第二章 章末復習

章末復習(一)第二章

解析幾何初步學習目標1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進一步鞏固、深化所學知識.2.培養(yǎng)綜合運用知識解決問題的能力，能靈活選擇直線方程的形式并熟練運用待定系數(shù)法求解，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想.知識梳理達標檢測題型探究內(nèi)容索引知識梳理1.直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角α的范圍是

.(2)當k存在時，α≠90°；當k不存在時，α＝90°.(3)斜率的求法：①依據(jù)傾斜角；②依據(jù)直線方程；③依據(jù)兩點的坐標.0°≤α<180°2.直線方程幾種形式的轉(zhuǎn)化y=kx+b3.兩條直線的位置關(guān)系設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；(2)相交?A1B2－A2B1≠0；(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或

(A2B2C2≠0).4.距離公式(1)兩點間的距離公式已知點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝___________________.(2)點到直線的距離公式①點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝_____________

；②兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離d＝_________.題型探究類型一待定系數(shù)法的應(yīng)用例1直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點為P(－1,2)，求直線l的方程.

解答解方法一設(shè)直線l與l1的交點為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點為B(－2－x0，4－y0)，所以A(－2,5).即3x＋y＋1＝0.方法二由題意知，直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.解得k＝－3.因此所求直線方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.方法三兩直線l1和l2的方程為(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，

①將上述方程中(x，y)換成(－2－x，4－y)，整理可得l1與l2關(guān)于(－1,2)對稱圖形的方程為(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0. ②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即為所求直線方程.反思與感悟待定系數(shù)法，就是所研究的式子(方程)的結(jié)構(gòu)是確定的，但它的全部或部分系數(shù)是待定的，然后根據(jù)題中條件來確定這些系數(shù)的方法.直線的方程常用待定系數(shù)法求解.選擇合適的直線方程的形式是很重要的，一般情況下，與截距有關(guān)的，可設(shè)直線的斜截式方程或截距式方程；與斜率有關(guān)的，可設(shè)直線的斜截式或點斜式方程等.跟蹤訓練1求在兩坐標軸上截距相等，且到點A(3,1)的距離為

的直線的方程.解答解當直線過原點時，設(shè)直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0.所以所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0，當直線不經(jīng)過原點時，即x＋y－a＝0.解得a＝2或a＝6.所以所求直線的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.綜上可知，所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.類型二分類討論思想的應(yīng)用例2過點P(－1,0)，Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為1，求這兩條直線的方程.解答解

當兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，符合題意.當直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為y＝k(x＋1)，y－2＝kx.∴兩條直線的方程分別為y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.綜上可知，所求兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.反思與感悟本章涉及直線方程的形式時，常遇到斜率存在性問題的討論，如兩直線平行(或垂直)時，斜率是否存在；已知直線過定點時，選擇點斜式方程，要考慮斜率是否存在.跟蹤訓練2已知經(jīng)過點A(－2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，－1)和點Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，求實數(shù)a的值.∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，當a＝0時，P(0,－1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，這時直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.綜上可知，實數(shù)a的值為1或0.解答類型三最值問題命題角度1可轉(zhuǎn)化為距離求最值的問題例3

求函數(shù)

的最大值與最小值，并求取最大值或最小值時x的值.解答故設(shè)M(x，0)，A(1，2)，B(2，1)，∴原條件變?yōu)閥＝||MA|－|MB||.則上式的幾何意義為x軸上的點M(x，0)到定點A(1，2)與B(2，1)的距離的差的絕對值，由圖可知，當|AM|＝|BM|時，y取最小值0.解得x＝0，此時點M在坐標原點，ymin＝0.又由三角形性質(zhì)可知，||MA|－|MB||≤|AB|，即當||MA|－|MB||＝|AB|，即當A，B，M三點共線時，y取最大值.由已知，得直線AB的方程為y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3，反思與感悟數(shù)形結(jié)合是解析幾何的靈魂，兩點間的距離公式和點到直線的距離公式是數(shù)形結(jié)合常見的結(jié)合點，常用這兩個公式把抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，也能把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，這就是數(shù)形結(jié)合.跟蹤訓練3

已知實數(shù)x，y滿足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值.解設(shè)點P(x，y)，則點P在直線l：4x＋3y－10＝0上，＝|OP|2.如圖所示，當OP⊥l時，|OP|取最小值|OM|，即|OP|的最小值是2，所以x2＋y2的最小值是4.解答命題角度2利用對稱性求最值例4

已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直線l上求一點P，使|PA|＋|PB|最小；解答解

設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為A′(m，n)，因為P為直線l上的一點，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，當且僅當B，P，A′三點共線時，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點P即是直線A′B與直線l的交點，故所求的點P的坐標為(－2,3).(2)在直線l上求一點P，使||PB|－|PA||最大.解

A，B兩點在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點，則||PB|－|PA||≤|AB|，當且僅當A，B，P三點共線時，||PB|－|PA||取得最大值為|AB|，點P即是直線AB與直線l的交點，又直線AB的方程為y＝x－2，故所求的點P的坐標為(12,10).解答反思與感悟

(1)中心對稱①兩點關(guān)于點對稱：設(shè)P1(x1，y1)，P(a，b)，則點P1(x1，y1)關(guān)于點P(a，b)對稱的點為P2(2a－x1，2b－y1)，即點P為線段P1P2的中點；②兩直線關(guān)于點對稱：設(shè)直線l1，l2關(guān)于點P對稱，這時其中一條直線上任一點關(guān)于點P對稱的點都在另外一條直線上，必有l(wèi)1∥l2，且點P到直線l1，l2的距離相等.(2)軸對稱兩點關(guān)于直線對稱：設(shè)點P1，P2關(guān)于直線l對稱，則直線P1P2與l垂直，且P1P2的中點在l上.跟蹤訓練4在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；解如圖，點B關(guān)于直線l的對稱點B′(3,3).直線AB′的方程為2x＋y－9＝0，即P(2,5).解答(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.解如圖，由圖像可知，|PA|＋|PC|≥|AC′|.當點P是直線AC′與l的交點時“＝”成立，直線AC′的方程為19x＋17y－93＝0，解答達標檢測1.若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x軸的直線，則a的值是答案12345解析√1234解析

因為平行于x軸的直線斜率為零，所以由直線的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，得k＝－

＝0?A＝0，B≠0，即6a2－a－2＝0,3a2－5a＋2≠0，解得a＝－

.5解析

由于傾斜角為150°，故斜率k＝－

.又直線過點(－1,0)，1234解析答案5√3.已知直線l不經(jīng)過第三象限，若其斜率為k，在y軸上的截距為b(b≠0)，則A.kb<0

B.kb≤0C.kb>0 D.kb≥0答案解析解析

由題意得，直線l的方程為y＝kx＋b(b≠0)，∵直線l不經(jīng)過第三象限，∴k≤0，b>0，∴kb≤0.12345√123454.過點(2,1)且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小

的直線方程是A.x＝2

B.y＝1C.x＝1 D.y＝2答案√解析

∵直線y＝－x－1的斜率為－1，解析∴斜率不存在，∴過點(2,1)的直線方程為x＝2.123455.若直線mx－(m＋2)y＋2＝0與3x－my－1＝0互相垂直，則點(m，1)到y(tǒng)軸的距離為______.0或5解析由題意，得3m＋m(m＋2)＝0，解得m＝0或m＝－5，∴點(m，1)到y(tǒng)軸的距離為0或5.答案解析1.一般地，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(