引論13-信號采樣

1.3連續(xù)時間信號的采樣一個連續(xù)時間信號能用其采樣序列來完全給予表示，連續(xù)時間信號的處理往往是通過對其采樣得到的離散時間序列的處理來完成的。本節(jié)討論采樣過程:采樣后信號的頻譜怎樣變換，信號內(nèi)容會不會丟失，離散信號恢復(fù)件等。圖

連續(xù)時間信號的采樣過程1.3.1理想采樣

理想采樣就是假設(shè)采樣開關(guān)閉合時間無限短，即τ→0的極限情況。此時，采樣脈沖序列p(t)變成沖激函數(shù)序列s(t)，這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間，面積為1。采樣后，輸出理想采樣信號的面積（即積分幅度）則準(zhǔn)確地等于輸入信號xa(t)在采樣瞬間的幅度。沖激函數(shù)序列s(t)為（1）以表示理想采樣的輸出，以后我們都以下標(biāo)a表示連續(xù)信號（或稱模擬信號），如xa(t)；而以它的頂部符號（∧）表示它的理想采樣，如。這樣我們就可將理想采樣表示為把式（1）代入式（2），得由于δ(t-nT)只在t=nT時不為零，故(3)(4)（2）1.3.2理想采樣信號的頻譜在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中已學(xué)過，表示時域相乘，則頻域（傅里葉變換域）為卷積運(yùn)算。若各個信號的傅里葉變換分別表示為:(1)(2)(3)則應(yīng)滿足現(xiàn)在來求S(jΩ)=F［s(t)］。由于s(t)是以采樣頻率重復(fù)的沖激脈沖，因此是一個周期函數(shù)，可表示為傅里葉級數(shù)，即(4)此級數(shù)的基頻為采樣頻率，即:一般稱fs為頻率，單位為赫茲(Hz)，Ωs為角頻率，單位為弧度/秒;習(xí)慣上都統(tǒng)稱為“頻率”。它們的區(qū)別由符號f及Ω來識別。根據(jù)傅氏級數(shù)的知識，系數(shù)ak可以通過以下運(yùn)算求得以上結(jié)果的得出是考慮到在|t|≤T/2的積分區(qū)間內(nèi)，只有一個沖激脈沖δ(t)，其他沖激δ(t-nT)，n≠0都在積分區(qū)間之外，且利用了以下關(guān)系:因而(5)由此得出由于(6)所以(7)將式（7）代入式（4）可得根據(jù)沖激函數(shù)的性質(zhì)，可得(8)或者(9)一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想采樣后，其頻譜將沿著頻率軸以采樣頻率Ωs=2π/T

為間隔而重復(fù)，這就是說頻譜產(chǎn)生了周期性延拓，即：理想采樣信號的頻譜，是Xa(jΩ)的周期延拓函數(shù)，其周期為Ωs，而頻譜的幅度則受1/T加權(quán)。如各延拓分量與原頻譜分量不發(fā)生頻率混疊，則有可能恢復(fù)出原信號。也就是說，如果xa(t)是限帶信號，且最高頻譜分量Ωh不超過Ωs/2，即圖

時域采樣后，頻譜的周期延拓（a）原始限帶信號頻譜;（b）采樣函數(shù)頻譜;（c）已采樣信號頻譜（Ωs>2Ωh）;（d）已采樣信號頻譜（Ωs<2Ωh）那么原信號的頻譜和各次延拓分量的譜彼此不重疊，如圖1-10（c）所示。采用一個截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，就可得到不失真的原信號頻譜。(10)圖

時域采樣后，頻譜的周期延拓（a）原始限帶信號頻譜;（b）采樣函數(shù)頻譜;（c）已采樣信號頻譜（Ωs>2Ωh）;（d）已采樣信號頻譜（Ωs<2Ωh）如果信號的最高頻譜Ωh超過Ωs/2，則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為混疊現(xiàn)象，由于Xa(jΩ)一般是復(fù)數(shù)，所以混疊也是復(fù)數(shù)相加。為了簡明起見，在圖中我們將Xa(jΩ)作為標(biāo)量來處理。常常將采樣頻率之半（Ωs/2）稱為折疊頻率，即它如同一面鏡子，當(dāng)信號頻譜超過它時，就會被折疊回來，造成頻譜的混疊。(11)例：說明了在簡單余弦信號情況下頻譜混疊的情況。在圖（a）中，給出該余弦信號的傅里葉變換Xa(jΩ)。圖（b）是在Ω0<Ωs/2時，的傅里葉變換。圖（c）是在Ω0>Ωs/2時，的傅里葉變換。例圖

一個余弦信號采樣中的混疊效果（d）和（e）則分別對應(yīng)于Ω0<Ωs/2=π/T和Ω0>π/T時低通濾波器輸出的傅里葉變換，在沒有混疊時(b)和(d)），恢復(fù)出的輸出ya(t)為在有混疊時，則是(1-33)這就是說，作為采樣和恢復(fù)的結(jié)果，高頻信號cosΩ0t已經(jīng)被當(dāng)作和低頻信號cos(Ωs-Ω0)t是一樣的東西被冒名頂替了。這個討論就是奈奎斯特采樣定理的基礎(chǔ)。例圖

一個余弦信號采樣中的混疊效果結(jié)論：要想采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率必須大于兩倍信號譜的最高頻率（Ωs>2Ωh），這就是奈奎斯特采樣定理。即fs>2fh頻率Ωh一般稱為奈奎斯特頻率，而頻率2Ωh稱為奈奎斯特率。采樣頻率必須大于奈奎斯特率。

1.3.3采樣的恢復(fù)

