華東交通大學(xué)材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)

第八章應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析2023/1/151引言平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析應(yīng)力圓極限應(yīng)力與主應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力平面應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變分析廣義胡克定律2023/1/152一、引言2023/1/153軸向拉壓同一橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力相等：FF同一點(diǎn)在斜截面上時(shí)：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述（一）應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/154此例表明：即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/155

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/156

過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方向面？指明應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1571、應(yīng)力的面的概念應(yīng)力的三個(gè)重要的概念2、應(yīng)力的點(diǎn)的概念3、應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/158

微單元

dxdydz,,?0（二）一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/159

若單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知，由平衡即可確定任意方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1510FF示例一S平面111應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/15111FFS平面1n同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1512示例二：FPl/2l/2S平面應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述5432154321S平面2023/1/151354321543211S平面23應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1514主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力主平面：單元體上剪應(yīng)力為零的平面通過任意的受力構(gòu)件中任意一點(diǎn)，總可以找到三個(gè)相互垂直的主平面，因此每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力，以s1，s2

和

s3表示，且s1s2

s3應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1515x-y坐標(biāo)系x'－y'坐標(biāo)系xp-yp坐標(biāo)系★同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述主應(yīng)力單元體2023/1/1516三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1517平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1518xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1519三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例特例應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述2023/1/1520二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析xy求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的應(yīng)力。ef應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析2023/1/1521拉為正壓為負(fù)1、正應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)則應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析2023/1/1522使微元或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。切應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)則應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析2023/1/1523由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。yx

角正負(fù)號(hào)規(guī)則應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析2023/1/1524efa平衡對(duì)象——用ef斜截面截取的微元局部2、利用截面法及微元局部的平衡方程dAnt應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析dA·cosdA·sinxyef2023/1/1525參加平衡的量——應(yīng)力乘以其作用的面積

平衡方程——及應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1526s-cos)cos(dAx-sydA(sin)sindA

s+tdA(cos)sinxy+tdA(sin)cosyx應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1527tdA-sxdA(cos)sin-txydA(cos)cos+sydA(sin)cos+tyxdA(sin)sin應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1528解得：用斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析2023/1/1529因此即單元體兩個(gè)相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個(gè)常數(shù)。即又一次證明了剪應(yīng)力的互等定理。應(yīng)力狀態(tài)/平面應(yīng)力狀態(tài)分析2023/1/1530

三、應(yīng)力圓1、應(yīng)力圓方程應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓(1)(2)2023/1/1531Rc應(yīng)力圓（Mohr圓）應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力a2023/1/1532在t

-s坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元A、D面上應(yīng)力對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a和d

連ad交s

軸于c點(diǎn)，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。ADa(sx,txy)d(sy,tyx)cR2.應(yīng)力圓的畫法應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1533

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力3、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系caA應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1534yx轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；CaAa'2二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓(sx,txy)DEo2qp2023/1/15354、應(yīng)力圓的應(yīng)用——信息源思維分析的工具，而不是計(jì)算工具。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1536sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE5、基本變形的應(yīng)力狀態(tài)單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1537單向拉伸x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1538可見：45o

方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1539ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45osy'＝tsx'＝tBE純剪切應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1540sx'＝tsy'＝tBEttBE純剪切應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1541結(jié)果表明：

45o方向面只有正應(yīng)力沒有切應(yīng)力，而且正應(yīng)力為最大值。應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1542利用解析法得到：由將0值代入，得：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1543四、極值應(yīng)力與主應(yīng)力（一）主平面、主應(yīng)力與主方向tyxsxsytxytsoc2α0adAD主平面：t

=0,與應(yīng)力圓上和橫軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的面應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1544txysxsytyxAD主應(yīng)力的確定tsoc2α0ad應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1545主應(yīng)力表達(dá)式應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1546

主應(yīng)力排序：

s1s2

s3tsoc2qpadtsotso應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1547txysxsytyxADtsoc2α0ads1s2s1s1α0s2s2(sx,txy)主方向的確定負(fù)號(hào)表示從主應(yīng)力的正方向到x軸的正方向?yàn)轫槙r(shí)轉(zhuǎn)向應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓g2023/1/1548對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)的面上切應(yīng)力最大，稱為“面內(nèi)最大切應(yīng)力”。tmax（二）面內(nèi)最大切應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓tsoc2α0ad2023/1/1549應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓例1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。AD2023/1/1550（一）、圖解法otscdfe應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓解：2023/1/1551主應(yīng)力單元體：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1552（1）斜面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓（二）、解析法2023/1/1553（2）主應(yīng)力、主平面應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1554主平面的方位：哪個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)于哪一個(gè)主方向，可以采用以下方法：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1555主應(yīng)力的方向：主應(yīng)力的方向：++應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1556例2：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

求（1）主應(yīng)力；（2）繪出主應(yīng)力單元體。120ootsCa120oD解：（1）作應(yīng)力圓應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓b2023/1/1557（2）根據(jù)應(yīng)力圓的幾何關(guān)系確定主應(yīng)力120ootsa120ob半徑因此主應(yīng)力為：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1558（3）繪出主應(yīng)力單元體。120ootsa120obCDs1s2s2s1應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1559★分析：1、本題亦可用解析法求解。2、在某些情況下，單元體可以不取立方體，如平面應(yīng)力狀態(tài)問題，零應(yīng)力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零應(yīng)力面垂直的任意兩個(gè)面上的應(yīng)力，就可以求出其它任意斜截面上的應(yīng)力以及主應(yīng)力。例如：應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓CD2023/1/15603、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)有不同的表示方法，而用主應(yīng)力表示最為重要。otsa應(yīng)力狀態(tài)/應(yīng)力圓2023/1/1561五、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力

