運算方法和運算器

計算機組成原理及匯編語言主講老師:湯丹第二章、運算方法和運算器要點：1、掌握：數(shù)與字符在計算機內的表示，定、浮點數(shù)表示方法及標準格式。2、理解：進位鏈，ALU組成，補碼加減，移位，浮點加減，無符號數(shù)一位乘、除，定點數(shù)的四則運算，陣列乘法器，陣列除法器，邏輯運算。3、了解：BCD碼，ASCII碼，74182、74182ALU邏輯電路圖，浮點乘，除法，浮點運算器。兩種數(shù)據(jù)表示方式：定點數(shù)、浮點數(shù)。

1．定點數(shù) 定點數(shù)是小數(shù)點位置固定不變的數(shù)。由于小數(shù)點位置固定，小數(shù)點就不再使用記號“·”來表示。我們通常將定點數(shù)分為定點小數(shù)和定點整數(shù)。一、數(shù)據(jù)與字符的機內表示定點小數(shù)

定點小數(shù)的表示范圍是：≤|x|≤1-定點整數(shù)

定點整數(shù)的表示范圍是：1≤|x|≤-12．浮點數(shù)

N=×M式中M稱為數(shù)N的尾數(shù)(mantissa)，是一個純小數(shù)；E為數(shù)N的階碼(exponent)，是一個整數(shù)，J稱為比例因子的底數(shù)（常取2）。若不對浮點數(shù)的表示作出明確規(guī)定，同一個浮點數(shù)的表示就不是唯一的。例如11.01也可以表示成0.01101×，0.1101×等等。為了提高數(shù)據(jù)的表示精度，當尾數(shù)的值不為0時，其絕對值應大于等于0.5，即尾數(shù)域的最高有效位應為1，否則要以修改階碼同時左右移小數(shù)點的方法，使其變成這一要求的表示形式，這稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。例：計算機浮點數(shù)格式如下，寫出x=0.0001101B的規(guī)格化形式，階碼是補碼，尾數(shù)是原碼。x=0.0001101=0.1101*2-3又[-3]補=[-001B]補=[1011]補=1101B所以規(guī)格化浮點數(shù)形式是110101101000寫出二進制數(shù)-101.1101B的浮點數(shù)形式，設階碼取4位補碼，尾數(shù)是8位原碼。-101.1101=-0.1011101*浮點形式為：階碼0011尾數(shù)11011101補充解釋：階碼0011中的最高位“0”表示指數(shù)的符號是正號，后面的“011”表示指數(shù)是“3”；尾數(shù)11011101的最高位“1”表明整個小數(shù)是負數(shù)，余下的1011101是真正的尾數(shù)。IEEE754標準中(IEEE為美國電子電機工程師學會)溢出當數(shù)據(jù)小于定點數(shù)能表示的最小值時，計算機將它們作0處理，稱為下溢；大于定點數(shù)能表示的最大值時，計算機將無法表示，稱為上溢，上溢和下溢統(tǒng)稱為溢出。機器零當一個浮點數(shù)的尾數(shù)為0時，不論其階碼為何值，或者當階碼的值遇到比它能表示的最小值還小時，不管其尾數(shù)為何值，計算機都把該浮點數(shù)看成0值，稱為機器零。8位二進制數(shù)的浮點數(shù)規(guī)格化浮點數(shù)分布示意圖階碼占3位，尾數(shù)占5位(各包括1位符號位)3.數(shù)的機器碼表示帶符號數(shù)的表示機器數(shù)與真值原碼反碼補碼移碼真值：數(shù)據(jù)的實際值機器數(shù)：機器中編碼表示的數(shù)帶符號數(shù)的表示通常數(shù)的最高位為符號位，對于字長8位機器數(shù)：

D7為符號位:0表示“+”，1表示“—”。符號數(shù)碼化了。

D6～D0為數(shù)字位。如:X=（01011011）2=+91X=（11011011）2=-91

連同符號位在一起作為一個數(shù)稱為機器數(shù)， 機器數(shù)的數(shù)值稱為的真值。如:N1=+1011011N2=-1011011為真值

01011011 11011011為機器數(shù)

原碼：

正數(shù)符號位用“0”表示，負數(shù)符號用“1”表示， 這種表示法稱為原碼。

X=+105[X]原=01101001 X=-105[X]原=11101001

符號數(shù)值 原碼表示簡單,真值轉換方便，減法不方便。 引進反碼，補碼。反碼：

正數(shù)反碼表示與原碼相同，

(最高位“0”表示正，其余位為數(shù)值位。)

負數(shù)的反碼表示為負數(shù)原碼的符號位不變尾數(shù)按位取反。例： [+4]反

=0 0000100 [-4]反

=1 1111011 [+127]反=0 1111111 [-127]反=10000000 [+0]反

=00000000 [-0]反

=11111111補碼：

正數(shù)的補碼表示與原碼相同，

(最高位用“0”表示正，其余位為數(shù)值位.)

