概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)C的習(xí)題集-計(jì)算題

.13/13一、概率公式的題目1、已知求解：2、已知求解：。3、已知隨機(jī)變量,即有概率分布律,并記事件。求：〔1；〔2；〔3。解：〔1；〔2〔35、為了防止意外,在礦內(nèi)同時(shí)設(shè)兩種報(bào)警系統(tǒng),每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),其有效的概率系統(tǒng)為0.92,系統(tǒng)為0.93,在失靈的條件下,有效的概率為0.85,求：〔1發(fā)生意外時(shí),這兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；〔2失靈的條件下,有效的概率。解：設(shè)"系統(tǒng)有效","系統(tǒng)有效",,6、由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知,某一地區(qū)在4月份下雨〔記作事件的概率為,刮風(fēng)〔記作事件的概率為,既刮風(fēng)又下雨的概率為,求。解：；。7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人,此人恰為色盲,問(wèn)此人是男人的概率〔假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半.[解]設(shè)A={此人是男人},B={此人是色盲},則由貝葉斯公式8.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來(lái),接收站收到時(shí),A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A,試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？[解]設(shè)A={原發(fā)信息是A},則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A},則={收到信息是B}由貝葉斯公式,得9.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品,檢查產(chǎn)品時(shí),一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02,一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.[解]設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品},B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得10.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊,設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中,則飛機(jī)一定被擊落,求：飛機(jī)被擊落的概率.[解]設(shè)A={飛機(jī)被擊落},Bi={恰有i人擊中飛機(jī)},i=0,1,2,3由全概率公式,得=<0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7>0.2+<0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7>0.6+0.4×0.5×0.7二、已知密度〔函數(shù)求概率的題目1、某批晶體管的使用壽命X<小時(shí)>的密度函數(shù),任取其中3只,求使用最初150小時(shí)內(nèi),無(wú)一晶體管損壞的概率。解：任一晶體管使用壽命超過(guò)150小時(shí)的概率為設(shè)Y為任取的5只晶體管中使用壽命超過(guò)150小時(shí)的晶體管數(shù),則.故有2、某城市每天耗電量不超過(guò)一百萬(wàn)千瓦小時(shí),該城市每天耗電率〔即每天耗電量/百萬(wàn)瓦小時(shí)是一個(gè)隨機(jī)變量X,它的分布密度為,若每天供電量為80萬(wàn)千瓦小時(shí),求任一天供電量不夠需要的概率？解：每天供電量80萬(wàn)千瓦小時(shí),所以供給耗電率為：80萬(wàn)千瓦小時(shí)/百分千瓦小時(shí)=0.8,供電量不夠需要即實(shí)際耗電率大于供給耗電率。所以。令Y表示"任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)"。則,三、分布函數(shù)、密度函數(shù)的題目1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,<1>求系數(shù)A,B；<2>求；<3>求X的分布密度。解：〔1由F<x>在處的右連續(xù)性知解之得〔2〔3因?yàn)?則2設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求：常數(shù)；；的密度函數(shù)。解：〔1由分布函數(shù)的右連續(xù)性知：,所以；〔2；〔3。3設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求：<1>常數(shù)A,B；<2>；<3>的密度函數(shù)。解：〔1由分布函數(shù)的右連續(xù)性及性質(zhì)知：,所以；〔2；〔3。5隨機(jī)變量的概率密度為；求的概率密度．、解：分別記X,Y的分布函數(shù)為FX<x>,FY<y>由于y=x2≥0,故當(dāng)y≤0時(shí),FY<y>=0當(dāng)y=x2>0時(shí),有FY<y>=P<Y≤y>=P<X2≤y>=P<-≤X≤>=將FY<y>關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),即得y的概率密度為7〔12分設(shè)A、B為隨機(jī)事件,且；令求1、二維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率分布；2、判定X與Y是否相互獨(dú)立解：XYXY0101因?yàn)?則X與Y不相互獨(dú)立………12分8維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03〔1求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；〔2X與Y是否相互獨(dú)立？[解]〔1X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38<2>因故X與Y不獨(dú)立.9設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律為XY121b2a3⑴求應(yīng)滿足的條件；⑵若X與Y相互獨(dú)立,求a,b的值.[思路]先利用聯(lián)合分布律的性質(zhì)確定a,b應(yīng)滿足的條件,再利用獨(dú)立性的定義來(lái)求出a與b.[解]⑴因?yàn)?所以因此⑵由于X與Y相互獨(dú)立,即對(duì)所有有于是解得或同理解得或再由知[解畢][技巧]由于X與Y的獨(dú)立性,故對(duì)所有的應(yīng)有因此,我們可在聯(lián)合分布律表中找到幾個(gè)比較容易計(jì)算的值來(lái)分別確定分布律中的參數(shù),例如而可求得又而求得這種參數(shù)的確定方式,需要讀者熟練掌握.10、變量X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空間處：XY1[思路]利用邊緣分布律的求法及獨(dú)立性來(lái)進(jìn)行,例如,從求得再利用獨(dú)立性知從而知等等.[解]利用以及與獨(dú)立性.