221橢圓及其標準方程

會計學1221橢圓及其標準方程如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓一.問題情境第1頁/共19頁探究：取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出軌跡是一個移動筆尖的過程中，細繩的長度保持不變，即動點到兩個定點的距離和等于常數(shù)如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？并思考在這一過程中，哪個量保持不變？圓，第2頁/共19頁一、橢圓的定義我們把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距橢圓定義符號表示：F1·F2·M此時點M的軌跡是線段F1F2此時點M的軌跡不存在第3頁/共19頁二、橢圓的標準方程我們根據(jù)橢圓的幾何特征，選擇適當?shù)淖鴺讼担E圓的方程，并通過方程研究橢圓的性質(zhì)探究一：說一說建立平面直角坐標系有哪些方案？建立平面直角坐標系通常遵循的原則：“對稱”、“簡潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一：焦點在x軸上方案二：焦點在y軸上OxyF1F2MOxy第4頁/共19頁解：取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).

設(shè)M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，xF1F2M0y由橢圓的定義得，點M滿足點集代入坐標得到方程探究二：橢圓的標準方程的推導設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0)

，則橢圓的焦距2c(c>0)，第5頁/共19頁整理得兩邊再平方，得移項得兩邊同除以得平方得整理得第6頁/共19頁思考：如圖，你能從中找出表示的線段嗎？xF1F20yPac由圖可知：b總體印象：對稱、簡潔第7頁/共19頁1、焦點在x軸上：1oFyx2FM12yoFFMx探究三：橢圓的標準方程2、焦點在y軸上：第8頁/共19頁

圖形方程焦點F1(-c,0),F2(c,0)a,b,c之間的關(guān)系定義12yoFFMx1oFyx2FM3)兩類標準方程的對照表思考：如何由一個橢圓的方程判定橢圓的焦點在哪個坐標軸上？判定方法：焦點在x軸的橢圓項分母較大.

焦點在y軸的橢圓項分母較大.MF1+MF2=2a(2a>2c>0)F1(0,-c),F2(0,c)第9頁/共19頁變題：

若橢圓的方程為,試口答完成（1）.5436(-3,0),(3,0)84.數(shù)學應用例1已知橢圓的方程為：，請?zhí)羁眨?1)a=__，b=__，c=__，焦點坐標為___________，焦距等于__.(2)若C為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，并且CF1=2,則CF2=___.

第10頁/共19頁課堂練習1.口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點在何軸？并指明，寫出焦點坐標.?第11頁/共19頁

1.已知方程表示焦點在x軸上

的橢圓，則m的取值范圍是

.(0,4)

2.已知方程

表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范

圍是

.(1,2)練習:第12頁/共19頁例2寫出適合下列條件的橢圓的標準方程(1)a=4，b=1，焦點在x

軸上；

(2)a=4，b=1，焦點在坐標軸上；

(3)兩個焦點的坐標是（0，-2）和（0，2），并且經(jīng)過點P（

-1.5，2.5）.xyF1F2P或4.數(shù)學應用第13頁/共19頁因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標準方程為由橢圓的定義知，所以所求橢圓的標準方程為第14頁/共19頁解：例3在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？設(shè)所求的曲線上任一點的坐標為M（x，y）,圓＝４上的點P的坐標為P（x’，y’），由題意可得：因為＝４所以即yxoPMD第15頁/共19頁(2)焦點為F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.(2)焦點為F1(0,－3),F2(0,3),且a=5(3)兩個焦點分別是F1(－2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點；(4)經(jīng)過點P(－2,0)和Q(0,－3).

(1)a=3,b=1,焦點在y軸上;練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（5）與橢圓有相同焦點,且過點(-3,2)第16頁/共19頁已知圓A：

,圓A內(nèi)一定點B(3,0),動圓Ｐ過點Ｂ且與圓Ａ內(nèi)切，求圓心Ｐ的軌跡方程．例4定義法求軌跡方程PA+PB=10>6=ABa=5,c=3b=4第17頁/共19頁例５已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為