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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿足()A. B. C. D.2.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.3.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.54.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.95.已知,且,則的值為()A. B. C. D.6.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20177.要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像,只需將的圖像()A.向右平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍B.向右平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍C.向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍D.向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍8.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實(shí)數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣29.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.10.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.1011.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.6312.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.14.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.15.已知的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則__________.16.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,,M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)若,,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.18.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.21.(12分)已知橢圓過點(diǎn),設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)直線與直線的斜率分別為,,若,試判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.22.(10分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對(duì)于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..2.D【解析】
利用輔助角公式化簡的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.B【解析】
模擬程序運(yùn)行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.5.A【解析】
由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,又,所以,,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.7.D【解析】
先求得,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí),選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意,所以由向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍得到的圖像.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查誘導(dǎo)公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦=(1+2i)(1+ai)=,又因?yàn)閦∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.10.C【解析】
取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.11.B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.12.C【解析】
利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確;當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有,,故②錯(cuò)誤;若,則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因?yàn)椋?,從而,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系,里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理,是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進(jìn)行判斷.14.7【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),有最大值,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】
根據(jù)的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,得到,再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,即,所以,即,解得.故答案為:10【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.16.-7【解析】
由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值,求出,即可得答案;(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)椋钥稍O(shè)直線CD的方程為,將直線代入曲線的方程,利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系,再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值.所以,所以,,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為.由,消去y可得,所以,即.直線AD的斜率,直線BC的斜率,所以,故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.18.(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因?yàn)?,所?令,,則在單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因?yàn)?,所以在區(qū)間上的值域?yàn)?點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過程中,需要對(duì)公式的正確使用.19.(1),;(2).【解析】
(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20.(1),;(2).【解析】
(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù),可得出曲線的普通方程,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,進(jìn)而可得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的最大距離,以及直線截圓所得弦長,利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程得,.所以,曲線的普通方程為,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線是圓心為,半徑為為圓,圓心到直線的距離為,所以,點(diǎn)到直線的最大距離為,,因此,的面積為最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換,同時(shí)也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21.(1)(2)直線過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】
(1)因?yàn)闄E圓
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