天津大學(xué)812 自動控制原理課件 第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5-1引言時域信號可表示為不同頻率正弦信號的合成控制系統(tǒng)頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應(yīng)性能頻率分析法：應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法頻率分析法特點：

1）系統(tǒng)分析和設(shè)計可用圖解法進行；

2）頻率特性物理意義明確，頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)有對應(yīng)關(guān)系；

3）頻域設(shè)計可兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制要求；

4）適用于線性定常系統(tǒng)，也適于某些非線性控制系統(tǒng)。5-2頻率特性一、頻率特性的基本概念1、正弦信號輸入的響應(yīng)線性系統(tǒng)傳函：輸入的正弦信號：拉斯變換：則有設(shè)傳遞函數(shù)的極點為由部分分式法可得：其中：

為系統(tǒng)的暫態(tài)分量，對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，其終值為0。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為?？梢娤到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量仍為同頻的正弦信號，但輸出響應(yīng)的幅值比和相位均發(fā)生變化，變化的程度由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號的頻率確定。

決定輸出響應(yīng)的幅值變化，稱為系統(tǒng)的幅頻特性。決定輸出響應(yīng)的相位變化，稱為系統(tǒng)的相頻特性。稱為系統(tǒng)的頻率特性。2、系統(tǒng)頻率特性與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的關(guān)系。線性系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函間滿足等式：

進而有：即為系統(tǒng)輸出的傅氏變換與輸入的傅氏變換之比。二、頻率特性的幾何表示方法1、幅頻特性曲線和對數(shù)幅頻特性表示系統(tǒng)輸出、輸入的幅值比與信號頻率間的關(guān)系曲線。如：對于慣性環(huán)節(jié)，有則有，得幅頻特性：特點：橫坐標(biāo)為角頻率ω，單位為（rad/s)；縱坐標(biāo)為幅值；幅頻曲線為非線性曲線。對數(shù)幅頻特性：橫坐標(biāo)為角頻率ω，單位為（rad/s)，采用對數(shù)分度?？v坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位為（dB）。對數(shù)幅頻特性定義為：

單位為分貝。角頻率ω對數(shù)分度：按ω的對數(shù)值均勻分度，即用lgω分度。慣性環(huán)節(jié)：有

2、相頻特性曲線和對數(shù)相頻特性橫坐標(biāo)表示角頻率，均勻分度；縱坐標(biāo)表示相角，單位為度（°），均勻分度。表示系統(tǒng)響應(yīng)的相角隨輸入信號角頻率的變化關(guān)系。

對數(shù)相頻曲線：橫坐標(biāo)為角頻率ω，單位為（rad/s)，并采用對數(shù)分度?？v坐標(biāo)表示相角，單位為度（°）,均勻分度。ω12345678910lgω00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.95413、幅相特性曲線特點：把角頻率看成參變量，將幅頻和相頻特性同時表示在復(fù)平面上。即在復(fù)平面上表示的函數(shù)曲線。由于幅頻特性是ω的偶函數(shù)，而相頻特性是ω的奇函數(shù)，則ω從0到的特性曲線，與ω從0到的特性曲線相對于實軸對稱。因此，只需畫出ω從0到的特性曲線。如：5-3曲型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性一、比例環(huán)節(jié)

頻率特性與角頻率無關(guān)。幅相曲線：實軸上一點(K,j0)。幅頻曲線：相頻曲線：二、積分環(huán)節(jié)

幅頻特性與角頻率成反比，相頻特性恒為-90°。幅相曲線：與虛軸的負(fù)半軸重合。幅頻曲線：過對數(shù)坐標(biāo)的（1，0）點，斜率為-20dB/dec（-20dB/十倍頻）相頻曲線：，相位滯后90°。三、微分環(huán)節(jié)

幅頻特性與角頻率成正比，相頻特性恒為90°。幅相曲線：與虛軸的正半軸重合。幅頻曲線：過對數(shù)坐標(biāo)的（1，0）點，斜率為20dB/dec（20dB/十倍頻）的直線。相頻曲線：，相位超前90°。積分、微分環(huán)節(jié)幅頻、幅相特性比較：兩曲線關(guān)于角頻率軸對稱。四、慣性環(huán)節(jié)

