數(shù)字信號(hào)處理-第6章

第六章小波分析的基本原理及其應(yīng)用6.1引言

6.2連續(xù)小波變換6.3離散小波變換6.4小波分析的應(yīng)用6.1引

言

小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)分析和信號(hào)處理領(lǐng)域中迅速發(fā)展起來的一套新理論、新方法，至今才僅有十余年的歷史。與傳統(tǒng)的傅里葉(Fourier)變換、加窗傅里葉變換相比，小波變換是一個(gè)時(shí)間和尺度上的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度分析（MultiscaleAnalysis），從而解決傅里葉變換不能解決的許多問題。

因此小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。

小波變換的概念是由法國從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，并且通過物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)地建立了反演公式。早在20世紀(jì)70年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究都為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年，著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基與多尺度分析。之后，小波分析才蓬勃發(fā)展起來，其中，比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講》(TenLecturesonWavelets)對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。

小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的。在許多學(xué)科領(lǐng)域，如：信號(hào)分析、圖像處理、量子力學(xué)、軍事電子對(duì)抗與武器的智能化，計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮、醫(yī)學(xué)成像與診斷，地震勘探數(shù)據(jù)處理、邊緣檢測(cè)、音樂與語音人工合成、大型機(jī)械的故障診斷、大氣與海洋波的分析、分形力學(xué)、流體湍流以及天體力學(xué)等方面，都已獲得了廣泛的應(yīng)用。其具體的應(yīng)用實(shí)例包括：數(shù)學(xué)方面的數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等，信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等，圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識(shí)別與診斷、去污等，醫(yī)學(xué)成像方面的縮短B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間以及提高分辨率，

等等。

現(xiàn)如今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的重要組成部分。眾所周知，信號(hào)處理的目的是準(zhǔn)確的分析、正確的診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確的重構(gòu)或恢復(fù)。而小波分析的許多應(yīng)用都可以歸結(jié)為信號(hào)處理的問題。目前，對(duì)于平穩(wěn)的時(shí)不變信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅里葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中所遇到的信號(hào)絕大多數(shù)是非平穩(wěn)的，小波分析為分析這種非平穩(wěn)信號(hào)提供了有效的處理工具。

6.2連續(xù)小波變換

6.2.1從短時(shí)傅里葉變換到小波變換由第五章時(shí)頻分析部分的介紹可知，短時(shí)傅里葉變換通過引入一個(gè)滑動(dòng)的窗函數(shù)w(t)，然后對(duì)窗函數(shù)內(nèi)的信號(hào)與窗函數(shù)的乘積進(jìn)行傅里葉變換，再讓窗函數(shù)沿時(shí)間軸移動(dòng)，就可得到信號(hào)頻譜隨時(shí)間變化的規(guī)律。這樣，

信號(hào)x(t)對(duì)于給定的窗口函數(shù)w(t)的短時(shí)傅里葉變換:

（6.2.2）

給出了信號(hào)x(t)的時(shí)間和頻率的二維分布。

對(duì)于（6.2.2）式定義的短時(shí)傅里葉變換，

如果取高斯(Gauss)函數(shù)作為窗函數(shù)，即

α>0（6.2.3）

則此時(shí)窗口傅里葉變換演變成了戈伯(Gabor)變換:（6.2.4）

不論是短時(shí)傅里葉變換還是戈伯變換，由于使用了一個(gè)可移動(dòng)的時(shí)間窗函數(shù)，使其具有了一定的時(shí)間分辨率。但是，它們還存在一些自身的問題，其中最主要的就是時(shí)間分辨率與頻率分辨率之間的矛盾。根據(jù)海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理,我們不可能知道在任何一個(gè)時(shí)刻存在何種頻率分量，最多我們可以了解在某一個(gè)時(shí)間段上存在的頻譜分量。對(duì)于時(shí)間，我們可以準(zhǔn)確地確定某一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，但是頻率則是另外的一個(gè)概念，它指的是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，某一個(gè)量的變化次數(shù)，這從頻率的定義中就可以看得到。