如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即模擬信號譜的最高頻率小于折疊頻率則采樣后不會產(chǎn)生頻譜混疊，故將通過一個理想低通濾波器，這個理想低通濾波器應(yīng)該只讓基帶頻譜通過，因而其帶寬應(yīng)該等于折疊頻率。圖

采樣的恢復(fù)采樣信號通過這個濾波器后，就可濾出原模擬信號的頻譜因此，在輸出端可以得到原模擬信號理想低通濾波器雖不可實現(xiàn)，但是在一定精度范圍內(nèi)，可用一個可實現(xiàn)的濾波器來逼近它。1.3.4由采樣信號序列重構(gòu)帶限信號理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為由與h(t)的卷積積分，即得理想低通濾波器的輸出為這里h(t-nT)稱為內(nèi)插函數(shù)：它的波形如圖所示，其特點為：在采樣點nT上，函數(shù)值為1;其余采樣點上，函數(shù)值都為零。圖

內(nèi)插函數(shù)由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷積結(jié)果也可以表示為式（1-36）稱為采樣內(nèi)插公式，即信號的采樣值xa(nT)經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號xa(t)。這個公式說明了，只要采樣頻率高于兩倍信號最高頻率，則整個連續(xù)信號就可以完全用它的采樣值來代表，而不會丟掉任何信息。這就是奈奎斯特采樣定理的意義。由上面討論可看出采樣內(nèi)插公式只限于使用到限帶（頻帶有限）信號上。圖采樣內(nèi)插恢復(fù)1.4拉氏變換、傅氏變換與Z變換1.4.1拉氏變換與Z變換

首先討論序列的Z變換與理想采樣信號的拉普拉斯變換的關(guān)系。設(shè)連續(xù)信號為xa(t)，理想采樣后的采樣信號為，它們的拉普拉斯變換分別為:將式（1-19）的代入可得采樣序列x(n)=xa(nT)的Z變換為(1-97)對比式（1-97）看出，當(dāng)z=esT時，采樣序列的Z變換就等于其理想采樣信號的拉普拉斯變換：(1-98)這說明，從理想采樣信號的拉普拉斯變換到采樣序列的Z變換，就是由復(fù)變量S平面到復(fù)變量Z平面的映射，其映射關(guān)系為:(1-99)這個變換稱為標(biāo)準(zhǔn)變換。下面來討論這一映射關(guān)系。將S平面用直角坐標(biāo)表示為s=σ+jΩ而Z平面用極坐標(biāo)表示z=re

jω將它們代入式（1-99）中，得到rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT因此:r=eσTω=ΩT

(1-100b)(1-100a)顯然，z的模r對應(yīng)于s的實部σ，z的相角ω對應(yīng)于s的虛部Ω。先討論s的實軸σ與z的模r的關(guān)系，即（1-100a）式

σ=0（S平面虛軸）r=1（Z平面單位圓上）

σ<0（S的左半平面）r<1（Z平面單位圓內(nèi)部）

σ>0（S的右半平面）r>1(Z平面單位圓外部）再討論s的虛軸Ω與z的相角ω的關(guān)系式（1-100b）

Ω=0（S平面的實軸）ω=0（Z平面正實軸）

Ω由-π/T增至0ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至π可見，Ω由-π/T增至π/T，對應(yīng)于ω由-π經(jīng)0增至π，即在Z平面上旋轉(zhuǎn)一周。綜上所述，可得結(jié)論：Z平面上寬度為2π/T的水平帶映射到整個Z平面。同樣，每當(dāng)Ω增加一個采樣角頻率Ωs=2π/T，則ω相應(yīng)的增加一個2π，也即在Z平面上重復(fù)旋轉(zhuǎn)一周，如圖1-34所示。因此S平面到Ｚ平面的映射是多值映射。圖1-34S平面與Z平面多值映射關(guān)系有了S平面到Z平面的映射關(guān)系，就可以進(jìn)一步通過理想采樣所提供的橋梁，找到連續(xù)信號xa(t)本身的拉普拉斯變換Xa(s)與采樣序列x(n)的Z變換X(z)之間的關(guān)系。將1.2節(jié)中的式（1-34）重寫如下：將此式代入到式（1-98），即得X(z)與Xa(s)的關(guān)系：(1-101)1.4.2連續(xù)信號的傅氏變換與序列的Z變換

我們再看傅氏變換與Z變換的關(guān)系，傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸上的特例，即s=jΩ，映射到Z平面上正是單位圓z=ejΩT，將這兩個關(guān)系代入到式（1-98）可得(1-102)(1-103)式（1-102）說明：采樣序列在單位圓上的Z變換，就等于其理想采樣信號的傅里葉變換（頻譜）。1.4.3序列的傅氏變換與Z變換

從式（1-100b）我們看到，Z平面的角變量ω直接對應(yīng)著S平面的頻率變量Ω，因此ω具有頻率的意義，稱為數(shù)字頻率，它與模擬域頻率Ω的關(guān)系是（1-104）可以看出數(shù)字頻率是模擬角頻率對采樣頻率fs的歸一化值，它代表了序列值變化的速率，所以它只有相對的時間意義（相對于采樣周期T），而沒有絕對時間和頻率的意義。將式（1-104）代入式（1-102）可得(1-105)可見，單位圓上的Z變換是和模擬信號的頻譜相聯(lián)系的，因而常稱單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換，也稱為數(shù)字序列的頻譜。同時，式（1-105）表明：數(shù)字頻譜是其被采樣的連續(xù)信號頻譜周期延拓后再對采樣頻率的歸一化。因單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換，根據(jù)式（1-54）Z變換的定義，用ejω代替z，從而就可以得到序列傅里葉變換的定義為再根據(jù)Z反變換的公式（1-64），并將積分圍線取在單位圓上就可得到序列的傅里