負數(shù)的補碼表示為它的反碼+1。

[+127]原=01111111[+0]原=00000000 [-127]反=10000000[-0]反=11111111 [-127]補=10000001[-0]補=00000000引入原碼的目的:⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規(guī)則.

⑵使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化計算機中運算器的線路設計

引進補碼以后，做原碼的減法與做補碼的加法結果相同但必須以⊕為模。先以十進制為例說明補碼的用法。 7-4=3 7-(10-6)=3 7+6=13-10=3∴6是4以10為模的補碼，減4就可以變成+6計算。對三位十進制數(shù)來講：916–317=599 916+683=1599－1000=599 則683是317以1000為模的補碼如何得到683？ 1000-317=683（補碼）逐位減不必借位+1 1+999-317=1+682(反碼）從定義出發(fā)得出補碼求法：[X]補=Pn+XN位P進制的補碼，將Pn-1按位減去后再+1得到補碼。對于二進制補碼：

0111–0101=0010 7–5=2p=2,n=4，模24=10000=1111+1

1111–0101+1=1010+1=1011

Pn-1

0101的反碼0101補碼（即0101的反碼+1）

0111-0101=0010 0111+1011=10010-10000=0010

0101補碼

模[ｘ]移＝＋ｘ＞ｘ≥－移碼對于同一個整數(shù)，其移碼與其補碼數(shù)值位完全相同，而符號位正好相反

例題：將十進制真值x=-127,－1,0,＋1,＋127分別表示為8位原碼、反碼、補碼、移碼值。

[解:]

原碼反碼補碼移碼-12711111111100000001000000100000001-110000001111111101111111101111111-010000000111111110000000010000000+000000000000000000000000010000000+100000001000000010000000110000001+12701111111011111110111111111111111三種碼制之間關系及特點：[[X]補]補=[X]原[[X]反]反=[X]原正數(shù)：原，反，補相同負數(shù)：原，反，補不同，但最高位為1。負數(shù):

原→反，符號位不變，尾數(shù)按位求反 原→補，符號位不變，尾數(shù)按位求反+1

補→原，符號位不變，尾數(shù)求反+1

反→原，符號位不變，尾數(shù)求反.小結“0”的表示

原碼 反碼 補碼[+0]原=000…00 [+0]反=000…00 [+0]補=000…00[-0]原=100…00 [-0]反=111…11 [-0]補=000…00

數(shù)的表示范圍：8位二進制數(shù) 無符號數(shù)：0~255

原碼：-127~+127

反碼：-127~+127

補碼：-128~+127 在補碼中用(-128)代替了(-0)

: (-128)沒有相對應的原碼和反碼常用8421碼，每一位十進制數(shù)用四位二進制編碼表示。1111B 9D 1001BCD 10D00010000BCD

BCD碼與二進制數(shù)之間轉換沒有直接關系， 必須先轉換成十進制,然后轉換成二進制。例：11111111B=255D=0010,0101,0101BCD 0010,0101,0101BCD＝255D=11111111B4.BCD碼5.非數(shù)值數(shù)據(jù)在機內的表示字符:主要指數(shù)字、字母、通用符號、控制符號等ASCII碼

000

001

010

011

100

101

110

111

0000

NUL

DEL

SP

0

@

P

‘p

0001

SOH

DC1

!

1

A

Q

a

q

0010

STX

DC2

"

2

B

R

b

r

0011

ETX

DC3

#

3

C

S

c

s

0100

EOT

DC4

$

4

D

T

d

t

0101

ENQ

NAK

%

5

E

U

e

u

0110

ACK

SYN

&

6

F

V

f

v

0111

DEL

ETB

7

G

W

g

w

1000

BS

CAN

(

8

H

X

h

x

1001

HT

EM

)

9

I

Y

i

y

1010

LF

SUB

*

:

J

Z

j

z

1011

VT

ESC

+

;

K

[

k

{

1100

FF

FS

,

<

L

\

l

|

1101

CR

GS

-

=

M

]

m

}

1110

SO

RS

.

>

N

n

~

1111

SI

US

/

?