圖

6.2.1不同窗寬下分段正弦信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換結(jié)果

6.2.2連續(xù)小波變換

1.連續(xù)小波變換的定義設(shè)x(t)是平方可積函數(shù)，記作 ，ψ(t)是基小波或“母小波函數(shù)”，則

(6.2.5)稱之為x(t)的連續(xù)小波變換。顯然，該變換與兩個(gè)參數(shù)a和τ有關(guān)，其中a>0被稱為尺度因子，而τ則反映小波函數(shù)在變換中的位移。

之所以命名為小波變換,主要是基于以下兩方面的原因：其一，小波的“小”是指它的基函數(shù)的支撐區(qū)域是有限的，“波”是指基函數(shù)是振蕩的;母小波則是指所有在變換中用到的窗函數(shù)都是由它推導(dǎo)而來，或者說母小波是其它窗函數(shù)的原型；其二，變換的概念與短時(shí)傅里葉變換是一樣的，但是并不像在STFT中得到關(guān)于信號(hào)的頻率參數(shù)，而是得到尺度參數(shù)，

它被定義為頻率的倒數(shù)。

對(duì)這樣的定義方式作如下說明：（1）

基小波函數(shù)可能為復(fù)函數(shù)，例如Morlet小波的表達(dá)式為

(6.2.6)它是在高斯包絡(luò)下的負(fù)指數(shù)函數(shù)。（2）尺度因子的作用是將基小波作伸縮變換，在不同的尺度因子下，小波的持續(xù)時(shí)間隨a的加大而增寬。

（3）在ψaτ前面所加的因子 的作用是保證在不同的尺度因子下的小波函數(shù)的能量保持一致。即，設(shè)E=∫|ψ(t)|2dt作為基本小波的能量，則對(duì)基本小波進(jìn)行移位和伸縮后得到的ψaτ(t)的能量為

(6.2.7)

2.小波變換與短時(shí)傅里葉變換的比較將小波變換與短時(shí)傅里葉變換作比較，我們將會(huì)看到兩者的聯(lián)系。連續(xù)小波變換是短時(shí)傅里葉變換的一個(gè)發(fā)展，它的提出解決了分析的精度問題。兩者具有類似的操作，都要與一個(gè)“窗函數(shù)”相乘，并且變換都是在時(shí)間域上分段進(jìn)行的。小波變換與短時(shí)傅里葉變換的不同之處在于：（1）對(duì)于加窗后的信號(hào)并不是進(jìn)行傅里葉變換，所以信號(hào)變換后的表現(xiàn)形式是不同的；（2）窗函數(shù)的寬度在對(duì)每一個(gè)單獨(dú)的頻譜計(jì)算時(shí)是變化的，這也是小波變換的一個(gè)最顯著的特征。

需要明確的是：在小波變換中的尺度類似于地圖中的比例尺，大的比例對(duì)應(yīng)的是一個(gè)對(duì)信號(hào)的全局的概略描述，而小的比例則相應(yīng)地對(duì)應(yīng)于細(xì)節(jié)性的描述。從信號(hào)頻率的角度來看，低的頻率（大尺度）對(duì)應(yīng)信號(hào)的整體信息，而高頻率分量則對(duì)應(yīng)于在信號(hào)內(nèi)部隱藏的細(xì)節(jié)信息。在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，高頻分量（對(duì)應(yīng)小波分析的小尺度）一般并不是持續(xù)于信號(hào)的始終,而是在某些時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)，表現(xiàn)為信號(hào)上的尖峰；低頻分量通常則是有著長的持續(xù)時(shí)間。這些是多分辨分析方法的物理基礎(chǔ)。在具體計(jì)算中，為方便起見，小波變換通常從尺度1開始，其后尺度不斷增大，因此對(duì)于頻率的分析也從高頻分析向低頻分析的方向進(jìn)行。在短時(shí)傅里葉變換中，不同的時(shí)刻和不同的頻率上都采用相同的分辨率，而小波變換則對(duì)不同的頻率分量采取不同的分析精度。

圖6.2.2給出了小波變換的分辨率特性的圖解。由圖示可知，在分析低頻成分時(shí)采用長的時(shí)間窗和短的頻率窗，而分析高頻成分時(shí)則采用短的時(shí)間窗和長的頻率窗。值得注意的是,小波變換中的變換軸和尺度軸并不是對(duì)應(yīng)于STFT中的時(shí)間軸和頻率軸，

