人教版九年級數(shù)學(xué)下冊 與視角有關(guān)的解直角三角形應(yīng)用問題（導(dǎo)學(xué)案）

28.2.2應(yīng)用舉例第1課時與視角有關(guān)的解直角三角形應(yīng)用問題一、新課導(dǎo)入1.課題導(dǎo)入情景：2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標(biāo)飛行器成功實現(xiàn)交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地面343km的圓形軌道上運行，如圖，當(dāng)組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少(地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù))？問題：你能運用解直角三角形和圓的知識解決這個問題嗎？（板書課題）2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）會運用解直角三角形和圓的知識解決實際問題.（2）知道仰角和俯角的含義，會用三角函數(shù)解決觀測問題.3.學(xué)習(xí)重、難點重點：解直角三角形.難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.二、分層學(xué)習(xí)1.自學(xué)指導(dǎo)（1）自學(xué)內(nèi)容：教材P74例3.（2）自學(xué)時間：8分鐘.（3）自學(xué)方法：仔細體會直角三角形的直角是怎樣得到的.（4）自學(xué)參考提綱：①實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，畫出如圖所示的圖形，用⊙O表示地球，點F是組合體的位置，則視線FQ與⊙O相切，切點Q是觀測地球時看到的最遠點，要求的最遠點與P點的距離就是求的長.②∵FQ是⊙O的切線，∴∠FQO=90°，∴△FOQ是直角三角形.③選擇關(guān)系式求α的度數(shù).∵cosα=≈0.9491,∴α≈18.36°.④求的長..⑤想一想：怎樣得到∠FQO是直角的？為什么的長是最遠點與P點的距離？⑥如圖是一個勻速旋轉(zhuǎn)（指每分鐘旋轉(zhuǎn)的弧長或圓心角相同）的摩天輪的示意圖，O為圓心，AB為水平地面，假設(shè)摩天輪的直徑為80m，最低點C離地面6m，旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為6min，小明從點C乘坐摩天輪（身高忽略不計），請問：經(jīng)過2min后，小明離地面的高度是多少米？過E作EG垂直于CO的延長線于點G，∠COE=×360°=120°,∴∠GOE=60°.∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）,∴小明離地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66(m).2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)（1）師助生：①明了學(xué)情：明了學(xué)生是否理解Rt△FQO中相關(guān)元素的實際意義.②差異指導(dǎo)：根據(jù)學(xué)情進行個別或分類指導(dǎo).（2）生助生：小組內(nèi)相互交流、研討.4.強化圓中獲得直角的主要途徑有：(1)過圓心作弦的垂線段.(2)構(gòu)造直徑所對的圓周角.(3)連接切點和圓心.1.自學(xué)指導(dǎo)（1）自學(xué)內(nèi)容：教材P75例4.（2）自學(xué)時間：10分鐘.（3）自學(xué)方法：先自主探索，再同桌之間互相討論、糾錯.（4）自學(xué)參考提綱：①仰角和俯角的概念：如圖，從下往上看，視線與水平線的夾角叫做仰角，從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.圖中的∠1是仰角，∠2是俯角.②教材P75例4中，過點A作AD⊥BC于D，則在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=120，故選擇關(guān)系式可求BD的長；在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD=120，故選擇關(guān)系式可求CD的長.所以這棟樓的高BC=BD+CD≈277m.③熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？120×tan45°+120×tan60°≈328(m)④熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的俯角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？120×tan60°-120×tan30°≈139(m)⑤在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中，怎樣添加輔助線構(gòu)造直角三角形？2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)（1）師助生：①明了學(xué)情：關(guān)注學(xué)生自學(xué)提綱的解答情況，特別是第④、第⑤題.②差異指導(dǎo)：根據(jù)學(xué)情進行相應(yīng)指導(dǎo).