O

_

o

DEL

漢字漢字的編碼有輸入碼、內碼、字形碼三種輸入碼數(shù)字編碼、拼音碼、字形編碼

；內碼用于漢字信息的存儲、交換檢索等操作的機內代碼；字形碼點陣表示法、矢量表示法；二、定點加法、減法運算1.補碼運算方法的特點:參與運算的數(shù)均用補碼表示,補碼運算的結果亦為補碼按二進制運算規(guī)則,逢二進一符號位要作為數(shù)的一部分一起參加運算,結果的符號位由運算得出符號位運算產(chǎn)生的進位要丟掉,產(chǎn)生的和即為結果的符號位【例】x=0.1010，y=-0.0101，求

[x]補+[y]補=

？[解:][ｘ]補＝0.1010,[ｙ]補＝1.1011[ｘ]補0.1010

＋[ｙ]補1.1011[ｘ＋ｙ]補10.0101

丟掉所以[x]補+[y]補＝+1.01011.補碼加法的公式是：

[x]補

+

[y]補

=

[x+y]補(mod2)2.補碼減法的公式是：

[x-y]補=[x]補-[y]補=[x]補+[-y]補(mod2)【例】x=-0.1100，y=-0.0110，求[x]補

-[y]補=?[解:][ｘ]補＝1.0100,[ｙ]補＝1.1010,[－ｙ]補＝0.0110

[ｘ]補1.0100＋[－ｙ]補0.0110[ｘ－ｙ]補1.1010所以[x]補-[y]補=

＝1.1010ｘ－ｙ＝-0.0110

3.溢出概念及檢測兩個正數(shù)相加，結果大于機器所能表示的最大正數(shù)，稱為正溢。而兩個負數(shù)相加，結果小于機器所能表示的最小負數(shù)，稱為負溢。兩種檢測方法

變形補碼操作檢測方法

單符號位操作檢測方法

變形補碼操作檢測方法采用雙符號位的補碼，正數(shù)的符號用“00”表示，負數(shù)的符號用“11”表示：[ｘ]補＝{ｘ2＞ｘ≥04＋ｘ0＞ｘ≥－2采用變形補碼后，加減法的運算公式同樣成立。(1)兩個符號位都看作數(shù)碼一樣參加運算；(2)兩數(shù)進行以4為模的加法，即最高符號位上產(chǎn)生的進位要丟掉。采用變形補碼后，正數(shù)的符號以“00”表示，負數(shù)的符號以“11”表示。運算結果也應滿足此要求，若運算結果的兩個符號位相同，表示運算結果正確，若運算結果的兩個符號位不同，表示產(chǎn)生了溢出。故溢出邏輯表達式為V=Sf1⊕Sf2

,其中Sf1與Sf2分別為第一符號位和第二符號位。不論溢出與否，第一符號位永遠表示結果的正確符號，若兩個符號位為“01”，表示正溢出；若兩個符號位為“10”，表示負溢出。單符號位操作檢測方法當操作數(shù)中的加數(shù)與被加數(shù)符號相同時，若運算結果的符號與操作數(shù)的符號不一致，表示溢出；否則，表示沒有溢出。而當加數(shù)和被加數(shù)符號不同時，相加運算的結果是絕對不會溢出的。

V=Cf⊕C0

其中Cf為符號位產(chǎn)生的進位，C0為最高有效位產(chǎn)生的進位典型門電路的邏輯符號和時間延遲門的名稱

門的功能

邏輯符號(正邏輯)

以T的個數(shù)表示的

時間延遲

與非

NAND

T或非

NOR

T非

NOT

T與

AND

2T或

OR

2T異或

XOR

3T異或非

XNOR

3T接線邏輯

(與或非)

AOI

T+Trc

二進制加/減法器輸入輸出AiBiCiSiCi＋10000000110010100110110010101011100111111一位全加器真值表

Si＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi兩個二進制數(shù)字Ai,Bi和一個進位輸入Ci相加,產(chǎn)生一個和輸出Si,以及一個進位輸出Ci＋1。一位全加器(FA)邏輯電路Si的時間延遲為6T(每級異或門延遲3T)，Ci+1的時間延遲為5T一位全加器(FA)的邏輯表達式還可以用“與或非”形式寫出---見圖(b)補碼運算的二進制加法/減法器的邏輯結構圖演示十進制加/減法器【例2.2.9】

28+9=37

00101000+00001001=？

[解:]

十位

個位

0010

1000

+1←┐1001

0011└─10001

+

0110校正值

0011

0111

一位BCD加法器單元的邏輯結構演示

三、定點乘法運算

1.原碼1位乘法(定點小數(shù))被乘數(shù)

[x]原=xf.x0x1x2…xn

乘數(shù)