它們只是在變換運(yùn)算中的計(jì)算的樣本。

圖

6.2.2小波變換的分辨率特性的圖解

3.連續(xù)小波變換的頻率域表達(dá)式在定義了連續(xù)小波變換后，

對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行傅里葉變換,可以得到

其中X(Ω)和Ψ(Ω)分別對(duì)應(yīng)于信號(hào)x(t)與母小波函數(shù)ψ(t)的傅里葉變換。(6.2.8)式可以由傅里葉分析理論簡單得到證明：

所以有

推出

從以上的表達(dá)式可以看到,從頻域上來看，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換的傅里葉變換相當(dāng)于信號(hào)的頻譜與小波函數(shù)頻譜共軛的乘積，

因此相應(yīng)地有如下結(jié)論：

（1）如果Ψ(Ω)是幅頻特性比較集中的帶通函數(shù)，則小波變換便具有表征待分析信號(hào)X(Ω)頻域上局部性質(zhì)的能力。例如，對(duì)于Morlet小波 的頻譜 便具有這樣的特點(diǎn)，

如圖6.2.3(a)所示它是中心頻率在ω0的高斯型函數(shù)。

（2）對(duì)應(yīng)于從母小波函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到的小波基而言，膨脹系數(shù)a取得越大，則小波基的支撐區(qū)域越大，而反映在頻域上，則相應(yīng)的小波基的傅里葉變換的寬度就越大。在后續(xù)的部分可以證明：在小波變換的結(jié)果中，大的尺度對(duì)應(yīng)的是信號(hào)中的低頻分量，而小的尺度則對(duì)應(yīng)于信號(hào)的高頻部分。

（3）采用不同的尺度a作處理時(shí)，各個(gè)Ψ(aΩ)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率／帶寬”為常數(shù)。仍以Morlet小波為例：當(dāng)a=1時(shí)，ψ(t)的傅里葉變換的中心頻率為ω0，帶寬為 。而取a＝2時(shí),ψ(t/2)的傅里葉變換為 ，因此這時(shí)的中心頻率為ω0/2，而相應(yīng)的帶寬也降到 ，如圖6.2.3(b)所示。顯然，兩種情況下具有相同品質(zhì)因數(shù)，即圖

6.2.3尺度伸縮時(shí)小波函數(shù)的恒Q性

6.2.3連續(xù)小波變換的性質(zhì)根據(jù)連續(xù)小波變換的定義,可以得到如下的性質(zhì)：

1.疊加性如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,τ)，y(t)的連續(xù)小波變換是WTy(a,τ)，則z(t)=k1x(t)+k2y(t)的連續(xù)小波變換是k1WTx(a,τ)+k2WTy(a,τ)。2.時(shí)移性質(zhì)如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,τ)，則x(t-t0)的連續(xù)小波變換是WTx(a,τ-t0)，也就是說，x(t)的時(shí)移-t0對(duì)應(yīng)于小波變換的τ移位t0

。

3.尺度變換如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,τ)，則有 的連續(xù)小波變換是。

4.交叉項(xiàng)的性質(zhì)由于連續(xù)小波變換是線性變換，滿足疊加性，因此不存在交叉項(xiàng)，但是由它引申出的能量分布函數(shù)|WTx(a,τ)|2卻有以下交叉項(xiàng)的表現(xiàn)：設(shè)x(t)=x1(t)+x2(t)，則有其中和分別是 和 的輻角。

5.小波變換的內(nèi)積定理以基小波ψ(t)分別對(duì)x1(t)和x2(t)作小波變換。設(shè)x1(t)的連續(xù)小波變換是

(6.2.10)x2(t)的連續(xù)小波變換是

(6.2.11)其中

則有

式中

(6.2.12)該定理稱之為小波變換的內(nèi)積定理，也稱為Moyal定理。

(6.2.12)式可以寫為更加明確的形式，

左邊的內(nèi)積是對(duì)a和τ的雙重積分，有

(6.2.13)6.2.4小波變換的反演以及對(duì)基小波的要求

1.容許條件

當(dāng)

