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《定積分的概念》試卷1.設f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx-eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(t)dt的值()A.小于零 B.等于零C.大于零 D.不能確定解析:選B.在[a,b]上,f(x)的積分等于f(t)的積分,因此,其值為0.2.已知eq\i\in(0,t,)xdx=2,則eq\i\in(-t,0,)xdx等于()A.0 B.2C.-1 D.-2解析:選D.∵f(x)=x在[-t,t]上是奇函數(shù),∴eq\i\in(-t,t,)xdx=0.而eq\i\in(-t,t,)xdx=eq\i\in(-t,0,)xdx+eq\i\in(0,t,)xdx,又eq\i\in(0,t,)xdx=2,∴eq\i\in(-t,0,)xdx=-2.故選D.3.不用計算,根據(jù)圖形,用不等號連接下列式子.eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx________eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx(如圖所示).答案:>4.已知eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx=eq\i\in(\f(π,2),0,)sinxdx=1,eq\i\in(0,\f(π,2),)x2dx=eq\f(π3,24),求下列定積分:(1)eq\a\vs4\al(∫\o\al(π,0))sinxdx;(2)eq\i\in(0,\f(π,2),)(sinx+3x2)dx.解:(1)∫eq\o\al(π,0)sinxdx=eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx+eq\i\in(\f(π,2),0,)sinxdx=2;(2)eq\i\in(0,\f(π,2),)(sinx+3x2)dx=eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx+3eq\i\in(0,\f(π,2),)x2dx=1+eq\f(π3,8).一、選擇題1.定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A.與f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān),與ξi的取法無關(guān)B.與f(x)有關(guān),與區(qū)間[a,b]以及ξi的取法無關(guān)C.與f(x)以及ξi的取法有關(guān),與區(qū)間[a,b]無關(guān)D.與f(x),區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關(guān)解析:選A.定積分的大小與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān),與ξi的選擇無關(guān).2.已知eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx=3,則eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))[f(x)+6]dx=()A.9 B.12C.15 D.18解析:選C.根據(jù)定積分的性質(zhì),eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))[f(x)+6]dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))6dx=3+6×2=15.3.已知定積分eq\a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx=8,且f(x)為偶函數(shù),則eq\a\vs4\al(\i\in(-6,6,))f(x)dx=()A.0 B.16C.12 D.8解析:選B.偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,故eq\a\vs4\al(\i\in(-6,6,))f(x)dx=2eq\a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx=16.故選B.4.下列等式成立的是()\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx=b-a \a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx=eq\f(1,2)\i\in(-1,1,)|x|dx=2eq\i\in(0,1,)|x|dx \a\vs4\al(\i\in(a,b,))(x+1)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx解析:選C.由y=|x|為偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對稱,得eq\a\vs4\al(\i\in(-1,1,))|x|dx=2eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))|x|dx,故選C.5.設a=eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,3)dx,b=eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx,c=eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.c>a>b B.a(chǎn)>b>cC.a(chǎn)=b>c D.a(chǎn)>c>b解析:選B.根據(jù)定積分的幾何意義,易知eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx<eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx<eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,3)dx,a>b>c,故選B.6.若eq\i\in(-a,a,)|56x|dx≤2022,則正數(shù)a的最大值為()A.6 B.56C.36 D.2022解析:選A.由eq\i\in(-a,a,)|56x|dx=56eq\i\in(-a,a,)|x|dx≤2022得eq\i\in(-a,a,)|x|dx≤36,∴eq\i\in(-a,a,)|x|dx=2eq\i\in(0,a,)xdx=a2≤36,即0<a≤6.故正數(shù)a的最大值為6.二、填空題7.若eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx=3,eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))g(x)dx=2,則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)+g(x)]dx=________.解析:eq\i\in(a,b,)[f(x)+g(x)]dx=eq\i\in(a,b,)f(x)dx+eq\i\in(a,b,)g(x)dx=3+2=5.答案:58.化簡eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(2,3,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(3,4,))f(x)dx+…+eq\a\vs4\al(\i\in(99,100,))f(x)dx=________.解析:連續(xù)運用eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(a,c,))f(x)dx+eq\a\vs4\al(\i\in(c,b,))f(x)dx(a<c<b),原式=eq\a\vs4\al(∫\o\al(100,0))f(x)dx.答案:eq\a\vs4\al(∫\o\al(100,0))f(x)dx9.由y=sinx,x=0,x=-π,y=0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是S=________.解析:由定積分的意義知,由y=sinx,x=0,x=-π,y=0圍成圖形的面積為S=-eq\a\vs4\al(\i\in(-π,0,))sinxdx.答案:-eq\a\vs4\al(\i\in(-π,0,))sinxdx三、解答題10.已知eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx=e-1,eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx=e2-e,eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))x2dx=eq\f(8,3),eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(2,x)dx=2ln2.求:(1)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx;(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(ex+3x2)dx;(3)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(ex+eq\f(1,x))dx.解:(1)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx+eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx=e-1+e2-e=e2-1.(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(ex+3x2)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx+eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(3x2)dx=eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx+3eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))x2dx=e2-1+8=e2+7.(3)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(ex+eq\f(1,x))dx=eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx+eq\f(1,2)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(2,x)dx=e2-e+ln2.11.用定積分的意義求下列各式的值.(1)eq\i\in(-1,1,)eq\r(4-x2)dx;(2)eq\i\in(-1,2,)2xdx.解:(1)由y=eq\r(4-x2)可得x2+y2=4(y≥0),其圖象如圖.eq\a\vs4\al(\i\in(-1,1,))eq\r(4-x2)dx等于所對圓心角為eq\f(π,3)的弓形面積CED與矩形ABCD的面積之和S弓形=eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22-eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)=eq\f(2π,3)-eq\r(3),S矩形=AB·BC=2eq\r(3),∴eq\a\vs4\al(\i\in(-1,1,))eq\r(4-x2)dx=2eq\r(3)+eq\f(2π,3)-eq\r(3)=eq\f(2π,3)+eq\r(3).(2)eq\i\in(-1,2,)2xdx表示由直線x=-1,x=2,y=0以及y=2x所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積,∴eq\i\in(-1,2,)2xdx=eq\f(2×4,2)-eq\f(1×2,2)=4-1=3.12.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x5x∈[-1,1,xx∈[1,π,sinxx∈[π,3π])),求f(x)在區(qū)間[-1,3π]上的定積分.解:由定積分的幾何意義知eq\a\vs4\al(\
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