[y]原=yf.y0y1y2…yn則乘積

[z]原=(xf⊕yf).(0.x0x1x2…xn)(0.y1y2…yn)式中，xf為被乘數(shù)符號，yf為乘數(shù)符號?！纠?/p>

x

=0.1101，y=0.1011，用原碼一位乘法計算x·y

=？

[解:]

求解過程如下：

演示

尾數(shù)為n,則加n次,右移n次符號位數(shù)值位分開運算結果的數(shù)值部分是乘數(shù)和被乘數(shù)數(shù)值位的乘積結果的符號位是乘數(shù)和被乘數(shù)符號位的異或原碼一位乘法邏輯結構原理圖R0：存放部分積z，初始狀態(tài)為0；R2：存放被乘數(shù)x；R1：存放乘數(shù)y；R0、R1是具有右移功能的移位寄存器，由LDR0，LDR1控制其移位。加法器：完成部分積與位積的累加；計數(shù)器：對移位的次數(shù)進行計數(shù)，以便判斷乘法運算是否結束。當計數(shù)器i=n時，計數(shù)器i的溢出信號使控制觸發(fā)器Cx置0，關閉時序脈沖T，乘法操作結束。補碼1位乘法

補碼一位乘法運算規(guī)則(1)如果yn=yn+1，部分積[zi]加0，再右移一位；(2)如果ynyn+1=01，部分積加[x]補，再右移一位；(3)如果ynyn+1=10，部分積加[-x]補，再右移一位；這樣重復進行n+1步，但最后一步不移位。包括一位符號位，所得乘積為2n+1位，其中n為尾數(shù)位數(shù)。【例】

x

=0.1101，y=0.1011，用補碼一位乘法計算x

·y

=？[解:]

求解過程如下：

演示

尾數(shù)為n,則加n+1次,右移n次符號位由運算得來補碼一位乘法邏輯原理圖執(zhí)行補碼一位乘法的總時間為

tm=(n+1)ta+ntr

其中n為尾數(shù)位數(shù)，ta為執(zhí)行一次加法操作的時間，tr為執(zhí)行一次移位操作的時間不帶符號的陣列乘法器

演示

并行乘法器比串行效率大大提高m位×n位不帶符號的陣列乘法器邏輯框圖四、定點除法運算被除數(shù)x，其原碼為 [x]原=xf.x1x2…xn除數(shù)y，其原碼為 [y]原=

yf.

y1y2…yn

設商為q=x/y，其原碼為

[q]原=(xf⊕yf).(x1x2…xn/y1y2…yn)

原碼1位除法加減交替法原碼加減交替法的規(guī)則是：當余數(shù)為正時，商“1”，余數(shù)左移一位減除數(shù)；當余數(shù)為負時，商“0”，余數(shù)左移一位，加除數(shù)。當運算過程中出現(xiàn)不夠減的情況，不必恢復余數(shù)，而是根據(jù)余數(shù)的符號，繼續(xù)往下運算，因此步數(shù)固定，控制簡單。運算規(guī)則：

當余數(shù)為正時，商1，余數(shù)左移一位，減除數(shù)；當余數(shù)為負時，商0，余數(shù)右移一位，加除數(shù)?！纠?】x=0.1001,y=0.1011,用加減交替法求x/y.解：[x]原=[x]補=x=０.1001,[y]補=0.1011,[-y]補=1.010【例】x=0.101001，y=0.111，求

x÷y

[解:]

求解過程如下：

演示

練習時間用補碼運算求[X.Y]補(1)x=-3,y=-7(2)x=0.101B,y=-0.011B五、邏輯運算邏輯非

xi

ｘi

0110【例】

ｘ1＝01001011,ｘ2＝11110000,求ｘ1，ｘ2。[解:]ｘ1＝10110100ｘ2＝00001111邏輯或

000011101111【例】

ｘ＝10100001,ｙ＝10011011,求ｘ∨ｙ。[解:]10100001ｘ∨10011011ｙ10111011ｚ即ｘ∨ｙ＝10111011邏輯與000010100111【例】

