1,3), ,(2,1),(2,2),(2,3), ,(3,1),(3,2),(3,3), }為1-1對(duì)應(yīng)的集合。【證明】我們可以根據(jù)數(shù)對(duì)(i,j)的兩個(gè)分量i,j的大小，將所有數(shù)對(duì)排成一個(gè)無(wú)窮方陣。規(guī)定數(shù)對(duì)(i,j)放在方陣第i行j列。這樣每個(gè)數(shù)對(duì)(i,j)就有一個(gè)且僅有一個(gè)方陣格點(diǎn)與其對(duì)應(yīng),而所有數(shù)對(duì)就與方陣所有格點(diǎn)建立了1-1對(duì)應(yīng)。然后,再按下表所示方式將無(wú)窮多個(gè)方陣格點(diǎn)與無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)建立對(duì)應(yīng)：1 2 6 7 / /358//..4913/...1012//...11//....//...../....按這種對(duì)角線次序的排列方法，平面方陣的任意一個(gè)格點(diǎn)（i,j）都會(huì)有唯一的一個(gè)自然數(shù)n（i,j）與其對(duì)應(yīng)，而且反過來，每一個(gè)自然數(shù)n也一定能找到一個(gè)格點(diǎn)（i（n）,j（n））與此自然數(shù)對(duì)應(yīng)。所以，利用這種方法方式，平面正整數(shù)格點(diǎn)全體，因而也是數(shù)對(duì)（i,j）全體，與自然數(shù)全體建立了1-1對(duì)應(yīng)。讀者不妨思考一下，與自然數(shù)n=100對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)（i,j）的分量i,j是多少？反過來，格點(diǎn)（10,10）對(duì)應(yīng)的自然數(shù)n又是多少？如果有條件且又有興趣的話，還可在計(jì)算機(jī)上編個(gè)小程序來計(jì)算自然數(shù)n與數(shù)對(duì)（i,j）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，無(wú)論用C用Delphi或者別的語(yǔ)言都行?！纠?】1英寸線段上所有點(diǎn)與2英寸線段上所有的點(diǎn)為兩個(gè)1-1對(duì)應(yīng)的集合，【證明】如圖4-1所示。其中AB和A'B'分別是有2英寸和1英寸長(zhǎng)的兩條線段，C是AB上的任意一點(diǎn)。為尋找A'B'上與C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，我們連AA'和BB'，并延長(zhǎng)交于S。再作S與C的連線交A'B'于C'，則C'就是A'B'上與C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。反之，對(duì)A'B'上任意C'，同樣可找出AB上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C。圖4-11英寸與2英寸長(zhǎng)線段點(diǎn)的1-1對(duì)應(yīng)【例4】對(duì)于無(wú)窮長(zhǎng)直線AB上的任意一點(diǎn)，都能在1英寸長(zhǎng)的線段A'B'上找到兩個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。【證明】我們作一個(gè)半徑為2n分之一英寸的圓，則其周長(zhǎng)為1英寸，也就是線段A'B'的長(zhǎng)。因此，可以把這個(gè)圓看成就是由線段A'B'圍成的圓如圖4-2所示。[注意，為了使標(biāo)寫的文字清晰，我們?cè)趫D中把圓畫大了一些，但所畫圓的尺寸大小，不影響下面的證明。 ]現(xiàn)設(shè)此圓的圓心為S。我們從直線AB上的任意點(diǎn)C作直線與S相連，此直線與圓的下半段圓弧交于C'，與上半段圓弧交于C''。則C'與C''就是與C對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)，由此得證。圖4-21英寸圓周與無(wú)窮長(zhǎng)直線點(diǎn)的對(duì)應(yīng)反過來，對(duì)于圓上任意兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)C'與C''是否也能在直線AB上找到對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)呢？顯然，這里有一個(gè)例外，就是當(dāng)C'與C''的連線C'C''平行于AB時(shí)，在AB上就找不到對(duì)應(yīng)點(diǎn)了，因?yàn)檫@時(shí)的連線C'C''與AB不相交。此例說明了一個(gè)似乎不可思議的事情：1英寸線段A'B'上的點(diǎn)比無(wú)窮長(zhǎng)直線AB上的點(diǎn)的兩倍還要多出兩個(gè)點(diǎn)。【例5】無(wú)窮直線上的點(diǎn)的集合與無(wú)窮平面上點(diǎn)的集合可以建立1-1對(duì)應(yīng)?！咀C明】我們需要用以下三步來證明整個(gè)結(jié)論：無(wú)窮直線與單位直線(0,1)中點(diǎn)可以建立1-1對(duì)應(yīng)；單位直線(0,1)與單位平面(0,1)X(0,1)中點(diǎn)可以建立1-1對(duì)應(yīng)；單位平面(0,1)X(0,1)與無(wú)窮平面的點(diǎn)可以建立1-1對(duì)應(yīng)。然后，根據(jù)1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系的傳遞性，就證明了無(wú)窮直線上的點(diǎn)與無(wú)窮平面上點(diǎn)也可以建立1-1對(duì)應(yīng)。其中(1)是明顯的，我們只證(2)和(3)。先證(2)。因(0,1)中點(diǎn)是小于1的數(shù)d,可以用一個(gè)無(wú)窮小數(shù)d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8來表示，如果d原來為有窮小數(shù)，改為等價(jià)的無(wú)窮循環(huán)小數(shù)(如0.4改為0.39999)，這樣，(0,1)間的每一個(gè)數(shù)都有一個(gè)且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)；現(xiàn)令x=0.a1a3a5a7,y=0.a2a4a6a8也就是說，用d的奇數(shù)位小數(shù)作為x的小數(shù)，d的偶數(shù)位小數(shù)作為y小數(shù)，那么，對(duì)任意一個(gè)直線點(diǎn)d,就有一個(gè)對(duì)應(yīng)的平面點(diǎn)P(x,y)。且反之，有一個(gè)平面點(diǎn)P(x,y)，其中x=0.a1a2a3a4,y=0.b1b2b3b4