2023年考研數(shù)學二試題及答案

2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題〔此題共5小題，每題3分，總分值15分．把答案填在題中橫線上．〕〔1〕＝______．【答案】【考點】洛必達法那么【難易度】★★【詳解】解析：方法一：方法二：使用洛必達法那么計算.〔2〕設函數(shù)由方程所確定，那么曲線在點處的法線方程為______．【答案】【考點】隱函數(shù)的導數(shù)、平面曲線的法線【難易度】★★【詳解】解析：在等式兩邊對x求導,得將代入上式,得故所求法線方程為即x?2y+2=0.＝_______．【答案】【考點】定積分的換元法【難易度】★★【詳解】解析：由題干可知，積分區(qū)間是對稱區(qū)間，利用被積函數(shù)的奇偶性可以簡化計算.在區(qū)間上,是奇函數(shù),是偶函數(shù),故過點且滿足關系式的曲線方程為______．【答案】【考點】一階線性微分方程【難易度】★★【詳解】解析：方法一:原方程可改寫為兩邊直接積分,得又由解得故所求曲線方程為：方法二:將原方程寫成一階線性方程的標準形式解得又由解得故曲線方程為：設方程有無窮多個解，那么a＝______．【答案】【考點】非齊次線性方程組解的判定【難易度】★★【詳解】解析：方法一:利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形,有可見,只有當a=?2時才有秩對應方程組有無窮多個解.方法二:當系數(shù)矩陣的行列式不為零時,方程組有唯一解,因此滿足題設條件的a一定使系數(shù)行列式為零,即有解得或.由于答案有兩個,應將其帶回原方程進行檢驗.顯然,當時,原方程無解,因此只能是.二、選擇題〔此題共5小題，每題3分，總分值15分．每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)．〕〔1〕設那么等于〔〕〔A〕0． 〔B〕1．〔C〕 〔D〕【答案】B【考點】復合函數(shù)【難易度】★【詳解】此題涉及到的主要知識點：復合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域是包含于外層函數(shù)的定義域。解析：由題易知，所以，，選B.〔2〕設當時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，那么正整數(shù)等于〔〕〔A〕1． 〔B〕2． 〔C〕3． 〔D〕4．【答案】B【考點】無窮小量的比擬【難易度】★★【詳解】解析：由題易知:〔3〕曲線的拐點個數(shù)為〔〕〔A〕0． 〔B〕1． 〔C〕2． 〔D〕3．【答案】C【考點】函數(shù)圖形的拐點【難易度】★★【詳解】解析：由得，或，帶入，故有兩個拐點.〔4〕函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導數(shù)，嚴格單調(diào)減少，且，那么〔〕〔A〕在和內(nèi)均有．〔B〕在和內(nèi)均有．〔C〕在內(nèi)，，在內(nèi)，．〔D〕在內(nèi)，，在內(nèi)，．【答案】A【考點】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】★★★【詳解】解析：令，那么，因為在區(qū)間上，嚴格單調(diào)減少，所以當時，，單調(diào)遞增，；當時，，單調(diào)遞減，；故在和內(nèi)均有，即.〔5〕設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，它的圖形如下列圖所示，那么其導函數(shù)的圖形為〔〕【答案】D【考點】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】★★★【詳解】解析：由圖可知有兩個極值點，橫坐標分別記作，故在且僅在這兩處的值為，應選D。其中，當時，先增后減再增，故先正再負再正，進一步排除B.三、〔此題總分值6分〕求【考點】不定積分的第二類換元法【難易度】★★★【詳解】解析：設那么原式四、〔此題總分值7分〕求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點并指出其類型．【考點】兩個重要極限、函數(shù)間斷點的類型【難易度】★★★【詳解】解析：由此表達式知x＝0及x＝k〔k＝±1，±2，…〕都是f〔x〕的間斷點．由于，所以x＝0是f〔x〕的可去〔或第一類〕間斷點；而x＝k〔k＝±1，±2，…〕均為第二類〔或無窮〕間斷點．五、〔此題總分值7分〕設是拋物線上任一點處的曲率半徑，是該拋物線上介于點與之間的弧長，計算的值．〔在直角坐標系下曲率公式為【考點】曲率半徑、定積分的幾何應用—平面曲線的弧長、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)【難易度】★★★【詳解】解析：拋物線在點處的曲率半徑拋物線上的弧長故因此六、〔此題總分值7分〕設函數(shù)在上可導，，且其反函數(shù)為．假設求．【考點】積分上限的函數(shù)及其導數(shù)、一階線性微分方程【難易度】★★★【詳解】此題涉及到的主要知識點：解析：等式兩邊對x求導得：，又因為是的反函數(shù)，故，所以有又因為在處連續(xù)，由得故.七、〔此題總分值7分〕設函數(shù)，滿足，且，，求【考點】自由項為指數(shù)函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、定積分的分部積分法【難易度】★★★★【詳解】解析：因為，所以其對應的齊次微分方程為特征方程為，所以齊次微分方程的通解為設非齊次微分方程的特解為，那么代入微分方程得，所以非齊次微分方程的通解為，又,,得,故求積分：.八、〔此題總分值9分〕設是一條平面曲線，其上任意一點到坐標原點的距離恒等于該點處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過點〔1〕試求曲線的方程；〔2〕求位于第一象限局部的一條切線，使該切線與以及兩坐標軸所圍圖形的面積最?。究键c】齊次微分方程、平面曲線的切線、函數(shù)的最大值與最小值【難易度】★★★【詳解】解析：〔1〕設曲線過點的切線方程為，令,得切線在軸上的截距．由題設知，令,那么此方程可化為別離變量得積分得，即代入條件得，于是得L的方程,即.〔2〕曲線L∶在點處的切線方程為即.它在x軸與y軸上的截距分別為與．所圍面積令.得在內(nèi)的唯一駐點,易知是最小值點．由此，所求切線為,即.九、〔此題總分值7分〕一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積成正比，比例常數(shù)．假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時？【考點】導數(shù)的物理意義、微分方程初始條件的概念【難易度】★★★★【詳解】解析：設雪堆在時刻的體積，側面積，雪堆半徑．由題設知，所以有即積分得．又由，有，于是．又由，即，得，從而令得雪堆全部融化所需時間為小時．十、〔此題總分值8分〕設在區(qū)間上具有二階連續(xù)導數(shù)，，〔1〕寫出的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；〔2〕證明在上至少存在一點，使【考點】泰勒中值定理、介值定理【難易度】★★★★【詳解】解析：〔1〕對任意，其中在0與之間．令，那么在具有三階連續(xù)導數(shù)，其二階麥克勞林展開式為所以又由于介于和之間，由介值定理知存在，使得，那么有.十一、〔此題總分值6分〕矩陣，且矩陣滿足，其中是3階單位陣，求．【考點】矩陣方程、逆矩陣的概念【難易度】★★★【詳解】解析：由題設的關系式得即由于行列式所以矩陣可逆，所以故十二、〔此題總分值6分〕是線性方程組的一個根底解系，假設，，，，討論實數(shù)滿足什么關系時，也是的一