數(shù)值計算課件-第一章數(shù)值計算引論

數(shù)值計算方法電力系發(fā)電教研室

郝育黔本課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)：本課程是電氣工程及其自動化專業(yè)一門專業(yè)基礎(chǔ)課。其目的是通過本課程的學習，使學生掌握利用計算機計算各種數(shù)學模型的數(shù)值計算方法，并通過數(shù)值上機實驗提高學生程序設(shè)計的基本技能。為進一步學習專業(yè)課和畢業(yè)后從事專業(yè)工作打下必要的基礎(chǔ)。課時安排：

講課：28學時上機：12學時

第一章數(shù)值計算引論主要內(nèi)容（預備知識）：數(shù)值計算方法的概念、研究對象及特點數(shù)值計算中的誤差；近似數(shù)的誤差表示法；運算誤差分析；減小運算誤差的原則；

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和科學研究、生產(chǎn)實踐的需要，利用計算機作為科學計算的主要工具越來越不可缺少?？茖W計算（仿真）已成為和傳統(tǒng)的科學方法—理論和實驗相并列的第三種科學方法。因而要求研究適合計算機使用的數(shù)值計算方法?！?.1數(shù)值計算方法解決科學計算問題的過程數(shù)值方法計算機近似解實際問題數(shù)學模型數(shù)值算法是連接理論與實踐的橋梁！！驗證數(shù)值計算方法，又稱數(shù)值分析,它是研究用計算機求解各種數(shù)學問題的數(shù)值方法及其理論的一門學科，是程序設(shè)計和對數(shù)值結(jié)果進行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。數(shù)值計算方法以數(shù)學問題為研究對象，但它不是研究數(shù)學問題本身。

而是著重研究求解的數(shù)值方法及其相關(guān)理論，包括誤差分析、收斂性和穩(wěn)定性等。數(shù)值計算方法定義：解決的數(shù)學問題計算方法課是研究各種數(shù)值算法及其有關(guān)理論的一門課程。從工程實際出發(fā)，本課程所要解決的數(shù)學問題主要是：非線性方程的數(shù)值求解線性方程組的數(shù)值求解插值和曲線擬合數(shù)值積分和微分常微分方程的數(shù)值求解。

數(shù)值算法特點：

1〉面向計算機

根據(jù)計算機特點提供實際可行的有效算法，即算法只能包括加，減，乘，除運算和邏輯運算，是計算機能直接處理的；2〉保證算法的收斂性和穩(wěn)定性

數(shù)值算法的數(shù)值解能任意逼近精確解到要求的程度；還要保證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。3〉要有好的計算復雜性算法的計算復雜性是指該算法的空間復雜度和時間復雜度?？臻g復雜度：指算法需占用的存儲空間.時間復雜度：指算法包含的運算次數(shù)，即收斂速度。

例如，求解一個20階線性方程組，用加減消元法需3000次乘法運算，而用克萊姆法則要進行次運算，如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。計算方法中常用的一些概念數(shù)值問題：由一組已知數(shù)據(jù)（輸入數(shù)據(jù)），求出一組結(jié)果數(shù)據(jù)（輸出數(shù)據(jù)），使得這兩組數(shù)據(jù)之間滿足預先制定的某種關(guān)系的問題。數(shù)值解：經(jīng)過計算機的計算求出的解，或由數(shù)值計算公式得出的解稱為數(shù)值解。一般為近似值。算法：由給定的已知量，經(jīng)過有限次的四則運算及規(guī)定的運算順序，求出所關(guān)心的未知量的數(shù)值解，這樣所構(gòu)成的整個計算步驟，稱為算法?！?.2誤差的來源

從實際問題中抽象出數(shù)學模型

——模型誤差

通過測量得到模型中參數(shù)的值

——觀測誤差

求近似解——方法誤差(截斷誤差）

機器字長有限——舍入誤差大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截斷誤差=0.747……§1.3