時(shí)才能夠由函數(shù)的小波變換WTx(a,τ)反演出原函數(shù)x(t)。這時(shí)有

(6.2.14)在上面的表達(dá)式中

就是對(duì)ψ(t)提出的容許性條件。

從上面的容許性條件我們也可以看到：能夠用來作為基小波ψ(t)的函數(shù)，最起碼要滿足Ψ(Ω=0)=0。這說明Ψ(Ω)必須具有帶通性質(zhì)，而且ψ(t)必然是具有正負(fù)幅度交替的振蕩波形，這也是“小波”之名的由來。

證明

因?yàn)?/p>

所以

2.能量的比例性根據(jù)分析,對(duì)連續(xù)小波變換能夠得到類似于傅里葉分析中的巴塞瓦爾定理的結(jié)論，即小波變換的幅度平方的積分和信號(hào)的能量成正比,(6.2.15)

3.正規(guī)性條件對(duì)于函數(shù)而言，當(dāng)滿足小波變換的容許性條件時(shí)，就可以作為基本的小波函數(shù)，但是在實(shí)際上的要求往往要更高一些，對(duì)基小波函數(shù)還提出了“正規(guī)性條件”。這是為了使Ψ(Ω)在頻域上有更好的局部特性。而為了達(dá)到此目的，要求|WTx(a,τ)|隨著a的減小而迅速減小。這就要求ψ(t)的前n階原點(diǎn)矩等于0，而且n值越高越好，即要求：p=1～n

(6.2.16)此要求的相應(yīng)頻域表示為：Ψ(Ω)在Ω=0處有高階零點(diǎn)，且階次越高越好（一階零點(diǎn)為容許條件）,(6.2.17)

式中，n愈大愈好。

4.小波變換的重建核（ReproducingKernel）與重建核方程重建核方程是小波變換的另一個(gè)重要性質(zhì)，它說明小波變換的冗余性。即a-τ在半平面上的各個(gè)點(diǎn)的小波變換是相關(guān)的。在(a0,τ0)處的小波變換WTx(a0,τ0)可以表示成半平面(a∈R+,τ∈R)上其它各處WT值的總貢獻(xiàn)：在上面的表達(dá)式中，

(6.2.19)可以看出,Kψ是小波函數(shù)ψaτ(t)與 的內(nèi)積，它反映的是兩者的相關(guān)程度，稱為重建核；而(6.2.18)式稱為重建核方程。6.2.5幾種常用的基本小波基

1.Morlet小波Morlet小波是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)，

即

(6.2.20)(6.2.21)圖6.2.4是Morlet小波（ω0=6），其中，實(shí)線代表實(shí)部，虛線代表虛部。這是一個(gè)經(jīng)常會(huì)用到的小波，從它的表達(dá)式以及傅里葉變換中我們可以看到，該小波的時(shí)域和頻域的局部特性都比較好。雖然從嚴(yán)格的意義上來講，它并不是有限支撐的，同時(shí)也不滿足容許條件，因?yàn)棣?Ω=0)≠0。不過在實(shí)際工作中，只要取ω0≥5，便近似地滿足這一條件。另外，由于Ψ(Ω)在Ω=0處的斜率很小，所以它在Ω=0處的一、二階導(dǎo)數(shù)也是近似為0的。圖

6.2.4Morlet小波時(shí)頻域波形2.Marr小波（墨西哥草帽小波）Marr小波是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（差負(fù)號(hào)），

它的表達(dá)式如下：

(6.2.22)(6.2.23)其波形圖見圖6.2.5。在Ω=0處，Ψ(Ω)有二階零點(diǎn)，所以滿足容許條件，而且其小波系數(shù)隨Ω衰減得很快。Marr小波比較接近人眼的空間響應(yīng)特性。

圖

6.2.5Marr小波時(shí)頻域波形

3.DOG（DifferenceofGaussian）小波DOG小波是兩個(gè)尺度差

1倍的高斯函數(shù)之差，

其表達(dá)式為

(6.2.24)(6.2.25)

其波形圖見圖6.2.6。它也保證Ψ(Ω=0)=0及 ，即在Ω=0處有二階零點(diǎn)。

圖

6.2.6DOG小波時(shí)頻域波形

4.Harr小波Harr小波函數(shù)是一組互相正交歸一的函數(shù)集，它是支撐域在t∈0,1］范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波,即

