自適應(yīng)控制(2)資料講課稿

自適應(yīng)控制(2)資料式中：d：響應(yīng)滯后拍數(shù)。：k時刻輸出；

：k時刻控制輸入；

：零均值白噪聲序列，且有：

(2.2a)為單位后向平移算子，于是(2.1)式可寫成：

令或式中：

(2.2b)

由(2.2)式可見隨機(jī)擾動對過程的影響等效為n(k)：

已不再是白噪聲序列。(2.2)式稱為CARMA模型，即：被控自回歸滑動平均模型。(2.3)是高斯平穩(wěn)序列，具有有理譜密度，但它被控過程的結(jié)構(gòu)方框圖

要使最小方差自校正調(diào)節(jié)器的解存在，必須滿足下列假設(shè)：(1)受控系統(tǒng)的時延d及延遲算子多項式A,B和C的階次及系數(shù)都是已知的；圓外；(2)多項式的所有零點(diǎn)都位于復(fù)平面單位(3)多項式的所有零點(diǎn)都位于圓外；復(fù)平面單位(4)

為白噪聲序列，。該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則為非最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)為逆穩(wěn)定系統(tǒng)，否則為逆不穩(wěn)定系統(tǒng)。如果的零點(diǎn)全在復(fù)平面單位圓外，則稱有時稱的零點(diǎn)全在復(fù)平面單位圓外的之所以要求和的零點(diǎn)全在單位圓外，與閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有關(guān)。2.1.2性能指標(biāo)和最小方差控制律問題的提法

1）性能指標(biāo)

性能指標(biāo)：輸出y的方差

對于調(diào)節(jié)器：參考輸入為零，

即，則y的方差就是y的均方值：2）容許控制律

控制律u(k):k時刻及其以前所有輸出y(k),y(k-1),...，與所有過去時刻的控制序列u(k-1),u(k-2),...的函數(shù)

最小方差調(diào)節(jié)的基本思想:系統(tǒng)中信號傳遞存在d步延遲，對輸出量中的可控干擾部分提前d步進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)預(yù)測值來設(shè)計最小方差調(diào)節(jié)律u(k)，以補(bǔ)償可控部分的隨機(jī)擾動在(k+d)時刻對輸出的影響。

實現(xiàn)最小方差調(diào)節(jié)的關(guān)鍵在于預(yù)測。3）問題提法

實際上性能指標(biāo)應(yīng)表示為：最小方差控制問題：對(2.2)式描述的系統(tǒng)求使(2.4)為極小時的容許控制律，該控制律被稱為最小方差控制律。

(2.4)2.1.3d步預(yù)測模型

自適應(yīng)預(yù)測：用給定的直到當(dāng)前時刻k的數(shù)據(jù)調(diào)整預(yù)測器中參數(shù)，使得過去預(yù)測值接近相應(yīng)的觀測值，然后用這些參數(shù)產(chǎn)生未來的預(yù)測值。

(2.5)

由式(2.2)可得下式：干擾濾波器與以前所測量輸出y(k),y(k-1),...線性無關(guān)以及線性相關(guān)兩部分

(2.6)

被分解成一個恒等式：必須被分成兩部分：其中：

是的商式，是的余式。如果v(k+d)為y(k)，y(k-1)，...獨(dú)立的部分，則的nf階次就應(yīng)當(dāng)是(d-1)，而的階次應(yīng)當(dāng)?shù)扔?na-1)，即有：將(2.6)式代入(2.5)式，可得將v(k+d)分解后的結(jié)果為：

另一方面，假定多項式的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則(2.2)式可以改寫成：(2.7)將(2.7)式代入上面的式中可得：(2.8)我們稱(2.8)式為預(yù)測模型。對比(2.8)式和(2.5)式，(2.8)式是將(2.5)式的干擾項中的可預(yù)測部分分解出后所得到輸出預(yù)測模型。利用此預(yù)測模型，就可以利用最小方差求得消除可控干擾后的最優(yōu)預(yù)測器，或利用最小方差，求出消除可控干擾的控制律。2.1.4最優(yōu)預(yù)測器

輸出量的d步預(yù)測估計：預(yù)測誤差：通過使性能指標(biāo)求方差最小的d步最優(yōu)預(yù)測：最小化來也是獨(dú)立的，v(k)具有零均值，所以上式右邊最后一項為0值。另外上式右邊第一項是不可預(yù)測的，所以欲使J1最小，只有使上式右邊第二項為0，此時有：由于v(k+1)，v(k+2)，...,v(k+d)與測量數(shù)據(jù)獨(dú)立，而是測量數(shù)據(jù)的線性組合，所以v(k+1)，v(k+2)，...,v(k+d)與