ｘ＝10111001,ｙ＝11110011,求x∧ｙ。[解:]10111001ｘ∧11110011ｙ10110001ｚ即ｘ∧ｙ＝10110001邏輯異或

000011101110【例】

ｘ＝10101011,ｙ＝11001100,求ｘ⊕ｙ。[解:]10101011ｘ⊕11001100ｙ01100111ｚ即ｘ⊕ｙ＝01100111移位操作算術移位:左移相當于”*2”,右移相當于”/2”;左移末位補”0”,右移首位補符號位;邏輯移位左移、右移,空位均補”0”,循環(huán)移位(參見web計算機組成原理2.4)邏輯門符號表示六、定點運算器的組成和結構運算器運算器是數(shù)據(jù)的加工處理部件,是CPU的重要組成部分,基本構件包括:算術/邏輯運算單元(ALU)數(shù)據(jù)寄存器累加器多路轉換器數(shù)據(jù)總線運算器的功能： ⑴首要功能是完成數(shù)據(jù)的算術和邏輯運算。 由ALU實現(xiàn)：給出運算結果和結果的某些特征。 ⑵第二項功能是暫存運算數(shù)據(jù)和中間結果。 由通用寄存器實現(xiàn)：區(qū)別于專用寄存器。 ⑶第三項功能是用硬件完成乘除指令運算。 由乘商寄存器實現(xiàn)：能自行左右移位（專用）。 ⑷第四項功能是作為處理機內傳送數(shù)據(jù)的通路。運算器的控制與操作： ⑴正確地向運算器提供控制信號，解決正確向運算器提供參加運算數(shù)據(jù)的種種問題。 ⑵給出正確的數(shù)據(jù)來源何正確的控制信號，運算器就執(zhí)行規(guī)定的操作功能。 ⑶在計算機整機運行過程中，運算器用到的控制信號是由計算機的控制器部件提供的。1.功能算術／邏輯運算單元(ALU)ALU的邏輯結構原理圖

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i+Cn+iXi多功能算術／邏輯運算單元(ALU)，不僅具有多種算術運算和邏輯運算的功能，而且具有先行進位邏輯，從而能實現(xiàn)高速運算。2.Xi，Yi與控制參數(shù)和輸入量

Xi＝S2S3＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3AiYi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBiCn＋4＝G＋PCn先行進位邏輯；3.算術邏輯運算的實現(xiàn)

控制端M＝0時,進行算術操作;M＝1時,封鎖了各位的進位輸出,進行邏輯操作;

正邏輯操作(即高電平為“1”，低電平為“0”)。反邏輯相反

4.內部總線總線，就是一個或多個信息源傳送信息到多個目的的數(shù)據(jù)通路，它是多個部件之間傳送信息的一級傳輸線內部總線是指CPU內各部件的連線;外部總線是指系統(tǒng)總線，即CPU與存儲器、I／O系統(tǒng)之間的連線。

單向總線，就是信息只能向一個方向傳送。所謂雙向總線，就是信息可以向兩個方向傳送，即可以發(fā)送數(shù)據(jù)，也可以接收數(shù)據(jù)。邏輯電路往往是三態(tài)的，即輸出電平有三種狀態(tài)：邏輯“1”、邏輯“0”和“浮空”狀態(tài)。

三種總線結構形式單總線雙總線 三總線演示

演示

演示

操作速度較慢控制電路簡單操作速度較快控制電路復雜七、浮點運算方法和浮點運算器⒈浮點運算器是主要用于對計算機內的浮點數(shù)進行運算的部件。⒉浮點數(shù)通常由階碼和尾數(shù)兩部分組成，階碼是整數(shù)形式，尾數(shù)是定點小數(shù)形式，執(zhí)行的操作不相同。⒊浮點運算器總是由處理階碼和處理尾數(shù)的兩部分邏輯線路組成。1.浮點加法和減法1、0操作數(shù)的檢查；2、比較階碼大小并完成對階；3、尾數(shù)進行加或減運算；4、結果規(guī)格化并進行舍入處理。

【例】

設ｘ＝2010×0.11011011,ｙ＝2100×(－0.10101100),求ｘ＋ｙ。[解:]為了便于直觀理解,假設兩數(shù)均以補碼表示,階碼采用雙符號位,尾數(shù)采用單符號位,則它們的浮點表示分別為[ｘ]?。?0010,0.11011011[ｙ]?。?0100,1.01010100<1>求階差并對階△E補＝Eｘ－Eｙ＝[Eｘ]補＋[－Eｙ]補＝00010＋11100＝11110即△E為－2,ｘ的階碼小,應使Mｘ右移兩位,Eｘ加2,[ｘ]浮＝00100,0.00110110(11)其中(11)表示Mｘ右移2位后移出的最低兩位數(shù)。<2>尾數(shù)求和0.00110110(11)＋1.01010100

1.10001010(11)<3>規(guī)格化處理

尾數(shù)運算結果的符號位與最高數(shù)值位同值,應執(zhí)行左規(guī)處理,結果為1.00010101(10),階碼為00011。（左移1位，階碼減1）書上P64有錯，不等應為11.0*****而不