《數(shù)字信號(hào)處理教程-MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)》第六章

第六章

數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)

1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)6.1概述6.2濾波器的信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)和解法6.3FIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)6.4IIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)6.5一些其他類(lèi)型的濾波器結(jié)構(gòu)6.6狀態(tài)變量分析法6.7各種結(jié)構(gòu)形式的比較26.1概述

任何線(xiàn)性時(shí)不變集總參數(shù)離散系統(tǒng)都可用下列三種形式之一來(lái)表述其輸入輸出關(guān)系：差分方程，卷積公式和系統(tǒng)函數(shù)。這三種方法是等價(jià)的，從任何一個(gè)都能推導(dǎo)出其它兩個(gè)。即使用同一類(lèi)表示方法，也存在著許多等價(jià)的算法結(jié)構(gòu)，濾波器的工程實(shí)現(xiàn)要用計(jì)算機(jī)的硬件或軟件。不同的算法要求不同的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，也會(huì)影響系統(tǒng)的某些實(shí)際性能。3概述濾波器實(shí)現(xiàn)中需要考慮許多問(wèn)題，如(1)。計(jì)算的效率：即完成整個(gè)濾波所需要的乘法和加法次數(shù)；(2)。需要的存儲(chǔ)量；(3)。濾波器系數(shù)的量化影響；(4)。運(yùn)算中的舍入和截?cái)嗾`差、飽和和溢出；不同的算法在滿(mǎn)足上述的要求方面是有很大差別的。在研究FFT算法時(shí)已經(jīng)看到過(guò)，同樣的DFT運(yùn)算，改變計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)提高計(jì)算效率和節(jié)省存儲(chǔ)量能起多大的作用。

46.2濾波器的信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和有向支路組成。每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)信號(hào)，有向支路表示信號(hào)流動(dòng)方向和算法。在數(shù)字信號(hào)處理中只有右圖所示的三種基本算法，即倍率、加法和單位時(shí)延。沒(méi)有輸入箭頭的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為輸入節(jié)點(diǎn)；沒(méi)有輸出箭頭節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為輸出節(jié)點(diǎn)。

5濾波器的信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)例6.2.1右圖表示一個(gè)信號(hào)流圖的實(shí)例，可以依次對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)列出方程。五個(gè)節(jié)點(diǎn)可以列出五個(gè)聯(lián)立方程：6濾波器的信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)用信號(hào)流圖可以簡(jiǎn)明地表示系統(tǒng)的運(yùn)算情況，同時(shí)也很容易列寫(xiě)它的方程。以下均用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。信號(hào)流圖中的環(huán)路，是指信號(hào)順著箭頭流的方向能回到起點(diǎn)處的整條路徑。有環(huán)路意味著存在反饋。上圖中x1-x2-x3-x4-x1,x1-x3-x4-x1和x3-x4-x3都是環(huán)路。

不同的信號(hào)流圖代表不同的運(yùn)算方法，對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，可以有很多種信號(hào)流圖與之相對(duì)應(yīng)。

7基本信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足以下條件的信號(hào)流圖，是在計(jì)算機(jī)上可實(shí)現(xiàn)的。稱(chēng)為基本信號(hào)流圖。（1）信號(hào)流圖中所有支路進(jìn)行的都是基本運(yùn)算，即支路增益是常數(shù)或者是z-1；（2）信號(hào)流圖中如果有環(huán)路，則環(huán)路中必須存在延遲支路，否則將出現(xiàn)信號(hào)xi(n)的計(jì)算要要依賴(lài)于xi(n)值的悖論狀況，是數(shù)字系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。沒(méi)有延遲支路的環(huán)路稱(chēng)為代數(shù)環(huán)，代數(shù)環(huán)是構(gòu)成系統(tǒng)時(shí)必須避免的。（3）節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。

8信號(hào)流圖方程的解法當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有環(huán)路時(shí)，只要靠代入法消去中間變量就能解出。如果系統(tǒng)內(nèi)存在環(huán)路，就要進(jìn)行等式兩端的移項(xiàng)合并，有些麻煩。當(dāng)回路較多時(shí)，那是相當(dāng)繁瑣和容易出錯(cuò)的。求解時(shí)，因變量可以用信號(hào)序列x(n)，也可以用其z變換X(z)。自變量宜用可實(shí)現(xiàn)的算子z-1。一步求解的方法有梅森公式，它利用信號(hào)流圖的拓樸關(guān)系。但計(jì)算很繁，不實(shí)用。由于應(yīng)用了MATLAB，本書(shū)作者創(chuàng)新地推出了它的計(jì)算機(jī)解法。9信號(hào)流圖的代數(shù)解法例6.2.1求圖6.2.2的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=Y(z)/U(z)。解

對(duì)(6.2.1)式進(jìn)行z變換，得到：經(jīng)過(guò)消元移項(xiàng)等代數(shù)處理，得到：

10信號(hào)流圖的計(jì)算機(jī)解法設(shè)信號(hào)流圖中有Ki個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，K個(gè)中間節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)，分別代表輸入信號(hào)ui（i=1,2,…Ki）和系統(tǒng)狀態(tài)xj（j=1,2,…K）。令q=z-1，則信號(hào)流圖中的任何節(jié)點(diǎn)變量xj可以表為輸入變量ui和和其它節(jié)點(diǎn)變量xj的線(xiàn)性組合：用矩陣表示可寫(xiě)成：

