馬爾科夫預(yù)測法完整版

第六章馬爾科夫預(yù)測法1第六章目錄6.1馬爾科夫鏈的基本概念6.2狀態(tài)概率的估算補(bǔ)充內(nèi)容6.3馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測方面的應(yīng)用6.4馬爾科夫預(yù)測案例26.1馬爾科夫鏈的基本概念一.狀態(tài)與狀態(tài)概率狀態(tài)：某事物在某一時(shí)間所處的狀況。如暢銷、平銷、滯銷。狀態(tài)概率：被研究對象在t時(shí)間處于狀態(tài)空間中的某一狀態(tài)，處于這一狀態(tài)的可能性。如某個(gè)時(shí)間上產(chǎn)品暢銷的可能性多大。34二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)移概率及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移是系統(tǒng)由一個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)Si到未來某時(shí)期所處的可能狀態(tài)Sj的轉(zhuǎn)變，而發(fā)生這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性被稱為轉(zhuǎn)移概率。分一次轉(zhuǎn)移和多次轉(zhuǎn)移。5二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)移概率及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣一次轉(zhuǎn)移概率矩陣P6k次轉(zhuǎn)移概率矩陣如果1次轉(zhuǎn)移概率矩陣不發(fā)生變化，有7例：S1—暢銷S2—滯銷k=1(一步轉(zhuǎn)移）S1S1P11=0.7S1S2P12=0.3S2S1P21=0.4S2S2P22=0.6K=2(二步轉(zhuǎn)移）s1s1s2s10.70.70.30.4S1S20.7×0.7+0.3×0.4=0.61

8三.馬爾科夫過程某現(xiàn)象在時(shí)間m+1時(shí)所處的狀態(tài)Sj的概率僅僅與該現(xiàn)象在時(shí)間m所處的狀態(tài)Si有關(guān)，而與時(shí)間m前所處何種狀態(tài)無關(guān)的特性成為無后效性，也稱為馬爾科夫性，具有這種特性的時(shí)間轉(zhuǎn)移和狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾科夫過程。馬爾可夫過程的時(shí)間可以是無限連續(xù)的，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，時(shí)間取離散值，在某一時(shí)間的狀態(tài)也是離散可列的，我們稱這樣的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈。它表示事物前一時(shí)期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到現(xiàn)在的狀態(tài)，由現(xiàn)在的狀態(tài)轉(zhuǎn)移為將來的狀態(tài)，一環(huán)接一環(huán)，像一根鏈條。9四、標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣與平衡向量如果馬爾可夫過程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣不發(fā)生變化，則無論基期處于什么樣的狀態(tài)，經(jīng)過多期轉(zhuǎn)移后，狀態(tài)的概率趨于一個(gè)和基期無關(guān)的并且穩(wěn)定下來的值，這稱為馬爾可夫過程的穩(wěn)定性或遍歷性。這個(gè)穩(wěn)定下來的值我們稱為平衡向量，也叫終極狀態(tài)概率。我們會(huì)在后面補(bǔ)充。106.2狀態(tài)概率的估算一.狀態(tài)概率估計(jì)116.2狀態(tài)概率的估算二.轉(zhuǎn)移概率估計(jì)要注意的是：計(jì)算一步概率時(shí)，最后一期不參加計(jì)算，因?yàn)樗鼘⑥D(zhuǎn)移到哪個(gè)狀態(tài)還不確定。12補(bǔ)充內(nèi)容（平衡向量求解）基期t=0時(shí)的狀態(tài)概率稱為初始概率，初始概率向量為，多次轉(zhuǎn)移概率矩陣為，預(yù)測穩(wěn)定下來的平衡向量。當(dāng)馬爾可夫過程達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，上一期的狀態(tài)經(jīng)過轉(zhuǎn)移之后其狀態(tài)應(yīng)該保持不變。先假設(shè)平衡狀態(tài)為則13例題:A、B、C三個(gè)廠生產(chǎn)的味精5月在某地區(qū)市場上的占有率分別為0.3、0.2、0.5，據(jù)市場調(diào)查得知，顧客的流動(dòng)情況如下表所示：轉(zhuǎn)移購買比例ＡＢＣＡ0.40.30.3Ｂ0.60.30.1Ｃ0.60.10.3試預(yù)測6月與7月三個(gè)廠味精的市場占有率，如果顧客流動(dòng)情況穩(wěn)定，那么，市場穩(wěn)定后三個(gè)廠的市場占有率情況如何？14解答：上述味精在市場上占有率的變化過程為一個(gè)馬爾可夫過程，初始狀態(tài)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣本月市場占有率15下月占有率情況本月和下月Ａ、Ｂ、Ｃ三個(gè)廠的市場占有率情況分別是54%、20%、26%和49.2%、24.8%、26%。若一步轉(zhuǎn)移概率不發(fā)生變化，假設(shè)穩(wěn)定的市場占有率情況為1617所以，市場占有率的平衡狀態(tài)是；A、B、C三個(gè)廠的市場占有率分別是50%、25%和25%。

