華東交通大學材料力學應力狀態(tài)

第八章應力應變狀態(tài)分析2023/1/151引言平面應力狀態(tài)應力分析應力圓極限應力與主應力復雜應力狀態(tài)的最大應力平面應變狀態(tài)應變分析廣義胡克定律2023/1/152一、引言2023/1/153軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述（一）應力狀態(tài)的概念2023/1/154此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/155

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/156

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1571、應力的面的概念應力的三個重要的概念2、應力的點的概念3、應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/158

微單元

dxdydz,,?0（二）一點應力狀態(tài)的描述應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/159

若單元體各個面上的應力已知，由平衡即可確定任意方向面上的正應力和切應力。應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1510FF示例一S平面111應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/15111FFS平面1n同一點的應力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1512示例二：FPl/2l/2S平面應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述5432154321S平面2023/1/151354321543211S平面23應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1514主應力：主平面上的正應力主平面：單元體上剪應力為零的平面通過任意的受力構件中任意一點，總可以找到三個相互垂直的主平面，因此每一點都有三個主應力，以s1，s2

和

s3表示，且s1s2

s3應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1515x-y坐標系x'－y'坐標系xp-yp坐標系★同一點的應力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式：應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述主應力單元體2023/1/1516三向（空間）應力狀態(tài)應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1517平面（二向）應力狀態(tài)應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1518xyxy單向應力狀態(tài)純剪應力狀態(tài)應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1519三向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)純剪應力狀態(tài)特例特例應力狀態(tài)/應力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1520二、平面應力狀態(tài)分析xy求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的應力。ef應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析2023/1/1521拉為正壓為負1、正應力正負號規(guī)則應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析2023/1/1522使微元或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。切應力正負號規(guī)則應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析2023/1/1523由x正向逆時針轉到n正向者為正；反之為負。yx

角正負號規(guī)則應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析2023/1/1524efa平衡對象——用ef斜截面截取的微元局部2、利用截面法及微元局部的平衡方程dAnt應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析dA·cosdA·sinxyef2023/1/1525參加平衡的量——應力乘以其作用的面積

平衡方程——及應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1526s-cos)cos(dAx-sydA(sin)sindA

s+tdA(cos)sinxy+tdA(sin)cosyx應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1527tdA-sxdA(cos)sin-txydA(cos)cos+sydA(sin)cos+tyxdA(sin)sin應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1528解得：用斜截面截取，此截面上的應力為應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析2023/1/1529因此即單元體兩個相互垂直面上的正應力之和是一個常數(shù)。即又一次證明了剪應力的互等定理。應力狀態(tài)/平面應力狀態(tài)分析2023/1/1530

三、應力圓1、應力圓方程應力狀態(tài)/應力圓(1)(2)2023/1/1531Rc應力圓（Mohr圓）應力狀態(tài)/應力圓應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向上的正應力和切應力a2023/1/1532在t

-s坐標系中，標定與微元A、D面上應力對應的點a和d

連ad交s

軸于c點，c即為圓心，cd為應力圓半徑。ADa(sx,txy)d(sy,tyx)cR2.應力圓的畫法應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1533

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向上的正應力和切應力3、幾種對應關系caA應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1534yx轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；CaAa'2二倍角對應——半徑轉過的角度是方向面旋轉角度的兩倍。應力狀態(tài)/應力圓(sx,txy)DEo2qp2023/1/15354、應力圓的應用——信息源思維分析的工具，而不是計算工具。應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1536sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE5、基本變形的應力狀態(tài)單向拉伸應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1537單向拉伸x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1538可見：45o

方向面既有正應力又有切應力，但正應力不是最大值，切應力卻最大。應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1539ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45osy'＝tsx'＝tBE純剪切應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1540sx'＝tsy'＝tBEttBE純剪切應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1541結果表明：

45o方向面只有正應力沒有切應力，而且正應力為最大值。應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1542利用解析法得到：由將0值代入，得：應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1543四、極值應力與主應力（一）主平面、主應力與主方向tyxsxsytxytsoc2α0adAD主平面：t

=0,與應力圓上和橫軸交點對應的面應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1544txysxsytyxAD主應力的確定tsoc2α0ad應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1545主應力表達式應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1546

主應力排序：

s1s2

s3tsoc2qpadtsotso應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1547txysxsytyxADtsoc2α0ads1s2s1s1α0s2s2(sx,txy)主方向的確定負號表示從主應力的正方向到x軸的正方向為順時轉向應力狀態(tài)/應力圓g2023/1/1548對應應力圓上的最高點的面上切應力最大，稱為“面內最大切應力”。tmax（二）面內最大切應力應力狀態(tài)/應力圓tsoc2α0ad2023/1/1549應力狀態(tài)/應力圓例1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。AD2023/1/1550（一）、圖解法otscdfe應力狀態(tài)/應力圓解：2023/1/1551主應力單元體：應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1552（1）斜面上的應力應力狀態(tài)/應力圓（二）、解析法2023/1/1553（2）主應力、主平面應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1554主平面的方位：哪個主應力對應于哪一個主方向，可以采用以下方法：應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1555主應力的方向：主應力的方向：++應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1556例2：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

求（1）主應力；（2）繪出主應力單元體。120ootsCa120oD解：（1）作應力圓應力狀態(tài)/應力圓b2023/1/1557（2）根據(jù)應力圓的幾何關系確定主應力120ootsa120ob半徑因此主應力為：應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1558（3）繪出主應力單元體。120ootsa120obCDs1s2s2s1應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1559★分析：1、本題亦可用解析法求解。2、在某些情況下，單元體可以不取立方體，如平面應力狀態(tài)問題，零應力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零應力面垂直的任意兩個面上的應力，就可以求出其它任意斜截面上的應力以及主應力。例如：應力狀態(tài)/應力圓CD2023/1/15603、一點處的應力狀態(tài)有不同的表示方法，而用主應力表示最為重要。otsa應力狀態(tài)/應力圓2023/1/1561五、復雜應力狀態(tài)的最大應力