11信號(hào)流圖的計(jì)算機(jī)解法其中：X=[x1,x2,…,xK]T

為K階狀態(tài)變量列向量,U=[u1,u2,…,uKi]T

為Ki階輸入列向量，Q為K×K階的連接矩陣，P為K×Ki階的輸入矩陣。

令W=X/U為以U向量為輸入，X向量為輸出的系統(tǒng)函數(shù)，把QX移到等式左方，不難得到：

12信號(hào)流圖的計(jì)算機(jī)解法其中W為K×Ki的矩陣，也稱(chēng)傳遞矩陣。若只有一個(gè)輸入，則W為K階單列向量，表示輸入為U，輸出為X(其中含K個(gè)變量)的K個(gè)傳遞函數(shù)組成的向量。這個(gè)簡(jiǎn)明的公式就等價(jià)于信號(hào)流圖中的梅森公式。只要寫(xiě)出P和Q，任何復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞矩陣都可用這個(gè)簡(jiǎn)單的式子求得。在沒(méi)有計(jì)算工具的時(shí)候，計(jì)算(I-Q)–1涉及一個(gè)階次很高的矩陣的求逆運(yùn)算，所以雖然簡(jiǎn)明卻不好使用?，F(xiàn)在有了科學(xué)計(jì)算軟件，這就不是問(wèn)題了。

13信號(hào)流圖的計(jì)算機(jī)解法用來(lái)解此題的計(jì)算軟件必須有公式推導(dǎo)功能：

由于待求的傳遞函數(shù)中存在著一個(gè)無(wú)法賦值的符號(hào)變量q=z-1，它無(wú)法為僅會(huì)做數(shù)值運(yùn)算的軟件所接受。幸而MATLAB已經(jīng)引進(jìn)了符號(hào)推理的功能。只要在程序的開(kāi)始，規(guī)定某些變量是符號(hào)變量，系統(tǒng)就不會(huì)去追究它的值，而在運(yùn)算中始終保留這個(gè)符號(hào)。定義符號(hào)變量使用的MATLAB命令是syms。 symsqst

規(guī)定了q,s,t三個(gè)變量是符號(hào)變量。14用MATLAB解信號(hào)流圖的方法(1).使用syms命令定義q和其他符號(hào)變量；(2).由于Q矩陣中含q，它應(yīng)當(dāng)是符號(hào)矩陣。矩陣的屬性是由第一個(gè)賦值元素的屬性決定的。所以程序中給Q賦值的第一條語(yǔ)句的右端，必須含符號(hào)變量。(3).Q和P陣都有很多個(gè)元素，但不需要逐個(gè)賦值。首先應(yīng)該把非零的元素賦值，最后只要把矩陣右下角的元素賦值，矩陣中所有左上方的未賦值元素都會(huì)自動(dòng)賦零。

15用MATLAB解信號(hào)流圖的方法在利用計(jì)算機(jī)來(lái)解例題6.2.1。對(duì)初學(xué)者，應(yīng)該先列出矩陣方程：

按上面說(shuō)的步驟，用MATLAB語(yǔ)句給P,Q矩陣賦值。得出下列程序hc621。16symsq%規(guī)定q為符號(hào)變量Q(2,1)=q;Q(1,4)=-0.1;%先給含q的Q(2,1)賦值Q(3,1)=2;Q(3,2)=1;Q(3,4)=0.3;Q(4,3)=q;Q(5,3)=0.5;Q(5,4)=1;Q(5,5)=0;%給Q右下角分量賦值，P(1,1)=1;%給矩陣P賦值P(5,1)=0; %給P右下角分量賦值W=inv(eye(5)-Q)*P%按公式求X=[x1;x2;x3;x4;y]對(duì)U的系統(tǒng)函數(shù)%求以y=X(5)為輸出的系統(tǒng)函數(shù)

pretty(W(5)) 17程序運(yùn)行的結(jié)果為：這是以U為輸入，變量X=[x1;x2;x3;x4;y]為輸出的五個(gè)傳遞函數(shù)W。需要的是第五項(xiàng)W(5)。用pretty(W(5))的語(yǔ)句使它以易讀的形式顯示。

18濾波器的信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)及解法數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖實(shí)際上也是一種信號(hào)流圖。它的唯一的特殊要求在于所有的相加節(jié)點(diǎn)都限定為雙輸入相加器。如果有三個(gè)信號(hào)x1,x2和x3要相加，那就要分成兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，x1和x2在前一個(gè)節(jié)點(diǎn)相加，合成信號(hào)再在下一個(gè)節(jié)點(diǎn)與x3相加。這樣作的好處是與實(shí)際微處理器或信號(hào)處理器的硬軟件結(jié)構(gòu)相符合，有助于信號(hào)處理實(shí)用系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)。同時(shí)在結(jié)構(gòu)形式上也比較規(guī)范，一目了然，便于理論分析。它的缺點(diǎn)就是變量和方程的數(shù)目增多。196.3FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒(méi)有反饋支路，即沒(méi)有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h（n）長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H（z）和差分方程分別為：其單位脈沖響應(yīng)h（n）是有限長(zhǎng)的，按照（6.3.1）式的z反變換，h（n）表示為可見(jiàn)FIR濾波器的系數(shù)向量b(n)就等于它的脈沖響應(yīng)h(n)。20FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)本書(shū)將討論下面四種結(jié)構(gòu)：直接形式：以直接實(shí)現(xiàn)差分方程而得名。級(jí)聯(lián)形式：它把多項(xiàng)式H(z)分解成多個(gè)二階因式，然后用級(jí)聯(lián)連接。線(xiàn)性相位形式：當(dāng)FIR濾波器具有線(xiàn)性相位響應(yīng)時(shí)，根據(jù)5.5節(jié)，它的脈沖響應(yīng)具有對(duì)稱(chēng)性。因此能把倍率的計(jì)算量縮至一半。頻率采樣形式：這種結(jié)構(gòu)基于脈沖響應(yīng)h(n)的DFT，，其結(jié)果可以形成一個(gè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)。

21FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)按照H（z）或者差分方程式直接畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖如圖6.3.1所示。它可以用抽頭延遲線(xiàn)實(shí)現(xiàn)。設(shè)N＝5（即，4階FIR濾波器），則：按結(jié)構(gòu)圖可以直接寫(xiě)出：

22FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)型將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式。這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階和二階實(shí)系數(shù)因式構(gòu)成的，其中的因式都可用直接型實(shí)現(xiàn)。例6.3.1設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：畫(huà)出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。23FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)解將H(z)進(jìn)行因式分解，得到：其級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)和直接型結(jié)構(gòu)如圖6.3.2所示。24FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)H(z)的階次高于三階時(shí)，可以用tf2sos函數(shù)協(xié)助，它的含義是由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為二階環(huán)節(jié)。其調(diào)用方法為[sos,G]=tf2sos(b,a)

其中：a,b為系統(tǒng)函數(shù)的分母、分子系數(shù)向量。其每一行代表一個(gè)二階環(huán)節(jié)的分子、分母系數(shù)。對(duì)第k行，有25FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)G則是整個(gè)系統(tǒng)歸一化的增益。可以看出，這個(gè)函數(shù)是適用于IIR系統(tǒng)的，因?yàn)樗瑫r(shí)把分子分母都進(jìn)行了因式分解。使用于FIR系統(tǒng)時(shí)，只要把a(bǔ)用1代入即可。例如鍵入：[sos,G]=tf2sos([0.9622.81.5],1)，得到sos=1.00000.833301.000000 1.00001.25001.87501.000000G=0.9600系統(tǒng)函數(shù)與前面手工計(jì)算的結(jié)果相同。為：26FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)：上章指出，線(xiàn)性相位濾波器的脈沖響應(yīng)序列，因而其系數(shù)應(yīng)當(dāng)具有對(duì)稱(chēng)性?？梢允菍?duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，也可以是反對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。

若差分方程具有（6.3.10）中的對(duì)稱(chēng)脈沖響應(yīng)?？梢詫?duì)稱(chēng)項(xiàng)結(jié)合，共用系數(shù)，得到圖6.3.3表示了N為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況下實(shí)現(xiàn)上述方程的方框圖。系數(shù)和乘法都減少一半27FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)關(guān)于反對(duì)稱(chēng)脈沖響應(yīng)可導(dǎo)出類(lèi)似的算法。

線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上仍然是直接形式，它只是縮減了乘法計(jì)算量。因此，傳遞函數(shù)多項(xiàng)式的組成形式上，線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)等于直接形式。28FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)例6.3.2設(shè)FIR濾波器由下列系統(tǒng)函數(shù)給定求出并畫(huà)出它的直接形式、線(xiàn)性相位形式和級(jí)聯(lián)形式結(jié)構(gòu)。解：a.直接形式：差分方程可寫(xiě)為：直接形式結(jié)構(gòu)如圖6.3.4(a)所示。29FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)b.線(xiàn)性相位形式：差分方程可寫(xiě)為：所得結(jié)構(gòu)如圖6.3.4(b)所示。c..級(jí)聯(lián)形式：用MATLAB協(xié)助，鍵入b=[1,0,0,0,16.0625,0,0,0,1];[sos,G]=tf2sos(b,1)

程序運(yùn)行的結(jié)果為：30FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)G=1其傳遞函數(shù)應(yīng)寫(xiě)成級(jí)聯(lián)形式結(jié)構(gòu)如圖6.3.4(c)所示。31FIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)32FIR濾波器頻率樣本結(jié)構(gòu)頻率樣本結(jié)構(gòu)：由(3.5.11)式知道，F(xiàn)IR濾波器的頻率特性可由它在單位圓上的樣本進(jìn)行重構(gòu)。它們是脈沖響應(yīng)h(n)的DFT值H(k),0≤k≤N-1。用它來(lái)表示z域的傳遞函數(shù)：可以化簡(jiǎn)得到以H(k)為系數(shù)的傳遞函數(shù)：

33FIR濾波器頻率樣本結(jié)構(gòu)這是一個(gè)并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)。其系數(shù)是H(k)。雖然看起來(lái)它有分母，其實(shí)可以與分子相約，故仍是FIR濾波器。34FIR濾波器頻率樣本結(jié)構(gòu)頻率域樣本結(jié)構(gòu)有兩個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)：（1）H(ωk)=H(k)。只要調(diào)整一階網(wǎng)絡(luò)中乘法器的系數(shù)H(k），就可以有效地調(diào)整頻響特性，相當(dāng)方便。（2）對(duì)于任何N階梳狀濾波器，其N(xiāo)個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是增益H(k)不同。因而相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。

頻率樣本結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)也有兩個(gè)：缺點(diǎn)（1）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的。由于寄存器字長(zhǎng)有限，可能使零極點(diǎn)不能完全對(duì)消，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。35FIR濾波器頻率樣本結(jié)構(gòu)缺點(diǎn)(2)：H(k)和一般為復(fù)數(shù)，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。可以用合并共軛極點(diǎn)的方法來(lái)解決如下：此時(shí)實(shí)系數(shù)頻率樣本結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)寫(xiě)成：其中的二階環(huán)節(jié)在合并共軛極點(diǎn)后系數(shù)為實(shí)數(shù)：36FIR濾波器頻率樣本結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變成下圖。37頻率樣本結(jié)構(gòu)的MATLAB實(shí)現(xiàn)本書(shū)不加證明地提供了由直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為頻率樣本結(jié)構(gòu)的函數(shù)tf2fs。它按照(6.3.17)和(6.3.18)，把直接形式的h(n)轉(zhuǎn)換成頻率樣本各系數(shù)。用一個(gè)例題說(shuō)明它的用法。