有：幅相曲線：幅頻曲線：當(dāng)，，即當(dāng)頻率很低時，對數(shù)幅頻特性為0dB線。當(dāng)，，即當(dāng)頻率很高時，對數(shù)幅頻特性為直線，斜率為-20dB/dec的直線。直線與0dB線交于點（即）。實際繪圖時用兩直線近似表示慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性，并稱兩直線交點為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。近似幅頻特性曲線誤差：式中為準(zhǔn)確值，為近似值。則有：線性系統(tǒng)的頻域分析法五、一階微分環(huán)節(jié)（比例微分環(huán)節(jié)）

幅相曲線：幅頻曲線：相頻曲線：慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)比較：它們的幅頻特性曲線關(guān)于角頻率軸對稱，相頻曲線也關(guān)于角頻率軸對稱。六、振蕩環(huán)節(jié)傳函：

則有（四象限反正切）振蕩環(huán)節(jié)的諧振分析：令(稱為無因次頻率），則有從圖可以看出，當(dāng)ξ比較小時，幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值，峰值對應(yīng)的頻率稱為諧振頻率，而稱為無因次諧振頻率。隨ξ減小而增大，最終趨于1。對幅頻表達式求導(dǎo)并令其等于0，可得：（）{注意區(qū)分阻尼振蕩頻率，無因次阻尼振蕩頻率}從而求得諧振峰值

幅相曲線：對數(shù)幅頻曲線：

有因此振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性可近似為0dB線和斜率為-40dB/dec的直線，兩直線的交點為。相頻曲線：

特點：當(dāng)ω由0變化到時，相角由0°變化到-180°當(dāng)時，相角為-90°；阻尼比ξ越小，則相頻曲線在自然角頻率處的斜率越大。七、二階微分環(huán)節(jié)傳函為則有（四象限反正切）幅相曲線：幅頻曲線：相頻曲線：

作為控制系統(tǒng)分析設(shè)計的工具必須滿足如下條件：

1、能判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

2、能確定或估算系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)；

3、能從開環(huán)系統(tǒng)特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

4、能從開環(huán)系統(tǒng)特性確定閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)；

頻率分析法特點八、開環(huán)幅相曲線繪制

1、頻率特性展成實部、虛部形式

2、頻率特性展成幅值、相角形式

3、利用開環(huán)零、極點分布圖，采用圖示法求頻率特性的幅值和相角則有繪制概略開環(huán)幅相曲線方法：（1）求得，，，；（2）由的變化范圍確定幅相曲線所在象限；（3）如，中有一項為無窮大，則確定其漸近線方向；（4）如有必要則補充轉(zhuǎn)折頻率處的幅值和相角；（5）求解幅相曲線與實軸、虛軸的交點；（6）如有必要則補充其它頻率處的幅值、相角點；例5-1

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制其概略幅相曲線。解：有，；幅相曲線在第一象限；當(dāng)時，；從而可得幅相曲線：零型系統(tǒng)幅相曲線繪制：設(shè)零型系統(tǒng)傳函為：，（）則有，例5-2

設(shè)零型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：（），繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。

解：有，，幅相曲線位于第四、第三象限；如果零型系統(tǒng)存在一階微分環(huán)節(jié)，則幅相曲線所在象限及形狀會受到零、極點的相互位置關(guān)系的影響。例如，設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則有，討論：1、如果則有幅相曲線在第四、三象限，如圖所示；2、如果，則在附近的相角主要由一階微分環(huán)節(jié)確定，會出現(xiàn)相角大于0情形，因此幅相曲線處于第一、四、三象限。3、如果，則當(dāng)時，相角主要由三個慣性環(huán)節(jié)確定，則幅相曲線處于第四、三、二象限；