馬爾可夫過程的平衡狀態(tài)僅與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，與初始狀態(tài)無關(guān)。18一.市場占有率預(yù)測市場競爭中，市場占有率問題具有馬爾科夫鏈的特征，因此，可以用馬爾科夫預(yù)測法來對市場占有率的發(fā)展變化進(jìn)行預(yù)測。19假設(shè)顧客在市場上對一類商品有n種選擇，它們是n個(gè)不同品牌，分別記為顧客在本期選擇了品牌的產(chǎn)品，在下一期有可能轉(zhuǎn)移購買其他同類產(chǎn)品的品牌，這一過程就構(gòu)成了馬爾科夫鏈，可用馬爾科夫原理對這n種品牌的市場占有率進(jìn)行預(yù)測。201.市場調(diào)查（1）調(diào)查目前的市場占有情況，即調(diào)查所有顧客在目前消費(fèi)該類商品時(shí)購買各種商品的比重，獲得初始分布（2）調(diào)查顧客在選擇n種品牌的流動(dòng)情況，先獲得轉(zhuǎn)移頻率矩陣，從而由頻率估算概率，獲得轉(zhuǎn)移概率矩陣212.建立數(shù)學(xué)模型通過一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P，測算出第k步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(k)3.市場預(yù)測（1）預(yù)測第k期的市場占有率22（3）預(yù)測穩(wěn)定狀態(tài)下的市場占有率，即顧客的流動(dòng)對市場占有率沒有影響，即顧客流動(dòng)過程中，各種品牌在顧客流動(dòng)的過程中爭取到的顧客和失去的顧客相互抵消。23例6-2某地區(qū)銷售的洗發(fā)水主要有三個(gè)廠家提供，分別用1,2,3來表示。在12月對2000名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，購買廠家1、廠家2、廠家3的產(chǎn)品的消費(fèi)者人數(shù)分別為1400,200和400。同時(shí)得到用戶的轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣為：24問題1、對三個(gè)廠家次年1-6月份的市場占有率進(jìn)行預(yù)測。2、試求當(dāng)市場處于均衡狀態(tài)時(shí)，各廠商的市場占有率是多少。251、先求出12月份，廠商1、2、3的市場占有率情況，得到初始分布為2、通過轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣26假設(shè)P是穩(wěn)定的，得到：1月份各廠家的市場占有率，即當(dāng)k=1時(shí)，2月份各廠家的市場占有率，即當(dāng)k=2時(shí)，272、由于概率矩陣P是標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，因此存在唯一的市場均衡點(diǎn)。因此存在

使得因此，可以求得市場均衡時(shí)，各廠商的占有率286.4馬兒科夫預(yù)測案例考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個(gè)狀態(tài)，即“豐收”，“平收”，“欠收”。記S1為“豐收”狀態(tài)，S2為“平收”狀態(tài)，S3為“欠收”狀態(tài)。表6-3給出了該地區(qū)1966-2005年期間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。29年份1966196719681969197019711972197319741975狀態(tài)S1S1S2S3S2S1S3S2S1S2年份1976197719781979198019811982198319841985狀態(tài)S3S1S2S3S1S2S1S3S3S1年份1986198719881989199019911992199319941995狀態(tài)S3S3S2S1S1S3S2S2S1S2年份1996199719981999200020012002200320042005狀態(tài)S1S3S2S1S1S2S2S3S1S230試計(jì)算：1、初始狀態(tài)概率。2、該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。3、2006-2010年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率4、終極狀態(tài)的概率311、初始狀態(tài)概率估算上表中40個(gè)記錄，有15個(gè)處于狀態(tài)S1，14個(gè)處于狀態(tài)S2,11個(gè)處于狀態(tài)S3初始狀態(tài)概率為：32（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)狀態(tài)下一步狀態(tài)當(dāng)前狀態(tài)S1S2S3S1375S2724S345233由上表，可以得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：34二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：35將2005年的農(nóng)業(yè)收成記為，因?yàn)?005年是平收狀態(tài)，因此，這是預(yù)測2006-2010年?duì)顟B(tài)概率的初始向量。若一步轉(zhuǎn)移概率具有穩(wěn)定性，那么k步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)向量為，該地區(qū)農(nóng)業(yè)在2006年的收成狀態(tài)向量36

也就是該地區(qū)農(nóng)業(yè)在2006年有53.8%的概率處于豐收狀態(tài)，15.4%的概率處于平收狀態(tài)，30.8%的概率處于欠收狀態(tài)。374、終極狀態(tài)概率預(yù)測。設(shè)終極狀態(tài)的概率為，則即即可求出38例4

公司A、B、C產(chǎn)品銷售額的市場占有率分別為50%，30%，20%。由于C公司實(shí)行了改善銷售與服務(wù)方針的經(jīng)營管理決策，使其產(chǎn)品銷售額逐期穩(wěn)定上升，而A公司卻下降。通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)三個(gè)公司間的顧客流動(dòng)情況如表所示。其中產(chǎn)品銷售周期是季度。問題：按照目前的趨勢發(fā)展下去，A公司的產(chǎn)品銷售額或客戶轉(zhuǎn)移的影響將嚴(yán)重到何種程度？更全面的，三個(gè)公司的產(chǎn)品銷售額的占有率將如何變化？

馬爾可夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測方面的應(yīng)用案例39周期1的供應(yīng)公司

公司

周期0的顧客數(shù)

A

B

C

A

5000

3500

500

1000

B

3000

300

2400

300

C

2000

100

100

1800

周期1的顧客數(shù)

——

3900

3000

3100

40周期1的供應(yīng)公司

公司

周期0的顧客數(shù)

A

B

C

A

5000

3500

500

1000

B

3000

300

2400

300

C

2000

100

100

1800

周期1的顧客數(shù)

——

3900

3000

3100

初始分布為：41周期1的供應(yīng)公司

公司

周期0的顧客數(shù)

A

B

C

A

5000

3500

500

1000

B

3000

300

2400

300

C

2000

100

100

1800

周期1的顧客數(shù)

——

3900

3000

3100

公司

A

B

C

A

3500/5000=0.7

500/5000=0.1

1000/5000=0.2

B

300/3000=0.1

2400/3000=0.8

300/3000=0.1

C

100/2000=0.05

100/2000=0.05

1800/2000=0.95

0

42未來各期的市場占有率：43未來各期的市場占有率：44未來各期的市場占有率：C——保銷政