例6.3.3

設(shè)h(n)={1/9,2/9,3/9,2/9,1/9}，求出并畫(huà)出頻率樣本結(jié)構(gòu)。解：只要直接調(diào)用上述tf2fs函數(shù)程序即可h=[1,2,3,2,1]/9;[C,B,A]=tf2fs(h)程序運(yùn)行的結(jié)果是：38頻率樣本結(jié)構(gòu)的MATLAB實(shí)現(xiàn)C= 0.5818 B= -0.80900.8090 0.0849 0.3090-0.3090 1.0000A= 1.0000-0.61801.0000 1.00001.61801.0000 1.0000-1.00000由于M＝5是奇數(shù)，因此只有一個(gè)一階環(huán)節(jié)。從而39頻率樣本結(jié)構(gòu)的MATLAB實(shí)現(xiàn)本例所得的頻率樣本結(jié)構(gòu)如圖6.3.7所示。

406.4IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的結(jié)構(gòu)與FIR相仿，依次為：直接形式：這種濾波器可分為滑動(dòng)平均和遞歸兩個(gè)部分（或分子和分母部分），按方程直接實(shí)現(xiàn)。根據(jù)兩部分運(yùn)算的先后，這種結(jié)構(gòu)有兩種形式：直接Ⅰ型和直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。級(jí)聯(lián)形式：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母分別因式分解成二階子系統(tǒng)。每個(gè)子系統(tǒng)都以直接形式實(shí)現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)由二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。并聯(lián)形式：把系統(tǒng)函數(shù)H(z)用部分分式展開(kāi)，合并共軛項(xiàng)，成為實(shí)系數(shù)二階子系統(tǒng)的和。整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)以子系統(tǒng)的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。41IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以直接形式實(shí)現(xiàn)差分方程（6.4.2）的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為直接結(jié)構(gòu)。設(shè)M＝N＝2，那么差分方程：的具體實(shí)現(xiàn)如圖(a)所示。叫做直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)。直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)先實(shí)現(xiàn)函數(shù)H(z)的分子，后實(shí)現(xiàn)分母部分，然后把它們級(jí)聯(lián)起來(lái)。在此結(jié)構(gòu)中需要8個(gè)延遲元件。如果先處理分母部分，再處理分子部分如圖(b)。就可拿掉一個(gè)延遲線(xiàn)。構(gòu)成了另一種標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)，叫做直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，如圖(c)所示。42(a)直接Ⅰ型:先處理H(z)的分子，后處理分母；(b)先處理H(z)的分母，后處理分子的結(jié)構(gòu)；(c).把并行的兩條延遲線(xiàn)合并，成為直接II型。43IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)形式：為了把系統(tǒng)函數(shù)H(z)寫(xiě)成實(shí)系數(shù)二階子系統(tǒng)的乘積形式。首先要把分子、分母多項(xiàng)式的根解出，然后把每一對(duì)共軛復(fù)根或任意兩個(gè)實(shí)根組合在一起。假設(shè)N為偶數(shù)，則：其中K等于N/2，Bk,1，Bk,2，Ak,1，Ak,2為實(shí)數(shù)，它們表示二階子系統(tǒng)的系數(shù)。Hk(z)叫做第k個(gè)雙二階環(huán)節(jié)(biquad)。

44IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)每一個(gè)雙二階環(huán)節(jié)Hk(z)可用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。整個(gè)濾波器由雙二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)N＝4。圖6.4.2給出此4階IIR濾波器的級(jí)聯(lián)形式結(jié)構(gòu)。45IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如果已知直接形式濾波器的系數(shù)b和a，要得到級(jí)聯(lián)形式結(jié)構(gòu)的系數(shù)b0，B,k,i和Ak,i，可以用級(jí)聯(lián)型FIR濾波器的同一函數(shù)tf2sos.m。它的調(diào)用格式為 [sos,G]=tf2sos(b,a)其中各輸入輸出變?cè)?，sos和G的含義同前。

信號(hào)通過(guò)級(jí)聯(lián)形式的濾波器后的輸出由sosfilt函數(shù)實(shí)現(xiàn)。其調(diào)用格式為： y=sosfilt(sos,x)46IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)子程序sosfilt的核心語(yǔ)句[K,L]=size(B); %分解出sos的行數(shù)，即級(jí)數(shù)KN=length(x);yk=zeros(K+1,N);%預(yù)置中間變量yk矩陣，連輸入輸出共K=1行yk(1,:)=x; %置yk(1,:)為輸入變量fori=1:1:K ％K級(jí)濾波用K次循環(huán)實(shí)現(xiàn)yk(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),yk(i,:));%k次濾波endy=b0*yk(K+1,:); ％yk中的第K+1行就是輸出y47IIR濾波器級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的算例例6.4.1濾波器的差分方程如下，求其級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。 16y(n)+12y(n-1)+2y(n-2)-4y(n-3)-y(n-4) =x(n)-3x(n-1)+11x(n-2)-27x(n-3)+18y(n-4)解：MATLAB程序hc641b=[1,-3,11,-27,18];a=[16,12,2,-4,-1]; [sos,G]=tf2sos(b,a)根據(jù)求出的sos和G，可直接寫(xiě)出：