I型以上系統(tǒng)幅相曲線繪制：對I，II，III型系統(tǒng)有：，（）則有，，漸近線方向為例5-3

某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，試畫出概略幅相曲線。解：

，，幅相曲線處于第三、二、一象限；漸近線方向為-90°，漸近線與實軸的交點坐標(biāo)小于0，則可得幅相曲線如圖所示；如果把展開成實部、虛部形式，求時，的實部即為漸近線與實軸的交點。II型系統(tǒng)例：設(shè)開環(huán)傳函為，畫出概略幅相曲線。解：，，幅相曲線處于第二、一象限；漸近線方向為-180°，漸近線與虛軸的交點坐標(biāo)大于0，則可得幅相曲線如圖所示；如果系統(tǒng)包括一階微分環(huán)節(jié)，則會改變幅相曲線的形狀和所在象限；例如：設(shè)，（）試畫出概略幅相曲線。解：，，由于，則在附近的相角主要由積分環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)確定，幅相曲線處于第三、二、一象限；漸近線方向為-180°，漸近線與虛軸的交點坐標(biāo)小于0，則可得幅相曲線如圖所示；九、開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻曲線的繪制

步驟：把開環(huán)傳遞函數(shù)表示成典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)形式（即為連乘積形式），設(shè)系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，典型環(huán)節(jié)用表示，則有，相應(yīng)的頻率特性幅相特性表示：

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性等于串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性之和。相頻特性表示為：

系統(tǒng)開環(huán)相頻特性等于串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)相頻特性之和。繪制開環(huán)幅頻曲線步驟：(1)把開環(huán)傳遞函數(shù)表示為各典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式，并轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型；(2)確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)于坐標(biāo)圖上；(3)計算比例環(huán)節(jié)的增益值（即開環(huán)傳函增益）；(4)如有積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)，則最左端的幅頻特性為上升或下降直線；由于積分或微分環(huán)節(jié)的幅頻線經(jīng)過（1，0dB）點，則左端幅頻線或其延長線必過（1,20lgK)點和（，0）點；如果是0型系統(tǒng)，則最左端為高度為20lgK的水平直線。(5)根據(jù)其它典型環(huán)節(jié)的交接頻率，從小到大確定后續(xù)幅頻曲線，在交接頻率處，幅頻曲線的斜率發(fā)生變化；最好采用分段函數(shù)形式。繪制相頻曲線：

在交接頻率及其它重要頻點處計算開環(huán)系統(tǒng)的相位，并標(biāo)于坐標(biāo)圖中，光滑連接各點。例5-4

系統(tǒng)開環(huán)傳函為，式中K=7，τ=0.087s，繪制系統(tǒng)開環(huán)幅頻、相頻曲線。解：傳函為比例環(huán)節(jié)，1個積分環(huán)節(jié)，1個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)，慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為，20lgK=16.9(dB)

在ω=1處，曲線的分貝值為20lgK，最左端直線斜率為-20dB/dec，在慣性環(huán)節(jié)的交接頻率處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec；可得幅頻曲線。采用分段函數(shù)方法：0<ω≤11.5(rad/s),,11.5(rad/s)<ω,在ω=1.15,11.5,115處計算相應(yīng)的相角為-95.7°,-135°,-174.3°,從而可畫出相頻曲線；