(2.9)最小預(yù)測方差為：(2.10)其中，為v(k)的方差。方程(2.9)稱為最優(yōu)預(yù)測器方程，方程(2.6)稱為丟番，(Diophantine)方程。當(dāng)，和d已知時，可由它解出和。2.2最小方差控制律

假設(shè)多項式是Hurwitz多項式，將最優(yōu)預(yù)測器(2.9)式，代入預(yù)測模型(2.8)式中，可得：所以有：上式右邊第一項不可控，所以欲使J最小，必須使(2.11)由(2.9)式可得：

(2.12)整理后可得最小方差控制律為：

(2.13a)從以上推導(dǎo)過程可以看出，最小方差控制律實際上是令(k+d)時刻的最優(yōu)輸出預(yù)測值為期望輸出時所得到的控制。

對于調(diào)節(jié)器問題，可以設(shè)，此時最小方差控制律可以簡化為：(2.14)或最小方差控制問題的設(shè)計步驟：

1）設(shè)被控過程的差分方程為：其中，是獨(dú)立高斯隨機(jī)白噪聲序列，假定B和C的零點(diǎn)都落在單位圓內(nèi)，那么，最小方差控制律為：其中，多項式和的階分別為d-1和丟番方程來確定：，多項式的系數(shù)可通過求解下列2）輸出誤差是v(k+d)的d-1階滑動平均：3）輸出的最小方差為：其中為v(k)的方差。調(diào)節(jié)律?！纠?.1】求解以下被控過程的預(yù)測模型和最優(yōu)預(yù)測，并計算其最小預(yù)測誤差的方差，以及當(dāng)期望輸出時的最小方差解：根據(jù)題意，已知：根據(jù)對和階分別為和d-1的要求，可得：

由丟番方程(2.6)可得：令上式兩邊q的同冪次項系數(shù)相等，得下列代數(shù)方程組：解之得：由此可求出預(yù)測模型，最優(yōu)預(yù)測，最優(yōu)預(yù)測誤差的方差，以及當(dāng)期望輸出時的最小方差控制律分別為：若給定值：則有：所以可得：或最小方差調(diào)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖

1)若d=1，則一步預(yù)測誤差方差為，這說明預(yù)測誤差隨著預(yù)測長度d的增加而惡化，預(yù)測精度隨之降低。此時的輸出方差為：2)未加控制（即u(k)=0）時，由過程方程可得：討論：此時的輸出y(k)完全是由白噪聲作用的結(jié)果，所以本身也是白噪聲，具有與白噪聲相同的特性，因而有：所以，當(dāng)時，輸出方差為：是加入最小方差控制后輸出方差的4倍，可見，采用最小方差控制策略，使輸出方差減少了3/4，而剩下的1/4是不可控部分所造成的。3）最小方差調(diào)節(jié)器的一個基本缺點(diǎn)：若過小，控制量就可能過大，從而使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)或數(shù)模轉(zhuǎn)換裝置處于飽和狀態(tài)而影響控制品質(zhì)，同時也有可能加速執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損4）最小方差調(diào)節(jié)器的另一個基本缺點(diǎn)：最小方差控制只能適用于和均為穩(wěn)定零點(diǎn)的系統(tǒng)2.3最小方差自校正器

2.3.1最小方差自校正調(diào)節(jié)器(采用直接法)從預(yù)測模型入手推導(dǎo)參數(shù)辨識模型：首先，令時，重寫被控過程的預(yù)測模型(2.8)式:為了便于分析，把預(yù)測模型重寫為：(2.15)式中：

如果參數(shù)估計收到真值，那么在采用最小方差控制律對系統(tǒng)進(jìn)行控制時，上式右邊聽有方括號中的項都為零，其效果等同于C=1的情形。

所以，不論多項式取何種形式，(2.15)式均可以作為隱式算法的估計模型。根據(jù)閉環(huán)可辨識條件必須已知1）

2）max對本問題即為max為了滿足估計模型參數(shù)的可辨識性條件，可以設(shè)定多項式F’的首項系數(shù)為一合理的估計值，同時令：估計模型(2.15)可寫為:

此時，可利用比如漸消記憶最小二乘遞推公式進(jìn)行參數(shù)估計：

可得最小方差控制律為：最小方差自校正調(diào)節(jié)器的設(shè)計步驟7）返回2）。

已知：和1）設(shè)置初值和P(0)，輸入初始數(shù)據(jù)；2）讀取新的測量數(shù)據(jù)y(k)；3）組成測量數(shù)據(jù)向量和；4）用遞推最小二乘估計公式計算最新參數(shù)估計向量和P(k)；5）計算自校正調(diào)節(jié)律u(k)；6）輸出u(k)；2.4廣義最小方差自校正控制器

自校正控制器：1975年D.W.Clarke等人提出，在指標(biāo)函數(shù)中引入?yún)⒖驾斎腠椇涂刂谱饔玫募訖?quán)項，適用于非逆穩(wěn)定的被控系統(tǒng)廣義最小方差控制器設(shè)計

被控過程有下列表達(dá)式：(2.19a)噪聲干擾n(k)是統(tǒng)計隨機(jī)過程：(2.19b)所以系統(tǒng)模型為：(2.19c)控制目的是求使性能指標(biāo)為最小時的系統(tǒng)控制量u(k)，其控制系統(tǒng)方框圖如圖2.3所示。系統(tǒng)的參考信號為，選擇的性能指標(biāo)為：控制系統(tǒng)方框圖

2.4.1不同類型的廣義最小方差控制器的推導(dǎo)

為了得到d步預(yù)測器，將干擾濾波器分解成兩部分：(2.20)此處：由(2.20)式可得：(2.21)由此可得干擾的d步預(yù)測為：(2.22)上式第二項中的v(k)可通過過去的被控變量y(k)和控制u(k)，根據(jù)(2.19)獲得：(2.23)將(2.23)式代入(2.22)式得：(2.24)

由此并結(jié)合系統(tǒng)模型可得系統(tǒng)預(yù)測輸出的表達(dá)式為：結(jié)合(2.21)式，上式可簡化為：(2.25)對式(2.25)求解最小方差意義下的最優(yōu)輸出預(yù)測y*(k+d/k)為：(2.26)此時系統(tǒng)的實際輸出為：(2.27)將(2.27)式代入性能指標(biāo)J2中可得：(2.28)

為了求得最小方差意義下的最優(yōu)控制量，相對于u(k)對(2.28)求極小值，即求J2對u的導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得：(2.29)通過分析多項式，，，和的首項函數(shù)，由項可以展開成q-1的無窮級數(shù)多項式，它的首項函數(shù)為b0，所以可得：

(2.30)將(2.26)式和(2.30)式代入(2.29)式，得：整理上式可得使J2為最小時廣義最小方差控制律為：(2.31)由(2.31)式可以推導(dǎo)出不同類型的最小方差控制器：1）當(dāng)yr=0時，(2.31)式變成了帶有控制限制的調(diào)節(jié)器，其調(diào)節(jié)律u1為：(2.32)2）當(dāng)噪聲濾波器的分母與過程分母相等時，其調(diào)節(jié)律u2為：

(2.33)3）當(dāng)對上兩種情況采用J1為性能指標(biāo)時，其調(diào)節(jié)律分別為u3和u4：(2.34)(2.35)4）對(2.31)中，采用J1，并令=，即當(dāng)時的最小方差調(diào)節(jié)器u5為：(2.36)此式與(2.13)相同。2.4.2廣義最小方差控制器的特性分析

1）對于u4、u5的閉環(huán)系統(tǒng)，有相同的特征方程：整理后得：由此可得，只有當(dāng)被控系統(tǒng)的及均落在單位圓內(nèi)，所設(shè)計出的調(diào)節(jié)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，即調(diào)節(jié)律u4、u5只能用于逆穩(wěn)定系統(tǒng)的零點(diǎn)B和C穩(wěn)定，另外只有當(dāng)被控過程本身是也是穩(wěn)定時，才能使整個閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2）對于調(diào)節(jié)器u3，其閉環(huán)系統(tǒng)特證方程為：有：即，當(dāng)噪聲濾波器中的極點(diǎn)時，不但要求

3）u2為常用的廣義最小方差調(diào)節(jié)器，有，它的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：整理后得：比較由u2和u4所得的廣義最小方差調(diào)節(jié)和最小方差調(diào)整的閉環(huán)特征方程可以看出：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。中含有