48IIR濾波器級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的算例所得的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如下圖檢查比較兩種形式脈沖響應(yīng)的前8個(gè)樣本。formatlong;delta=impseq(0,0,7);hcas=G*sosfilt(sos,delta)%用級(jí)聯(lián)求輸出hdir=filter(b,a,delta)%直接結(jié)構(gòu)求輸出運(yùn)行結(jié)果證明，hcas和hdir是相同的。49IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)并聯(lián)形式：在這種形式中，系統(tǒng)函數(shù)H(z)用部分分式展開(kāi)為二階子系統(tǒng)的和的形式。其中K等于N/2。Bk,0、Bk,1、Ak,1、Ak,2為實(shí)數(shù)，它們是二階子系統(tǒng)的系數(shù)。等式右端的第二項(xiàng)稱(chēng)為直接項(xiàng)，它僅在M≥N時(shí)存在。50IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)K個(gè)二階子系統(tǒng)的通式為Hk(z)叫做第k階有理雙二階環(huán)節(jié)。而它們的輸出Yk(z)之和就是濾波器總的輸出Y(z)濾波器輸入X(z)對(duì)所有的雙二階環(huán)節(jié)均有效，若M≥N，X(z)也是直接項(xiàng)部分的輸入。

51IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)可用并聯(lián)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)H(z)。每個(gè)雙二階環(huán)節(jié)Hk(z)可用直接Ⅱ型實(shí)現(xiàn)。C為直接項(xiàng)，如下圖。

52IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)本書(shū)給出了由直接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)為并聯(lián)結(jié)構(gòu)的函數(shù)tf2par，作為子程序。其調(diào)用格式為： [C,B,A]=tf2par(b,a)其中所有的變量C,B,A和b,a都和(6.4.9)式中的符號(hào)相對(duì)應(yīng)。信號(hào)通過(guò)并聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器后的輸出可以用parfilt函數(shù)來(lái)計(jì)算。tf2par的反向變換函數(shù)為par2tf，調(diào)用格式為[b,a]=par2tf(C,B,A)。因?yàn)樾盘?hào)處理工具箱中沒(méi)有并聯(lián)結(jié)構(gòu)的變換函數(shù)，下面將把這些子程序的主要部分列出，讀者知道如何調(diào)用即可。53IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)例6.4.2考慮例6.4.1中的濾波器。 16y(n)+12y(n-1)+2y(n-2)-4y(n-3)-y(n-4) =x(n)-3x(n-1)+11x(n-2)-27x(n-3)+18y(n-4)求出它的并聯(lián)形式。解：MATLAB程序hc642b=[1,-3,11,-27,18];a=[16,12,2,-4,-1]; [C,B,A]=tf2par(b,a) %求并聯(lián)結(jié)構(gòu)的參數(shù) 按程序算出的A,B,C，補(bǔ)入結(jié)構(gòu)圖，可得下圖：54IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)55IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)在并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)共軛極點(diǎn)，因此調(diào)整極點(diǎn)位置方便，但調(diào)整零點(diǎn)位置不如級(jí)聯(lián)型方便。另外，各個(gè)基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運(yùn)算誤差互不影響，不像直接型和級(jí)聯(lián)型那樣有誤差積累。因此，并聯(lián)形式對(duì)運(yùn)算誤差的敏感性最小。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，如果用硬件實(shí)現(xiàn)，可同時(shí)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級(jí)聯(lián)型比較，可能實(shí)現(xiàn)最高的處理速度。56IIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)算例例6.4.3考察如圖6.4.6所示的方框圖。這個(gè)濾波器結(jié)構(gòu)中包括直接、級(jí)聯(lián)、并聯(lián)形式的組合，現(xiàn)要求求出這個(gè)系統(tǒng)的總特性，分別表為直接、級(jí)聯(lián)和并聯(lián)三種結(jié)構(gòu)形式。

解：這個(gè)結(jié)構(gòu)包含兩個(gè)并聯(lián)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式。第一個(gè)并聯(lián)子系統(tǒng)包含兩個(gè)雙二階環(huán)節(jié)，第二個(gè)子系統(tǒng)包含三個(gè)并聯(lián)的雙二階環(huán)節(jié)。先用par2tf函數(shù)把每個(gè)并聯(lián)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成直接形式，再把它們級(jí)聯(lián)起來(lái)。然后分別對(duì)分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行卷積，得到總的直接形式?？偟募?jí)聯(lián)和并聯(lián)形式則可由直接形式導(dǎo)出。

57IIR濾波器基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)58例6.4.3的解題程序C=0;B1=[2,4;3,1];%兩個(gè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的分子參數(shù)A1=[1,1,0.9;1,0.4,-0.4]; %分母部分參數(shù)B2=[0.5,0.7;1.5,2.5;0.8,1];%三個(gè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的分子參數(shù)A2=[1,-1,0.8;1,0.5,0.5;1,0,-0.5]; %其分母部分參數(shù)[b1,a1]=par2tf(C,B1,A1);%兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)[b2,a2]=par2tf(C,B2,A2);%三個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)的直接結(jié)b=conv(b1,b2) %總的直接結(jié)構(gòu)的分子系數(shù)a=conv(a1,a2) %總的直接結(jié)構(gòu)的分母系數(shù)[sos,b0]=tf2sos(b,a) %總的級(jí)聯(lián)形式[C,Bp,Ap]=tf2par(b,a) %總的并聯(lián)形式

59例6.4.3的解題程序根據(jù)計(jì)算的數(shù)字結(jié)果a和b，可以寫(xiě)出系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)；根據(jù)計(jì)算的數(shù)字結(jié)果sos和b0，可以寫(xiě)出系統(tǒng)的二階級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)；根據(jù)計(jì)算的數(shù)字結(jié)果C,Bp和Ap，可以寫(xiě)出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)；這些工作請(qǐng)讀者自行完成。606.5其它類(lèi)型的濾波器結(jié)構(gòu)