在ω=1附近，幅頻曲線特點：交接頻率大于1及小于1時的情況。例5-5

繪制傳函的幅頻曲線。解：傳函化為標(biāo)準(zhǔn)形式，K=

振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為（rad/s)，慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為2(rad/s)，微分環(huán)節(jié)的交接頻率為3(rad/s)；采用分段函數(shù)方法：當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，由傳遞函數(shù)可得相頻特性為：如果需繪制相頻曲線，則選擇頻點ω=0.14,0.2,0.3,1.4,2,3,14,2030，并計算其相角，則可畫出相頻曲線。十、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)（采用通用的定義）最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)在右半s平面無零點和極點；又稱最小相角系統(tǒng)；非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)在右半s平面有零點或極點；具有純延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)也是非最小相位系統(tǒng)。又稱非最小相角系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)特點：1、在ω=0附近，幅頻曲線下降的斜率為，在ω=0處的相角等于；2、當(dāng)ω趨于無窮時，幅頻曲線下降的斜率為，相角等于；3、數(shù)學(xué)上可證明：對于最小相位系統(tǒng)，幅頻特性與相頻特性之間存在唯一的對應(yīng)關(guān)系。因此，對于最小相位系統(tǒng)，只要知到幅頻特性，就可獲得相應(yīng)的相頻特性及傳遞函；知到相頻特性，也可確定系統(tǒng)的幅頻特性和傳遞函數(shù)；例：設(shè)一最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：標(biāo)識轉(zhuǎn)折頻率處頻率，由于時幅頻曲線的斜率為0，則為0型系統(tǒng)，由20lgK=30得K=31.62；在處，斜率為由0變?yōu)?0dB/dec，變化20dB/dec，存在一階微分環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為0.1，環(huán)節(jié)為：；在處，斜率由20dB/dec變?yōu)?，變化-20dB/dec，存在一慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為，環(huán)節(jié)為：；在處，斜率由0變?yōu)?20dB/dec，變化-20dB/dec，則存在一慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為，環(huán)節(jié)為：；在處，斜率變化-20dB/dec，則存在一慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為，環(huán)節(jié)為：；在處，斜率變化-20dB/dec，則存在一慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為，環(huán)節(jié)為：；計算，，，：由圖可得：，則；：由圖可得：，得；：由圖可得：，得：由圖可得：，得則傳函為：非最小相位系統(tǒng)中的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)（采用頻率分析的標(biāo)準(zhǔn)形式）1、不穩(wěn)定一階微分環(huán)節(jié)特點：幅頻特性與一階微分環(huán)節(jié)完全一致，相頻特性不同；相頻特性與具有相同時間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié)相同。2、不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)特點：幅頻特性與二階微分環(huán)節(jié)完全一致，相頻特性不同；相頻特性與具有相同參數(shù)的振蕩環(huán)節(jié)一致。3、不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)特點：幅頻特性與慣環(huán)節(jié)完全一致，相頻特性不同；相頻特性與具有相同參數(shù)的一階微分環(huán)節(jié)一致。4、不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)

=特點：幅頻特性與振蕩環(huán)節(jié)完全一致，相頻特性不同；相頻特性與具有相同參數(shù)的二階微分環(huán)節(jié)一致。5、延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：則有，幅頻特性恒等于1，相頻特性是ω的線性函數(shù)。其幅相曲線為以坐標(biāo)原為圓心的單位圓。由于具有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)較難分析處理，在實際系統(tǒng)分析、設(shè)計時，常把延遲環(huán)節(jié)作冪級數(shù)展開，并用等效的傳函。{MATLAB中的相應(yīng)的延遲環(huán)節(jié)的等效變換函數(shù)為[num,den]=pade(T,N),N階次近似傳函}例如：求幅頻、相頻特性，則有，5-4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：根據(jù)開環(huán)幅相曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性方法。

對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)：根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)幅頻、相頻曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性方法。一、奈奎斯特判據(jù)及其證明基本思想：由于線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點都位于s平面左半平面，而閉環(huán)極點由系統(tǒng)特征方程確定。設(shè)法建立頻率特性與特征方程之間的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)頻率特性是一復(fù)變函數(shù)這一事實，利用幅角原理研究閉環(huán)極點與頻率特性曲線間的關(guān)系。利用系統(tǒng)特征方程構(gòu)造輔助復(fù)變函數(shù)：設(shè)（n>m）則可表示為：式中，分別為的零點和極點。

特點：1、的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點；

2、的極點就是開環(huán)系統(tǒng)的極點；

3、的零點和極點個數(shù)相同；

4、和只相差常數(shù)1；幅角原理在s平面上任選一點s，通過復(fù)變函數(shù)的映射關(guān)系，在平面上可以找到相應(yīng)的象。設(shè)的零、極點分布如圖所示，在零點的鄰域作一只包圍點的閉曲線，閉曲線的方向為順時針方向，讓s從A點開始沿閉曲線轉(zhuǎn)一周回到A點。相對應(yīng)，則從平面上B點出發(fā)沿某一曲線回到B點。s沿變化時，相角的變化為，則由函數(shù)可得：

