建筑力學6應力應變

1建筑力學第六章應力與應變教師：鄒定祺2內容：應力、應變的概念平面應力狀態(tài)分析重點：應力、應變的概念（正應力、剪應力）胡克定律平面彎曲梁橫截面上的應力慣性矩36.1基本概念6.1.1應力的概念△FR

△FR

σ

內力在一點處的集度稱為應力，即通常將應力分解為互相垂直的兩個分量。垂直于截面的分量稱為正應力，用σ表示；相切于截面的應力分量稱為切應力，用表示。

應力的單位為牛頓/平方米（N/㎡），記為Pa。工程中常用單位有：kPa,MPa,GPa.△A46.1.2應變的概念

構件在外力的作用下，其幾何形狀和尺寸的改變，稱為變形。在一點處沿單位長度的線變形的極限稱為線應變。在一點處，原來互相垂直的兩根棱邊的直角夾角的改變量稱為切應變或角應變γ。../2-γ...△x

△udx.56.1.3應力與應變之間的關系1.胡克定律

=EεE—材料的彈性模量，時衡量材料抵抗彈性變形能力的一個指標。2.剪切胡克定律

=GγG—材料的切變模量3.彈性常數(shù)E、G、μ之間的關系μ—材料的泊松比66.2軸向拉壓桿橫截面上的應力ac...bd..ac.FFFF..bd.max.FFN....σ=FN/A.6.2.2應力集中76.3扭轉圓軸橫截面上的應力.MeMe

max...ρ.xMx

..ρ.8實心圓軸橫截面對0點的極慣性矩

y實心圓軸的抗扭截面系數(shù).dρ.dA.ρ

x.0...D切應力互等定理：

在單元體兩個互相垂直的平面上，同時存在垂直于公共棱邊且數(shù)值相等的剪應力，其方向均指向或背離兩平面的交線。這種關系稱為切（剪）應力互等定理。9.τ=τ’106.4平面彎曲梁橫截面上的應力6.4.1平面彎曲梁橫截面上的正應力1.變形幾何關系純彎曲(CD段)實驗：中性軸.FF.ACDB..ala.MM.FQ+F.-F..M+FaFa實驗觀察:11中性層中性軸MM現(xiàn)象一：橫向線保持為直線；縱向線與橫向線依然垂直?，F(xiàn)象二：凹邊縮短，凸邊伸長。中性層：桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不縮短的層面。中性軸：中性層與橫截面的交線。12實驗推測的結論：（1）變形前梁的橫截面，變形后仍保持為平面,并仍然垂直于變形后得梁軸線，只是旋轉了一個角度。（平面假設）（2）變形后，梁向下凸，梁下側的縱向線伸長,梁上側的縱向線縮短。若梁是由無數(shù)縱向纖維組成。變形后，縱向纖維從上到下，由縮短到伸長的變化中，中間必有一層纖維既不伸長也不縮短，這一層稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸。13線應變的幾何關系式：..MMx12d..00xρ.yy12.bb.220dx0‘.dxy.dxb’b’22

變形前變形后142.物理關系由于純彎曲段沒有剪力，可認為梁的縱向纖維之間不存在相互擠壓，因而當應力不超過某一（比例）極限時，每一縱向纖維處于單向拉伸或壓縮。根據(jù)胡克定律，橫截面上的正應力：

(6.2.4)可見，橫截面上，各點的正應力σ與該點到中性軸的距離成正比，即，σ沿截面高度按直線規(guī)律變化。M

x

yMyzOx153.靜力學關系..MzMzx..x

σdA......yy橫截面上所有微內力σdA組成的空間平行應力系可以簡化為三個內力分量：

16根據(jù)平衡條件：17由平面圖形的幾何性質可知，只有當z軸通過截面的形心時，才能使靜矩Sz等于零，因此，式（6-28）表明，中性軸z必定通過截面形心。18公式（6-31）的適用條件和范圍：（1）純彎曲和跨高比L/h>5的橫力彎曲（剪力和彎矩同時存在）的梁（細長梁）。（2）適用于具有一縱向對稱面，橫截面具有一對稱軸，荷載作用于對稱面的梁。（3）當梁的應力σ超過材料的線彈性（比例極限σp）時公式不適用。19由（6-31）知梁截面上最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠處，設ymax為最遠點到中性軸的距離，則：206.4.2慣性矩的計算1.矩形截面

.b....h0z

.y..

.dy..y..212.圓形和圓環(huán)形截面直徑為d的圓形截面例題【例6-4】懸臂梁如圖(a)所示，Ⅰz=405×10-6m4,（1）求1-1截面上A、B、C、D四點的正應力。（2）求梁橫截面上的最大正應力。【解】（1）畫出梁的彎矩圖如圖(c)。（2）計算四點的正應力M1-1=20kN.m,yA=-150×10-3myB=0,yC=100×10-3m,yD=150×10-3mσA=M1-1yA/Ⅰz=-7.41MPaσB=0,σC=M1-1yC/Ⅰz=-4.93MPa,σD=M1-1yD/Ⅰz=7.41MPa(3)最大正應力：Mmax=25kN.m,ymax=150×10-3mσmax=Mmaxymax/Ⅰz=9.26MPa。223m15kN20kN.m4m1m9090150150xyABCD30502520M圖(kN.m)(a)(b)111-1截面（單位：mm)236.4.3矩形截面平面彎曲梁橫截面上的切應力對于矩形截面梁的高度h大于寬度b的梁，作如下假設：（1）截面上任何點處的切應力

方向與橫截面的側邊平行，與剪力同向。（2）切應力沿橫截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離處的各點的切應力相等。其計算公式為：24式中Sz*—橫截面上所求切應力作用點的橫線以下（或以上）部分截面積對中性軸的面積矩。25

由公式（6-41）知，矩形截面梁橫截面上的切應力在上下邊緣y=±h/2處，=0；在中性軸y=0處，。而等于橫截面上的平均切應力。故，矩形截面梁橫截面上的最大切應力的值等于1.5倍橫截面上的平均切應力，且發(fā)生在中性軸上各點。.FQb.z.xhzτmax

....yy【例6-5】求圖示簡支梁1-1截面上a、b兩點的切應力?！窘狻浚?）求1-1截面上剪力∑MB=0:FAy×2.2-8×1=0得FAy=40/11kNFQ1-1=FAy=40/11kN（2）求1-1截面a、b點的切應力=bh3/12=75×1503×10-12/12=21.9×10-6m4

268kN1m1.2m1m11751040/11kN48/11kN401501-1截面(mm)FQ圖276.5平面應力狀態(tài)分析6.5.1應力狀態(tài)的概念

在外力的作用下，構件內各點的應力不同,同時過一點不同方向面上的應力也不同。為了研究一點的應力，通常是圍繞該點取一無窮小的單元體。每一對互相平行平面上的同類應力大小相等、性質相同。一點的應力狀態(tài)可用單元體的三個互相垂直平面上的應力來表示。

單元體上切應力為零的面稱為主平面。286.5.2平面應力狀態(tài)分析1.任意斜截面上的應力.y