理論上說(shuō)，為了實(shí)現(xiàn)同一種傳遞函數(shù)，可以有無(wú)數(shù)種結(jié)構(gòu)形式。選擇的依據(jù)，主要是對(duì)參數(shù)調(diào)整方便和參數(shù)穩(wěn)定的需要。一是希望用最少的參數(shù)設(shè)定設(shè)計(jì)者所關(guān)心系統(tǒng)的指標(biāo)，而不要影響其它指標(biāo)；二是希望因?yàn)V波器參數(shù)量化造成的誤差對(duì)系統(tǒng)指標(biāo)的影響降低到最小。

在課程中我們將使讀者掌握普遍性的方法，重點(diǎn)就是信號(hào)流圖解析法和狀態(tài)空間法。這兩種方法與計(jì)算機(jī)的結(jié)合大大增強(qiáng)了它們的功能，可以方便地解決各種濾波器的計(jì)算問(wèn)題。

61其它類(lèi)型的濾波器結(jié)構(gòu)格型(Lattice)濾波器格型濾波器廣泛應(yīng)用于數(shù)字語(yǔ)音處理和自適應(yīng)濾波器實(shí)現(xiàn)中。在這些應(yīng)用中，它比其他FIR或IIR濾波器結(jié)構(gòu)更優(yōu)越。因?yàn)樵谡Z(yǔ)音分析和語(yǔ)音合成中，它可用較少數(shù)目的系數(shù)為較大數(shù)目的諧振峰實(shí)時(shí)建模。描述FIR濾波器的格型濾波器是全零點(diǎn)格型，而描述IIR濾波器的是格型梯形結(jié)構(gòu)。

62格型濾波器結(jié)構(gòu)全零點(diǎn)格型濾波器結(jié)構(gòu)如下圖所示：它有M-1個(gè)參數(shù)Km(m=1,2,…,M-1)，稱(chēng)為反射系數(shù)。這些系數(shù)與直接結(jié)構(gòu)系數(shù)之間的關(guān)系比較復(fù)雜，書(shū)上的(6.5.5)給出了遞推的公式。由于采用了MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算，就不必看懂和使用這些公式，直接調(diào)用有關(guān)的子程序即可。63格型濾波器結(jié)構(gòu)濾波器系數(shù)Km可用遞歸算法由系數(shù)b(n)得到：

這個(gè)遞歸算法仍然是非常麻煩的。64格型濾波器結(jié)構(gòu)MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了tf2latc函數(shù)，只要知道FIR濾波器的直接結(jié)構(gòu)系數(shù)向量b，就可以求出格型濾波器的反射系數(shù)向量K，規(guī)定向量b的首項(xiàng)必須歸一化為1，故應(yīng)輸入 K=tf2latc(b/b(1)) MATLAB也提供了它的逆函數(shù)，從格型濾波器反射系數(shù)K求出直接結(jié)構(gòu)系數(shù)向量b。其語(yǔ)句為

b=latc2tf(K) MATLAB也提供了信號(hào)x通過(guò)格型濾波器濾波后輸出y的計(jì)算函數(shù)latcfilt。調(diào)用方法為

y=latcfilt(K,x)65格型濾波器結(jié)構(gòu)例6..5.1FIR濾波器由下面的差分方程給定求出它的格型形式。解：MATLAB程序hc651b=[1,13/24,5/8,1/3];%b必須歸一化K=tf2latc(b)%計(jì)算格型濾波器反射系數(shù)其他語(yǔ)句用來(lái)檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。程序運(yùn)行結(jié)果為：K=0.25000.50000.333366格型濾波器結(jié)構(gòu)本例的直接形式和格型形式如下圖所示。

67格型濾波器結(jié)構(gòu)全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定

顯然，它是FIR格型結(jié)構(gòu)的逆系統(tǒng)。這個(gè)N階IIR濾波器具有如圖所示的N級(jí)格型結(jié)構(gòu)。68格型濾波器結(jié)構(gòu)格型結(jié)構(gòu)的參數(shù)Km(m=1,2,....,N-1)，是全極點(diǎn)格型的反射系數(shù)，除了K0=1外，其余各系數(shù)可通過(guò)（6.5.5）式遞推得到。既然，IIR濾波器系數(shù)的遞推式不變。因此仍可使用MATLAB中的tf2latc函數(shù)。也可使用latc2tf函數(shù)把格型系數(shù)Km轉(zhuǎn)換成直接形式系數(shù)a(m)。

69格型濾波器結(jié)構(gòu)例6.5.2全極點(diǎn)IIR濾波器由下式給出：求出它的格型結(jié)構(gòu)。解：MATLAB程序a=[1,13/24,5/8,1/3];K=tf2latc(a)得到K=0.25000.50000.3333IIR濾波器的格型形式和直接形式如下圖所示。

70格型濾波器結(jié)構(gòu)71格型濾波器結(jié)構(gòu)假定IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為為構(gòu)造一個(gè)格型結(jié)構(gòu)，首先根據(jù)（6.5.9）的分母，以系數(shù)Km實(shí)現(xiàn)全極點(diǎn)格型，如圖6.5.3。然后，增加一個(gè)梯形部分，把輸出y(n)看作gm(n)的加權(quán)線(xiàn)性組合。

72格型濾波器結(jié)構(gòu)其中確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子部分，稱(chēng)為梯形系數(shù)。最后形成的格型梯形結(jié)構(gòu)如下。