式中，表示s沿變化時，相應(yīng)向量的相角變化。由圖可知，s沿變化一周時，除外，式中其它各項都為0。則有：因此，當(dāng)s在s平面上繞的某一零點順時針方向轉(zhuǎn)一圈，則曲線繞原點順時針方向轉(zhuǎn)一圈。同理，當(dāng)s在s平面上繞的某一極點順時針方向轉(zhuǎn)一圈，則曲線繞原點反時針方向轉(zhuǎn)一圈。幅角原理：如果s平面上的封閉曲線內(nèi)有Z個的零點、P個的極點，則s沿順時針轉(zhuǎn)一圈時，在平面上，曲線繞其原點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)R為P與Z之差，即：如果把s平面的虛軸和半徑為無窮的右半圓取為閉曲線，如圖所示，則為包括虛軸的整個右半平面?？紤]到與間的關(guān)系，則繞原點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)R就是開環(huán)傳函曲線繞（-1，j0)點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。則R、P、Z的含義如下：R：奈氏曲線（即s沿虛軸到值時，頻率特性的幅相曲線）繞臨界點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；P：輔助函數(shù)的右半平面極點數(shù)；(注意：不包括虛軸上的極點）Z：輔助函數(shù)的右半平面零點數(shù)；奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界點的圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面的極點數(shù)P，即R=P；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)Z由下式確定：開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（即在虛軸上存在開環(huán)極點）時奈氏判據(jù)的應(yīng)用：如果開環(huán)傳函在虛軸上存在極點，則s平面上的閉曲線應(yīng)稍作變動，使其不經(jīng)過虛軸上的極點。例如，開環(huán)系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)時，讓以半徑ε趨于0的右半圓繞過原點處的極點，小半圓通過映射到平面的象為半徑趨于無窮的半圓，如圖所示。由奈氏判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的實際方法由于幅相曲線的對稱性，實際只繪制ω從0到+∞時的開環(huán)幅相曲線，改用如下簡化判據(jù)。

設(shè)ω從0到+∞時的開環(huán)幅相曲線包圍臨界點的圈數(shù)為n（反時針方向為正，順時針方向為負(fù)），開環(huán)傳函在右半平s平面上的極點數(shù)為P，則有

Z=P-2n，如果Z=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。特殊情況：如果開環(huán)傳函包含有積分環(huán)節(jié)，設(shè)積分環(huán)節(jié)個數(shù)為ν，則繪制開環(huán)幅相曲線后，應(yīng)從與頻率對應(yīng)的點開始，反時針方向補畫個半徑無窮大的圓。

{因為：，}例5-9

一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：，，幅相曲線處于II象限，漸近線平行于實軸。由于有兩個積分環(huán)節(jié)，反時針方向補畫1/2個圓。得如圖所示幅相曲線。幅相曲線順時針包圍點一圈，則n=-1;開環(huán)傳函在右半s平面的極點數(shù)P=0。則有Z=0-2（-1）=2。因此閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：（補充）已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳函在K=10時的幅相曲線如圖所示，且開環(huán)傳函在右半s平面上無開環(huán)極點，求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，K的范圍。解：依奈氏判據(jù)，當(dāng)（-1,j0)落在A，B之間或C，O之間時為順時針包圍，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。否則不包圍，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。依奈氏曲線性質(zhì)，幅值與增益K成正比，因此，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則，或得或二、對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)利用對數(shù)幅頻特性和相頻特性判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。由對數(shù)幅頻、對數(shù)相頻特性可知,平面上的單位圓與對數(shù)幅頻特性中的0dB線相對應(yīng)，單位圓以外對應(yīng)，單位圓以內(nèi)對應(yīng)；平面上的負(fù)實軸與對數(shù)相頻特性的線相對應(yīng)。如果開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍一圈，則（）必然從上而下穿越負(fù)實軸的-1至線段一次，對應(yīng)的相頻曲線沿相角增加方向穿越線一次。這種穿伴隨著相角的增加，稱為正穿越。反之，開環(huán)頻率特性按順時針方向包圍一圈，則（）必然從下而上穿越負(fù)實軸的-1至線段一次，對應(yīng)的相頻曲線沿相角減小方向穿越線一次。這種穿伴隨著相角的減少，稱為負(fù)穿越。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：設(shè)在的范圍內(nèi)，相頻曲線正向穿越線的次數(shù)為，負(fù)向穿越線的次數(shù)為，則幅相曲線反時針包圍的圈數(shù)為。設(shè)閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)為Z，開環(huán)傳函在右半s平面上極點個數(shù)為P，則有。若Z=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。特殊情況：如果開環(huán)傳函包含有積分環(huán)節(jié)，設(shè)積分環(huán)節(jié)個數(shù)為ν，則繪制開環(huán)相頻曲線后，應(yīng)補畫一條從到的虛線。例5-11