誤差與有效數(shù)字絕對誤差其中x為精確值，x*為x的近似值。，例如：工程上常記為，稱為絕對誤差限

，簡稱誤差、精度的上限記為由于無法準確地知道絕對誤差的大小，但根據(jù)具體情況可估計處誤差范圍。誤差限不唯一，實際中常用四舍五入來取近似值。例如測量數(shù)據(jù)、四舍五入數(shù)據(jù)對于四舍五入取得的近似數(shù)，怎么來體現(xiàn)它的精度？-----有效數(shù)字有效數(shù)字用科學計數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到。有效數(shù)字即有效數(shù)字位數(shù)，它是由絕對誤差決定的。定義：一個四舍五入的近似數(shù)，從左向右第一位非零數(shù)字到最后一位數(shù)字的個數(shù)就是有效數(shù)字位數(shù)。

另一等價定義：

例：問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位。43關(guān)于有效數(shù)字還要指出以下幾點：1)用四舍五入取準確值的前n位作為近似值，則必有n位有效數(shù)字。2)把任何數(shù)乘以10p，等于移動該數(shù)的小數(shù)點。這樣不影響其有效數(shù)字位數(shù)。例如：9.80寫成0.0098003）數(shù)字末尾的0不可隨意省去0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。⑷準確值被認為具有無窮多位有效數(shù)字相對誤差x的相對誤差上限定義為:絕對誤差還不足以刻劃近似數(shù)的精確程度，例如，有兩個量

哪個近似程度好？定義：實際應(yīng)用：相對誤差限在實際計算中常稱為相對誤差。由相對誤差限的定義可知，相對誤差限可由絕對誤差限求出。反之，絕對誤差限也可由相對誤差限求出，即。1.4

函數(shù)的誤差估計問題：對于y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產(chǎn)生什么影響？

設(shè)一元函數(shù)的自變量的近似值為，的近似值為，其誤差限記為。將在近似值作泰勒展開

介于，之間。取絕對值得

其中：為近似數(shù)的絕對誤差限。分析：利用函數(shù)的泰勒展開式可分析這種誤差。1.4

函數(shù)的誤差估計注：關(guān)于多元函數(shù)的討論，請參閱教材第10頁。忽略高次項，可得到函數(shù)運算相對誤差:函數(shù)運算絕對誤差:利用多元函數(shù)的誤差估計公式可得和、差、積、商的誤差估計1.5減小運算誤差的若干原則1.避免相近二數(shù)相減(詳細分析請參閱教材P11)例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗性避免方法：當|x|<<1時：公式變換如果計算公式不能改變時，增加有效位數(shù)；當很接近時，采用泰勒展開；1.5減小運算誤差的原則2.避免小分母:分母小會造成浮點溢出3.避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，若在8位浮點機上作運算時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)算法2：先解出再利用其它措施：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094.減少步驟，減少運算次數(shù)，避免誤差積累。例1：計算x255的值5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。1.5減小運算誤差的原則數(shù)值穩(wěn)定性定義：如果在執(zhí)行算法的過程中舍入誤差在一定條件下能夠得到控制（結(jié)果是可靠的），則該算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則就是數(shù)值不穩(wěn)定的。

在實際運算過程中，參與運算的各種數(shù)據(jù)一般都帶有一定的誤差。比如初值誤差及計算過程中的舍入誤差。這些誤差即使很小，也會隨著計算過程的進行不斷傳播（或積累）下去，對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。如果計算結(jié)果對初值誤差不敏感，則認為算法是數(shù)值穩(wěn)定的。算法數(shù)值穩(wěn)定的一個必要條件是原始數(shù)據(jù)小的變化只會引起最后結(jié)果有小的變化。

誤差的傳播與積累例：蝴蝶效應(yīng)——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！NYBJ以上是一個病態(tài)問題例：計算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!考察第n步的誤差造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。