73格型濾波器結(jié)構(gòu)格型梯形結(jié)構(gòu)參數(shù)與傳遞函數(shù)系數(shù)向量之間的關(guān)系仍可由tf2latc函數(shù)求得。其調(diào)用格式為

[K,C]=tf2latc(b,a)例6.5.3把下面含零極點(diǎn)的IIR濾波器轉(zhuǎn)換為格型梯形結(jié)構(gòu)

解：MATLAB程序?yàn)椋?b=[1,2,2,1];a=[1,13/24,5/8,1/3]; [K,C]=tf2latc(b,a)74格型濾波器結(jié)構(gòu)所得的直接形式和格型梯形結(jié)構(gòu)如下圖所示。

75用MATLAB解格型濾波器信號(hào)流圖法是一種普遍的方法，現(xiàn)在用格型濾波器為例，再一次用它求解下面的例6.5.7。設(shè)例中的參數(shù)已給定數(shù)值如下：k0=1,k1=1/4,k2=1/2,k3=1/3, C0=-0.2,C1=0.8,C2=1.5,C3=1。76用MATLAB解格型濾波器解：從圖6.5.7可以列出信號(hào)流圖方程：x1=u-k3x4;x2=x1;x3=k3x2+x4;x4=qx7;x5=x2-k2x8;x6=x5;x7=k2x6+x8;x8=qx11;x9=x6-k1x12;x10=x9;x11=k1x10+x12;x4=qx10;x13=y=C0x12+C1x11+C2x7+C3x3為了節(jié)省篇幅，不必列出Q和P的矩陣形式，可以按其下標(biāo)規(guī)律直接進(jìn)行元素賦值。

77用MATLAB解格型濾波器k1=1/4;k2=1/2;k3=1/3;k0=1;%系數(shù)C0=-0.2;C1=0.8;C2=1.5;C3=1;Q(4,7)=q;%Q的第一賦值元素為符號(hào)變量 ….…. %給Q矩陣各元素的賦值語(yǔ)句略去……….%給右下角元素賦值，使未賦值元素全為零Q(13,13)=0;P(1,1)=k0;P(13,1)=0; W=inv(eye(size(Q))-Q)*P %方程解pretty(W(13))%美觀(guān)顯示W(wǎng)中第13行

78用MATLAB解格型濾波器程序運(yùn)行后的結(jié)果為：將q=z-1代入，按z的降冪排列，可得：796.6狀態(tài)變量分析法狀態(tài)變量分析法用狀態(tài)方程和輸出方程兩個(gè)矩陣方程描述系統(tǒng)，狀態(tài)方程把系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量和輸入信號(hào)聯(lián)系起來(lái)；而輸出方程則把輸出信號(hào)和狀態(tài)變量聯(lián)系起來(lái)。狀態(tài)變量只取信號(hào)流圖中的少量節(jié)點(diǎn)變量。要求它們之間必須線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即任何一個(gè)狀態(tài)變量不能由其它狀態(tài)變量以線(xiàn)性組合的方式構(gòu)成。在濾波器的三個(gè)基本組成元件中，倍率器和相加器都屬于線(xiàn)性運(yùn)算，只有延遲器不屬于線(xiàn)性組合運(yùn)算。所以系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中，狀態(tài)變量的數(shù)目也就等于延遲器數(shù)目?？梢园衙總€(gè)遲延環(huán)節(jié)的輸出變量作為狀態(tài)變量。

80狀態(tài)變量分析法

以每個(gè)狀態(tài)變量為主體可以列寫(xiě)出一個(gè)狀態(tài)方程，若有N個(gè)狀態(tài)變量，就可以列出N個(gè)狀態(tài)方程，構(gòu)成N階狀態(tài)空間方程組。輸出變量既然是狀態(tài)變量的線(xiàn)性組合，所以一定能用狀態(tài)變量的線(xiàn)性方程來(lái)表示，稱(chēng)為輸出方程。習(xí)慣上狀態(tài)變量是用xi(i=1,2,…,N)表示，u(n)為輸入變量，y(n)是輸出變量。

以四階IIR直接型濾波器為例說(shuō)明它的狀態(tài)方程列寫(xiě)方法。其差分方程為81狀態(tài)變量分析法82狀態(tài)變量分析法系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖用直接II型表示。其中在四個(gè)遲延器后的變量分別為x1(n),x2(n),x3(n)和x4(n)，選它們?yōu)榇讼到y(tǒng)的四個(gè)狀態(tài)變量。在各個(gè)遲延器前的變量是x1(n+1),x2(n+1),x3(n+1)和x4(n+1)。根據(jù)信號(hào)流圖節(jié)點(diǎn)方程，它們可以用狀態(tài)變量的線(xiàn)性組合來(lái)表示。得到狀態(tài)方程：83狀態(tài)變量分析法輸出方程也可從圖中得到，把x(n+1)代換掉，整理成狀態(tài)變量的線(xiàn)性組合，可得得到輸出方程的最后形式：

84狀態(tài)變量分析法系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。用矩陣表示為

這就符合差分狀態(tài)方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式：

85狀態(tài)變量分析法狀態(tài)方程輸出方程A,B,C,D是系統(tǒng)狀態(tài)方程組的基本系數(shù)矩陣。知道這四個(gè)系數(shù)矩陣，系統(tǒng)的性能就唯一地確定了。如果系統(tǒng)有N個(gè)延遲環(huán)節(jié)，因而有N個(gè)狀態(tài)變量，就稱(chēng)為N維的。若它有K個(gè)輸出變量，L個(gè)輸入變量，則變量X是N×1向量，Y是K×1向量，U是L×1向量，而系數(shù)矩陣A是N×N階的，B是N×L階的，C是K×N階的，D是K×L階的。