(6.2.26)由于 ,但 ,因此，Ψ(Ω)在Ω=0處只有一階零點(diǎn)。Harr小波在時(shí)間域上是不連續(xù)的，因此作為基小波性能并不是很好，但它同時(shí)也具有如下的優(yōu)點(diǎn)：一是計(jì)算方便；二是ψ(t)不但與ψ(2jt)(j∈Z)相正交，即∫ψ(t)ψ(2jt)dt=0,而且也與自己的整數(shù)位移正交，即∫ψ(t)ψ(t-k)dt=0。因此，在a=2j的多分辨率系統(tǒng)構(gòu)成一組最簡單的正交歸一的小波族。

5.樣條小波（SplineWavelet）樣條函數(shù)在曲線擬合中是用來使擬合的曲線不但本身平滑，而且導(dǎo)數(shù)也平滑的函數(shù)。因此，它必定是低通函數(shù)，不是帶通函數(shù)，不能用作小波。但是，樣條函數(shù)卻能夠?qū)С鲆唤M具有帶通性質(zhì)的小波函數(shù)。下面對(duì)樣條小波作以簡單說明。三次樣條函數(shù)在任意兩個(gè)整數(shù)k,k+1之間，用一個(gè)三次多項(xiàng)式來表示，而且整個(gè)曲線一次連續(xù)可微。三次樣條小波的頻率域表達(dá)式是(6.2.27)式中

∑8(Ω)是 的6階導(dǎo)數(shù)。三階樣條小波的圖形見圖6.2.7，它在

Ω=0處有三階零點(diǎn)。

圖

6.2.7三次樣條小波時(shí)頻域波形

6.Daubechies小波法國學(xué)者Daubechies對(duì)尺度取2的整數(shù)次冪，即a=2j,j∈Z+

條件下的小波變換進(jìn)行了較為深入的研究,提出了一類具有以下特點(diǎn)的小波，該小波故命名為Daubechies小波。（1）在時(shí)域上是有限支撐的，即ψ(t)的長度有限。而且其高階原點(diǎn)矩 N的值越大，ψ(t)的長度就越長。（2）在頻域上，Ψ(Ω)在Ω=0處，有N階零點(diǎn)。（3）ψ(t)和它的整數(shù)位移正交歸一，即

有關(guān)ψ(t)的若干結(jié)果列舉如下：（1）小波函數(shù)ψ(t)可以由所謂的“尺度函數(shù)”（Scalingfunction）φ(t)求出來。φ(t)的長度有限，支撐域在t=0～(2N-1)范圍內(nèi)。圖6.2.8左邊示出不同N值下的φ(t)波形。（2）

ψ(t)是φ(2t)的位移加權(quán)和：

(6.2.28)k的范圍為2-2N～1。N值不同，權(quán)重gk的值也不同，如表6.2.1所列。由于φ(t)是有限支撐的，因而由式(6.2.28)求得的ψ(t)也是有限支撐的。它的長度和φ(t)一樣，也是2N-1，如圖6.2.8右邊所示。圖6.2.8N=2,3,4,5,7,10時(shí)各階Daubechies小波ψ(t)和相 應(yīng)的尺度函數(shù)φ(t)(一)圖6.2.8N=2,3,4,5,7,10時(shí)各階Daubechies小波ψ(t)和相 應(yīng)的尺度函數(shù)φ(t)(二)

6.3離散小波變換

從連續(xù)小波變換的重建核方程的討論中可以看到：對(duì)一維信號(hào)x(t)作小波變換的結(jié)果為二維的WTx(a,τ)，其信息是有冗余的。因此從數(shù)據(jù)壓縮以及節(jié)約計(jì)算的角度上看，我們希望只在一些離散的尺度和位移的取值下計(jì)算小波變換，而又不至于丟失信息。這樣將具有很大的實(shí)用意義。小波變換的離散化首先是變換尺度的離散化，目前通用的做法是對(duì)尺度按照冪級(jí)數(shù)作離散化。即令a取 ,此時(shí)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為。