三向應力狀態(tài)——三個主應力均不為零的應力狀態(tài)；

特例——三個主應力及其主方向均已知。定義應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1562s1s2s3

三向應力狀態(tài)的應力圓應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1563tsIIIIIIs1s2s3應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1564tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之應力與s1無關，于是由s2

、s3可作出應力圓I平行于s2的方向面－其上之應力與s2無關，于是由s1

、s3可作出應力圓

II平行于s3的方向面－其上之應力與s3無關，于是由s1

、s2可作出應力圓IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1s1s2s3應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1565s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts在-平面內，代表任意斜截面的應力的點或位于應力圓上，或位于三個應力圓所構成的區(qū)域內。應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1566'st'IIIIIIs1s2s3t't'''t''tmax=在三組特殊方向面中都有各自的面內最大切應力,即：應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念zpypxps3s2s12023/1/1567

三向應力狀態(tài)中（方向與及成45°角）應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1568szsxsytxytyx至少有一個主應力及其主方向已知sytxytyxsxsz三向應力狀態(tài)特例的一般情形應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/156920030050otmax平面應力狀態(tài)作為三向應力狀態(tài)的特例:應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/157020050O30050應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/157130050O應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1572(1)(2)排序確定(3)平面應力狀態(tài)特點：作為三向應力狀態(tài)的特例應力狀態(tài)/三向應力狀態(tài)的概念2023/1/1573xyO一、疊加法求應變分析公式abcdaAOB剪應變：直角的增大量為正?。ㄖ挥羞@樣，前后才對應）DD1EE1六、平面應變狀態(tài)應變分析應變狀態(tài)/應變分析公式2023/1/1574xyOabcdaAOBDD2EE2應變狀態(tài)/應變分析公式2023/1/1575DD3EE3xyOabcdaAOBαα應變狀態(tài)/應變分析公式2023/1/1576應變狀態(tài)/應變分析公式2023/1/15772、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變分析圖解法——應變圓（StrainCircle）1、應變圓與應力圓的類比關系建立應變坐標系如圖在坐標系內畫出點

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應變圓。eaga/2ABC應變狀態(tài)/應變圓2023/1/1578eaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxmin20D(，/2)2n方向上的應變(，/2)

應變圓上一點(，/2)方向線應變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2

；且轉向一致。ABC應變狀態(tài)/應變圓2023/1/1579四、主應變數(shù)值及其方位應變狀態(tài)/應變圓2023/1/1580七、廣義胡克定律各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材料）--泊松比yx2023/1/158112、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法++23應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1582123123應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1583312應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1584123應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1585★分析：1、即2、當時，即為二向應力狀態(tài)：3、當時，即為單向應力狀態(tài)；即最大與最小主應變分別發(fā)生在最大與最小主應力方向。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/15864、若單元體上作用的不是主應力，而是一般的應力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應力-應變關系為：yxz應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/15873、三個彈性常數(shù)之間的關系應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/15884、各向異性材料的廣義胡克定律各向異性材料受力時，正應力會引起切應變，而切應力也會引起線應變。完全各向異性的材料在一般空間應力狀態(tài)下，三個相互垂直平面上的6個獨立的應力分量sx、sy、sz、tyz、tzx、txy中的每一個都可引起6個應變分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1589從而在線彈性范圍內且小變形的條件下，應力分量與應變分量之間的關系可表達為應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1590上式即是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，其第一個下角標i（＝1，2，┅，6）表示它對應于應變分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy中的第幾個，例如C24表示ey對應于tyz的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材料總共有36個彈性常數(shù)。利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在Cij=Cji這一互等關系，也就是說，在上列一組式子中有(36－6)/2＝15對彈性常數(shù)是互等的?？梢娡耆飨虍愋缘牟牧现挥?6－15＝21個獨立的彈性常數(shù)。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1591

對于完全各向異性的材料，若沿x、y、z方向的正應力為主應力s1、s2、s3，因而txy＝0，tyz=0，tzx=0，則按廣義胡克定律有可見在任何兩個主應力構成的平面內均發(fā)生有切應變，所以主應力方向并非主應變的方向，或者說，主應力方向和主應變方向不相重合。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1592工程上應用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成的單向復合材料，它們具有三個彈性性能對稱面(參見下圖)，從而具有三個彈性性能對稱軸，這種各向異性材料稱為正交異性材料(orthogonalcompositematerial)。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1593當正交異性材料中一點處三個相互垂直面上的六個獨立應力分量均平行于材料的彈性對稱軸時，根據(jù)對稱性原則可知，這三個面上的正應力在彈性對稱軸方向只產生線應變，這三個面上的切應力只在它們各自的自身平面內產生切應變。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1594因此，當正交異性材料一點處的六個獨立應力分量平行于材料的彈性對稱軸x，y，z時，廣義胡克定律為考慮到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材料共有9個獨立的彈性常數(shù)。應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1595思考:圖中x軸和y軸為正交各向異性材料的彈性性能對稱軸，從該材料中一點處取出的單元體如圖a所示，受純剪切；變形后如圖b。試論證這種情況仍符合對稱性原則。xyxy(a)(b)應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1596例3：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉的聯(lián)合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測出線應變。現(xiàn)測得軸向應變，45°方向的應變?yōu)椤Ｈ糨S的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。FmmFkuu45°應力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1597解：（