《定積分的概念》試卷 省賽一等獎

《定積分的概念》試卷1．設f(x)是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx－eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(t)dt的值()A．小于零 B．等于零C．大于零 D．不能確定解析：選B.在[a，b]上，f(x)的積分等于f(t)的積分，因此，其值為0.2．已知eq\i\in(0,t,)xdx＝2，則eq\i\in(－t,0,)xdx等于()A．0 B．2C．－1 D．－2解析：選D.∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函數(shù)，∴eq\i\in(－t,t,)xdx＝0.而eq\i\in(－t,t,)xdx＝eq\i\in(－t,0,)xdx＋eq\i\in(0,t,)xdx，又eq\i\in(0,t,)xdx＝2，∴eq\i\in(－t,0,)xdx＝－2.故選D.3．不用計算，根據(jù)圖形，用不等號連接下列式子．eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx________eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx(如圖所示)．答案：>4．已知eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx＝eq\i\in(\f(π,2),0,)sinxdx＝1，eq\i\in(0,\f(π,2),)x2dx＝eq\f(π3,24)，求下列定積分：(1)eq\a\vs4\al(∫\o\al(π,0))sinxdx；(2)eq\i\in(0,\f(π,2),)(sinx＋3x2)dx.解：(1)∫eq\o\al(π,0)sinxdx＝eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx＋eq\i\in(\f(π,2),0,)sinxdx＝2；(2)eq\i\in(0,\f(π,2),)(sinx＋3x2)dx＝eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx＋3eq\i\in(0,\f(π,2),)x2dx＝1＋eq\f(π3,8).一、選擇題1．定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān)D．與f(x)，區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)解析：選A.定積分的大小與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，與ξi的選擇無關(guān)．2．已知eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝3，則eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))[f(x)＋6]dx＝()A．9 B．12C．15 D．18解析：選C.根據(jù)定積分的性質(zhì)，eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))[f(x)＋6]dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))6dx＝3＋6×2＝15.3．已知定積分eq\a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則eq\a\vs4\al(\i\in(－6,6,))f(x)dx＝()A．0 B．16C．12 D．8解析：選B.偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故eq\a\vs4\al(\i\in(－6,6,))f(x)dx＝2eq\a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx＝16.故選B.4．下列等式成立的是()\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx＝b－a \a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx＝eq\f(1,2)\i\in(－1,1,)|x|dx＝2eq\i\in(0,1,)|x|dx \a\vs4\al(\i\in(a,b,))(x＋1)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx解析：選C.由y＝|x|為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，得eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))|x|dx＝2eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))|x|dx，故選C.5．設a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,3)dx，b＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx，c＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c>a>b B．a(chǎn)>b>cC．a(chǎn)＝b>c D．a(chǎn)>c>b解析：選B.根據(jù)定積分的幾何意義，易知eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx<eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx<eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,3)dx，a>b>c，故選B.6．若eq\i\in(－a,a,)|56x|dx≤2022，則正數(shù)a的最大值為()A．6 B．56C．36 D．2022解析：選A.由eq\i\in(－a,a,)|56x|dx＝56eq\i\in(－a,a,)|x|dx≤2022得eq\i\in(－a,a,)|x|dx≤36，∴eq\i\in(－a,a,)|x|dx＝2eq\i\in(0,a,)xdx＝a2≤36，即0<a≤6.故正數(shù)a的最大值為6.二、填空題7．若eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝3，eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))g(x)dx＝2，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)＋g(x)]dx＝________.解析：eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝3＋2＝5.答案：58．化簡eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(2,3,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(3,4,))f(x)dx＋…＋eq\a\vs4\al(\i\in(99,100,))f(x)dx＝________.解析：連續(xù)運用eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,c,))f(x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(c,b,))f(x)dx(a<c<b)，原式＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(100,0))f(x)dx.答案：eq\a\vs4\al(∫\o\al(100,0))f(x)dx9．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是S＝________.解析：由定積分的意義知，由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0圍成圖形的面積為S＝－eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))sinxdx.答案：－eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))sinxdx三、解答題10．已知eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx＝e－1，eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx＝e2－e，eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))x2dx＝eq\f(8,3)，eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(2,x)dx＝2ln2.求：(1)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx；(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(ex＋3x2)dx；(3)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(ex＋eq\f(1,x))dx.解：(1)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx＝e－1＋e2－e＝e2－1.(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(ex＋3x2)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(3x2)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))exdx＋3eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.(3)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(ex＋eq\f(1,x))dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx＋eq\f(1,2)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(2,x)dx＝e2－e＋ln2.11．用定積分的意義求下列各式的值．(1)eq\i\in(－1,1,)eq\r(4－x2)dx；(2)eq\i\in(－1,2,)2xdx.解：(1)由y＝eq\r(4－x2)可得x2＋y2＝4(y≥0)，其圖象如圖．eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))eq\r(4－x2)dx等于所對圓心角為eq\f(π,3)的弓形面積CED與矩形ABCD的面積之和S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝AB·BC＝2eq\r(3)，∴eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))eq\r(4－x2)dx＝2eq\r(3)＋eq\f(2π,3)－eq\r(3)＝eq\f(2π,3)＋eq\r(3).(2)eq\i\in(－1,2,)2xdx表示由直線x＝－1，x＝2，y＝0以及y＝2x所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，∴eq\i\in(－1,2,)2xdx＝eq\f(2×4,2)－eq\f(1×2,2)＝4－1＝3.12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x5x∈[－1，1,xx∈[1，π,sinxx∈[π，3π]))，求f(x)在區(qū)間[－1,3π]上的定積分．解：由定積分的幾何意義知eq\a\vs4\al(\