86狀態(tài)變量分析法由狀態(tài)方程的四個(gè)參數(shù)矩陣很容易求出等價(jià)的其它形式結(jié)構(gòu)的參數(shù)，首先推導(dǎo)狀態(tài)空間的輸入輸出關(guān)系式，將它變換為傳遞函數(shù)的公式。

用z變換算子表示狀態(tài)方程組，可以寫(xiě)出 X(n+1)=zX(n)=AX(n)+BU(n)，移項(xiàng)得到： (zI-A)X(n)=BU(n)對(duì)方程兩端變量作z變換，移項(xiàng)得87狀態(tài)變量分析法因?yàn)閭鬟f函數(shù)H(z)是輸入輸出的z變換之比，將輸出方程(6.6.5)代入，可以得到：得到H(z)以后，當(dāng)然就很容易得到零極增益或極點(diǎn)留數(shù)等表示式。由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間參數(shù)矩陣的逆運(yùn)算不是唯一的。因?yàn)橥粋€(gè)系統(tǒng)，選擇的狀態(tài)變量不同，就會(huì)得出不同的狀態(tài)方程，因而具有不同的系數(shù)矩陣。

88狀態(tài)變量分析法MATLAB提供了各種形式的系統(tǒng)參數(shù)之間的變換關(guān)系，表6.6.1把它們歸納在一起。這可以很大地方便讀者進(jìn)行濾波器參數(shù)的變換。要特別注意這個(gè)表概括了連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的變換，所以輸入變?cè)囊饬x在兩種情況下可能不同。例如傳遞函數(shù)的系數(shù)向量a和b在連續(xù)系統(tǒng)是用正冪排列，在離散系統(tǒng)則用負(fù)冪排列。在具體使用某個(gè)函數(shù)時(shí)，建議讀者還是要用help命令閱讀其使用方法和輸入輸出變?cè)亩x，以免造成錯(cuò)誤。89線(xiàn)性系統(tǒng)系數(shù)變換表傳遞函數(shù)b,a狀態(tài)空間A,B,C,D

零極增益z，p，k

部分分式r，p，h

傳遞函數(shù)b,atf2sstf2zproots

residueresiduez

狀態(tài)空間A,B,C,D

ss2tfss2ssss2zp零極增益z，p，k

zp2tfpoly

zp2ss

部分分式r，p，h

residueresiduez

90信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系（1）信號(hào)流圖把系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的全部變量都包括在方程中，方程的數(shù)目很多。狀態(tài)空間方程中的變量是經(jīng)過(guò)挑選的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的部分，因此變量數(shù)和方程數(shù)都大大減少。（2）信號(hào)流圖的左端是各個(gè)變量的當(dāng)前值，把方程右端的延遲算子q=z–1當(dāng)作乘子看待。狀態(tài)空間方程的左端是狀態(tài)變量的未來(lái)值，故時(shí)移算子z集中在方程的左端。而在方程的右端則是狀態(tài)變量的當(dāng)前值。因此可以根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)變量計(jì)算下一時(shí)刻的狀態(tài)變量。反映了一種遞推關(guān)系，便于編寫(xiě)遞推程序。91信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系（3).如果結(jié)構(gòu)圖中出現(xiàn)了沒(méi)有遲延環(huán)節(jié)的環(huán)路(也稱(chēng)為代數(shù)環(huán))，就找不到變量xi(n+1)，破壞了遞推的可能。因而會(huì)出現(xiàn)列不出狀態(tài)方程的狀況，信號(hào)流圖則沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題。（4).用狀態(tài)方程要用手工做許多變量代換推導(dǎo)工作，比較麻煩，并容易出錯(cuò)；信號(hào)流圖方程組則是非常直接的，只要按流圖列寫(xiě)了方程，在填寫(xiě)聯(lián)接矩陣Q時(shí)不出錯(cuò)誤，其它的計(jì)算完全由計(jì)算機(jī)來(lái)完成，既簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確。在實(shí)用中要根據(jù)任務(wù)的需要來(lái)選擇方法。

92信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系例6.6.1正余弦序列產(chǎn)生器 濾波器的極點(diǎn)必須配置在單位圓的內(nèi)部，以保證它們的穩(wěn)定性和暫態(tài)過(guò)程的盡快衰減。如果把極點(diǎn)配置到單位圓的圓周上，那末濾波器會(huì)產(chǎn)生持續(xù)的固定頻率的振蕩，濾波器就變成了振蕩器。利用這個(gè)特點(diǎn)，可以構(gòu)成正余弦序列的產(chǎn)生器。圖6.6.1為一個(gè)數(shù)字正余弦信號(hào)發(fā)生器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。分別用信號(hào)流圖方程組和狀態(tài)空間方程組分析此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，證明它在脈沖激勵(lì)u(n)=δ(n)下能產(chǎn)生持續(xù)的正余弦信號(hào)。

93信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系94信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系解：按信號(hào)流圖，可以列出系統(tǒng)的方程組：

95信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系寫(xiě)成矩陣形式：96信號(hào)流圖與狀態(tài)方程的關(guān)系按此矩陣，寫(xiě)出MATLAB程序hc661symsqw0 Q(2,1)=q;Q(1,4)=1;Q(3,2)=cos(w0); Q(4,3)=2;Q(4,5)=-1; Q(5,2)=q;Q(6,2)=sin(w0); Q(7,1)=1;Q(7,3)=-1;Q(7,7)=0; P(1,1)=1;