求解空格內(nèi)的數(shù)值,故即又由可得反復(fù)運(yùn)用上列公式,可求得將算得的數(shù)值填入表中的空格內(nèi),即得XY112、隨機(jī)變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]13維隨機(jī)變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]16知隨機(jī)變量和聯(lián)合概率密度為求⑴條件密度及[解]⑴由于X的邊緣密度為同理,有故當(dāng)時(shí),>0,且從而,在條件下,X的條件密度為同樣可得,在條件下,Y的條件密度為17、〔12分隨機(jī)變量和均服從區(qū)間[0,2]上的均勻分布且相互獨(dú)立．1．寫出二維隨機(jī)變量〔的邊緣概率密度和聯(lián)合概率密度．2．求．解：<1>由題意得：又∵X,Y相互獨(dú)立∴f<x,y>=fX<x>fY<y>=<2>==四、正態(tài)分布、中心極限定理、1、調(diào)查某地方考生的外語(yǔ)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%。試求：〔1考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率；〔2該地外語(yǔ)考試的及格率；〔3若已知第三名的成績(jī)是96分,求不及格的人數(shù)。〔,解：依題意,<1><2><3>設(shè)全班人數(shù)為n,由<2>知不及格率為0.1587,則,則不及格人數(shù)為2、某高校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布,如果85分以上為"優(yōu)秀",問(wèn)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?優(yōu)秀"的考生大致占總?cè)藬?shù)的百分之幾。解：依題意,,85分以上學(xué)生為優(yōu)秀,則所以優(yōu)秀學(xué)生為2.28%。4、公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的,設(shè)男子的身高,問(wèn)車門的高度應(yīng)如何確定？〔解：設(shè)車門的高度為厘米,則,所以。即車門的高度至少要厘米。5、公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的,設(shè)男子的身高,問(wèn)車門的高度應(yīng)如何確定？<>解：設(shè)車門的高度為厘米,則,所以。即車門的高度至少要厘米。7.假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%,問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？[解]令而至少要生產(chǎn)n件,則i=1,2,…,n,且X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布,p=P{Xi=1}=0.8.,由中心極限定理,則n較大時(shí),二項(xiàng)分布可近似的看成正態(tài)分布,即,或,而n件產(chǎn)品的合格品率=現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.10某保險(xiǎn)公司經(jīng)多年的資料統(tǒng)計(jì)表明,在索賠戶中被盜戶占20％,在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠數(shù)為隨機(jī)變量寫出的概率分布；利用中心極限定理,求被盜德索賠戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.[解]〔1據(jù)題意可知,100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù),即的分布律為N較大時(shí),二項(xiàng)分布可近似的看成服從正態(tài)分布〔2由利用德莫佛－拉普拉斯定理知[解畢][技巧]德莫佛－拉普拉斯定理在實(shí)際中由廣泛的應(yīng)用,運(yùn)用此定理計(jì)算概率近似值時(shí),其關(guān)鍵是："標(biāo)準(zhǔn)化"和"正態(tài)近似",當(dāng)越大時(shí),所得得近似值越精確.11、一大批種子,其中良種占1/6,現(xiàn)從中任取6000粒種子,試分別用切比雪夫不等式和用中心極限定理計(jì)算這6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.01的概率.[解]設(shè)隨機(jī)變量表示所取6000粒種子中良種的粒數(shù),由題意可知,,于是要估計(jì)的概率為相當(dāng)于在切比雪夫不等式中取于是由切比雪夫不等式可得由德莫佛－拉普拉斯中心極限定理,二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似。于是所求概率為[解畢][寓意]從本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685,而由中心極限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.從而可知,由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的,但由于它的要求較低,只需知道的期望與方差,因而在理論上由許多應(yīng)用.五、數(shù)學(xué)期望、方差的題目設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為：,求：解：所以5、已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,對(duì)獨(dú)立觀察3次,用表示觀察值大于的次數(shù)。求：〔1的分布律；〔2的分布函數(shù)；〔3解：令〔1的分布律為：〔2；〔31.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E〔X,E〔X2,E〔2X+3.[解]<1><2><3>8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f〔x=求E〔X,D〔X.[解]故9表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊中命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,求.[解]由題意知于是由可推知10、服從參數(shù)的指數(shù)分布,求.[解]由題設(shè)知,的密度函數(shù)為且,又因?yàn)閺亩鳾解畢][寓意]本題的目的是考查常見分布的分布密度〔或分布律以及它們的數(shù)字特征,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法.11、設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立,且服從均值為1,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布,而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).[思路]此題看上去好像與數(shù)字特征無(wú)多大聯(lián)系,但由于和相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,所以作為的線性組合也服從正態(tài)分布.故只需求和,則的概率密度函數(shù)就唯一確定了.[解]由題設(shè)知,.從而由期望和方差的性質(zhì)得又因是的線性函數(shù),且是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量,故也為正態(tài)隨機(jī)變量,又因正態(tài)分布完全由其期望和方差確定,故知,于是,的概率密度為[解畢][寓意]本題主要考查二點(diǎn)內(nèi)容,一是獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布；其二是正態(tài)分布完全由其期望和方差決定.13二維離散隨機(jī)變量的分布列為XY-101-100求：,并問(wèn)與是否獨(dú)立,為什么？[解]與的邊緣分布列分別為X-