一反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為，試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：繪制幅頻曲線：起始段斜率為-40dB/dec，在處，，在處，斜率變?yōu)?60dB/dec；繪制相頻曲線：，，。在處補畫從到虛線。由圖可知相頻曲線在范圍內(nèi)，負(fù)向穿線一次，則N=-1；又由于開環(huán)傳函在右半s平面上無開環(huán)極點，則P=0，Z=P-2N=2，因此閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上有兩個特征根（即兩個閉環(huán)極點）。5-5穩(wěn)定裕度如圖為開環(huán)幅相曲線和單位階躍響應(yīng)曲線對應(yīng)關(guān)系示意圖。當(dāng)P=0時，如果幅相曲線不包圍臨界點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；并且幅相曲線離臨界點越近，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，離臨界點越遠，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。幅相曲線與臨界點的相互位置可表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。幅相曲線與臨界點的相互位置可用兩個參量來描述：1、當(dāng)開環(huán)傳函的幅值等于1時，相應(yīng)的相角離-180°的距離；2、當(dāng)開環(huán)傳函的相角等于-180°時，相應(yīng)的幅值離1的距離；截止頻率（）：開環(huán)傳函的幅值等于1時的頻率稱為截止頻率，即有（）。

相角交界頻率（）：開環(huán)傳函的相角等于-180°時的頻率稱為相角交界頻率，即有。相角裕度（γ）：180°加開環(huán)傳函在截止頻率處的相角，即幅值裕度（h）：在相角交界頻率處（相角=-180°），開環(huán)傳函幅值的倒數(shù)，即，相應(yīng)有

對于最小相位系統(tǒng)，相角裕度大于零，幅值裕度大于1（大于0dB)時，系統(tǒng)穩(wěn)定；γ、h越大系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。γ小于0，h小于1（小于0dB)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性并求相角裕度；求當(dāng)輸入為1(t),t,t2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；解：把開環(huán)傳函化為標(biāo)準(zhǔn)形式，則有先求截止頻率，由開環(huán)傳函可得：當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，則有，并由得：由傳遞函數(shù)可得相頻特性為：得因此相角裕度由于則系統(tǒng)穩(wěn)定。由于系統(tǒng)為I型系統(tǒng)則有，，，因此當(dāng)輸入為1(t)時，當(dāng)輸入為t時，當(dāng)輸入為t2時，5-6閉環(huán)頻率特性一、解析法求系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性閉環(huán)傳函為，則求得閉環(huán)頻率特性的解析表達式為：對于單位反饋系統(tǒng)則有先求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函的解析表達式，再轉(zhuǎn)化為閉環(huán)頻率特性的解析表達式。適用于簡單系統(tǒng)。二、圖解法求系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性只考慮單位反饋系統(tǒng)情形，如果不是單位反饋系統(tǒng)，則經(jīng)等效變換把系統(tǒng)變換為一單位反饋系統(tǒng)與一個環(huán)節(jié)中聯(lián)形式。1、直接由幅相曲線求閉環(huán)頻率特性設(shè)單位反饋系統(tǒng)為開環(huán)幅相曲線如圖所示，令時，幅相曲線上的點為A點，臨界點為P點，坐標(biāo)原點為O點，可得：圖中皆為負(fù)值，并有2、等M圓和等N圓圖**（自學(xué)）3、尼柯爾斯圖線**（自學(xué)）三、帶寬頻率和帶寬帶寬頻率（）：閉環(huán)幅頻特性下降到比頻率為0時的分貝值（