（2）生助生：生生互動，交流研討、糾正.4.強化（1）仰角、俯角的定義.（2）當(dāng)問題涉及到的三角形不是直角三角形時，添加輔助線構(gòu)造直角三角形的圖例.三、評價1.學(xué)生學(xué)習(xí)的自我評價：在這節(jié)課學(xué)習(xí)中，你有哪些收獲？還有哪些困惑？2.教師對學(xué)生的評價：（1）表現(xiàn)性評價：點評學(xué)生學(xué)習(xí)的態(tài)度，小組交流合作狀況，回答問題情況等.（2）紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師的自我評價（教學(xué)反思）.本課時教學(xué)時要盡量創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境、知識背景相關(guān)的教學(xué)情境，讓學(xué)生明白俯角、仰角的含義.引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)模型。其中畫出幾何圖形是解題關(guān)鍵，通過幾何圖形的分析來得到邊、角的關(guān)系，再應(yīng)用計算、推理手法解決問題.還要注意從實際生活出發(fā)，努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.此外，還要注重培養(yǎng)學(xué)生自主提煉題干并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，注重從實物的形象思維向數(shù)學(xué)的抽象思維轉(zhuǎn)變.一、基礎(chǔ)鞏固（70分）1.(10分)如圖，有一圓弧形橋拱，拱的跨度AB=303m，拱形的半徑R=30m，則拱形的弧長等于20πm.第1題圖第2題圖第3題圖2.(10分)如圖，在半徑為2的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為1，C為優(yōu)弧上任意一點，則∠ACB=（B）A.30° B.60° C.90° D.120°3.(10分)如圖，身高1.6m的小麗用一個兩銳角分別為30°和60°的三角尺測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的距離為6m，那么這棵樹高大約為5.1m(結(jié)果精確到0.1m，其中小麗眼睛距離地面高度近似為身高).4.(20分)如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切⊙O于點A，如果PA=，PB=1，求sin∠APC的值.解：連接OA.∵PA切⊙O于點A，∴∠OAP=90°.在Rt△OAP中，設(shè)OA=x,則OP=OB+PB=x+1.又有PA=,∴x2+（）2=(x+1)2，∴x=1.即OA=1，OP=2.∴sin∠APC==.5.(20分)如圖，一枚運載火箭從地面L處發(fā)射.當(dāng)火箭到達A點時，從位于地面R處的雷達站測得AR的距離是6km，仰角為43°；1s后，火箭到達B點，此時測得仰角為45.54°.這枚火箭從A到B的平均速度是多少？（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位，參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.682,cos43°≈0.731,tan43°≈0.933;sin45.54°≈0.714,cos45.54°≈0.700,tan45.54°≈1.019）解：LR=AR·cos43°≈6×0.731=4.386.AL=AR·sin43°≈6×0.682=4.092.BL=LR·tan45.54°≈4.386×1.019=4.469334.AB=BL-AL≈0.377334.∴這枚火箭從A到B的平均速度為0.377334÷≈1358.40（km/h）.二、綜合應(yīng)用（20分）6.(20分)某校課外活動小組在距離湖面7m高的觀測臺A處，看湖面上空一熱氣球P的仰角為37°，看P在湖中的倒影P′的俯角為53°（P′為P關(guān)于湖面的對稱點）．請你算出這個熱氣球P距湖面的高度PC約為多少米？參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈解：設(shè)過點A的水平線交PP′于點D，則DC=AB=7，設(shè)AD=x.則PD=AD·tan37°≈34x.P′D=AD·tan53°≈43x.∵P′、P關(guān)于直線BC對稱，∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.∴x+7=x-7.∴x=24,∴PC≈25米.因此，這個熱氣球P距湖面的高度PC約為25米.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如圖，圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個游戲抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖2．已知鐵環(huán)的半徑為5個單位（每個單位為5cm），設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為M，鐵環(huán)與地面接觸點為A，∠MOA=α，且sinα=．（1）求點M離地面AC的高度BM；（2）設(shè)人站立點C與點A的水平距離AC等于11個單位，求鐵