三向應(yīng)力狀態(tài)——三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)；

特例——三個(gè)主應(yīng)力及其主方向均已知。定義應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1562s1s2s3

三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1563tsIIIIIIs1s2s3應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1564tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之應(yīng)力與s1無關(guān)，于是由s2

、s3可作出應(yīng)力圓I平行于s2的方向面－其上之應(yīng)力與s2無關(guān)，于是由s1

、s3可作出應(yīng)力圓

II平行于s3的方向面－其上之應(yīng)力與s3無關(guān)，于是由s1

、s2可作出應(yīng)力圓IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1s1s2s3應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1565s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts在-平面內(nèi)，代表任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上，或位于三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的區(qū)域內(nèi)。應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1566'st'IIIIIIs1s2s3t't'''t''tmax=在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力,即：應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念zpypxps3s2s12023/1/1567

三向應(yīng)力狀態(tài)中（方向與及成45°角）應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1568szsxsytxytyx至少有一個(gè)主應(yīng)力及其主方向已知sytxytyxsxsz三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/156920030050otmax平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例:應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/157020050O30050應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/157130050O應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1572(1)(2)排序確定(3)平面應(yīng)力狀態(tài)特點(diǎn)：作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例應(yīng)力狀態(tài)/三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2023/1/1573xyO一、疊加法求應(yīng)變分析公式abcdaAOB剪應(yīng)變：直角的增大量為正！（只有這樣，前后才對(duì)應(yīng)）DD1EE1六、平面應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變分析應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變分析公式2023/1/1574xyOabcdaAOBDD2EE2應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變分析公式2023/1/1575DD3EE3xyOabcdaAOBαα應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變分析公式2023/1/1576應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變分析公式2023/1/15772、已知一點(diǎn)A的應(yīng)變（），畫應(yīng)變圓二、應(yīng)變分析圖解法——應(yīng)變圓（StrainCircle）1、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點(diǎn)C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)變圓。eaga/2ABC應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變圓2023/1/1578eaga/2三、方向上的應(yīng)變與應(yīng)變圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系maxmin20D(，/2)2n方向上的應(yīng)變(，/2)

應(yīng)變圓上一點(diǎn)(，/2)方向線應(yīng)變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。ABC應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變圓2023/1/1579四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位應(yīng)變狀態(tài)/應(yīng)變圓2023/1/1580七、廣義胡克定律各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材料）--泊松比yx2023/1/158112、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法++23應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1582123123應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1583312應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1584123應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1585★分析：1、即2、當(dāng)時(shí)，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：3、當(dāng)時(shí)，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/15864、若單元體上作用的不是主應(yīng)力，而是一般的應(yīng)力時(shí)，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：yxz應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/15873、三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/15884、各向異性材料的廣義胡克定律各向異性材料受力時(shí)，正應(yīng)力會(huì)引起切應(yīng)變，而切應(yīng)力也會(huì)引起線應(yīng)變。完全各向異性的材料在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)相互垂直平面上的6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量sx、sy、sz、tyz、tzx、txy中的每一個(gè)都可引起6個(gè)應(yīng)變分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1589從而在線彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系可表達(dá)為應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1590上式即是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，其第一個(gè)下角標(biāo)i（＝1，2，┅，6）表示它對(duì)應(yīng)于應(yīng)變分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy中的第幾個(gè)，例如C24表示ey對(duì)應(yīng)于tyz的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材料總共有36個(gè)彈性常數(shù)。利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在Cij=Cji這一互等關(guān)系，也就是說，在上列一組式子中有(36－6)/2＝15對(duì)彈性常數(shù)是互等的。可見完全各向異性的材料只有36－15＝21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1591

對(duì)于完全各向異性的材料，若沿x、y、z方向的正應(yīng)力為主應(yīng)力s1、s2、s3，因而txy＝0，tyz=0，tzx=0，則按廣義胡克定律有可見在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)均發(fā)生有切應(yīng)變，所以主應(yīng)力方向并非主應(yīng)變的方向，或者說，主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向不相重合。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1592工程上應(yīng)用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成的單向復(fù)合材料，它們具有三個(gè)彈性性能對(duì)稱面(參見下圖)，從而具有三個(gè)彈性性能對(duì)稱軸，這種各向異性材料稱為正交異性材料(orthogonalcompositematerial)。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1593當(dāng)正交異性材料中一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直面上的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量均平行于材料的彈性對(duì)稱軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性原則可知，這三個(gè)面上的正應(yīng)力在彈性對(duì)稱軸方向只產(chǎn)生線應(yīng)變，這三個(gè)面上的切應(yīng)力只在它們各自的自身平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1594因此，當(dāng)正交異性材料一點(diǎn)處的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量平行于材料的彈性對(duì)稱軸x，y，z時(shí)，廣義胡克定律為考慮到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材料共有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1595思考:圖中x軸和y軸為正交各向異性材料的彈性性能對(duì)稱軸，從該材料中一點(diǎn)處取出的單元體如圖a所示，受純剪切；變形后如圖b。試論證這種情況仍符合對(duì)稱性原則。xyxy(a)(b)應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1596例3：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測(cè)定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測(cè)出線應(yīng)變?，F(xiàn)測(cè)得軸向應(yīng)變，45°方向的應(yīng)變?yōu)?。若軸的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。FmmFkuu45°應(yīng)力狀態(tài)/廣義胡克定律2023/1/1597解：（