再來看對(duì)于位移的離散化，當(dāng) 時(shí)，即對(duì)應(yīng)j=0的情況，τ可以以某一個(gè)基本的間隔τ0作均勻地采樣。而在其它的尺度下，由于 寬度是ψ(t)的倍，因此采樣間隔相應(yīng)地也擴(kuò)大為原來的 倍（相當(dāng)于其頻率降低為原來的 ）。也就是說，在某一個(gè)j值下沿τ軸以 為間隔均勻采樣仍然可以保證信息不丟失。這樣，在計(jì)算中小波函數(shù)ψaτ(t)將被改寫為(6.3.1)

記為 。

在這些點(diǎn)上計(jì)算得到的小波變換記作：

j=0,1,2,…;k∈Z(6.3.2)這種小波變換通常被稱為“離散小波變換”,也稱為離散a,τ?xùn)鸥裣碌男〔ㄗ儞Q。在實(shí)際的工作中，最常見的情況是取a0=2，此時(shí)a取值為20,21,…,2j。如果采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并以ln2為坐標(biāo)單位，則a的離散值將如圖

6.3.1縱軸所示。

圖

6.3.1a-τ平面的二進(jìn)離散柵格

在a=2j

時(shí)沿τ軸的相應(yīng)的采樣間隔是2jτ0，即j每增加1，采樣間隔將擴(kuò)大1倍。此時(shí)a-τ平面內(nèi)的采樣點(diǎn)將如圖6.3.1所示。此時(shí)，連續(xù)小波變換中的基函數(shù)ψaτ(t)變?yōu)橛洖棣譲k(t),j=0,1,2,…;k∈Z。為了書寫簡便，往往認(rèn)為τ0=1（也就是把τ軸用τ0加以歸一），這樣就有

(6.3.3)相應(yīng)地，離散小波變換可表示為

(6.3.4)

在對(duì)信號(hào)采用離散小波分析之前，首先要解決以下兩個(gè)方面的問題。問題一：信號(hào)的離散小波變換能不能完整地表征信號(hào)x(t)？也就是說,由離散小波變換的結(jié)果能否穩(wěn)定地重建信號(hào)x(t)?

問題二：是不是任意的函數(shù)x(t)都可以表示為以小波函數(shù) 為基本單元的加權(quán)和，如果是，各個(gè)權(quán)重cjk應(yīng)當(dāng)如何去求？

6.3.1框架的概念定義線性變換[Tx]j=〈x(t),φj(t)〉，簡單記作〈x,φj〉,j∈Z。如果要求能夠用Tx表征x，則該變換應(yīng)該至少能夠滿足下列條件：

(1)惟一性：如果x1=x2，則Tx1=Tx2必定成立。

(2)正變換的連續(xù)性：如果x1與x2很接近，則Tx1=〈x1,φj〉(j∈Z)，也必然與Tx2=〈x2,φj〉(j∈Z)很接近。表達(dá)成數(shù)學(xué)形式，也就是要求0<B<∞

這是因?yàn)?，令x=x1-x2，

代入上式便得到

(6.3.5)

當(dāng)x1與x2很接近時(shí)，‖x1-x2‖2將任意小。由上式可以看到此時(shí) 也將任意小，即Tx1

和Tx2很接近。

如果進(jìn)一步要求此變換的反演也是連續(xù)的，這時(shí)就要滿足下述的第三個(gè)要求：

(3)反演連續(xù)性：當(dāng)〈x1,φj〉(j∈Z)與〈x2,φj〉(j∈Z)十分接近時(shí)，x1,x2也十分接近。即要求：0<A<∞

(6.3.6)把(6.3.5)式和(6.3.6)式合到一起，

得到如下條件:(6.3.7)合理的Tx變換應(yīng)該滿足以上的條件。滿足該條件的［φj|j∈Z］便稱為構(gòu)成一個(gè)“框架”。

對(duì)(6.3.7)式的含義還可以作這樣的解釋：范數(shù)‖x‖≠0的任意函數(shù)，其在框架上的投影〈x,φj〉至少有一個(gè)不為0；范數(shù)‖x‖≠∞的任意函數(shù)，其在框架上的各個(gè)投影的平方和必定小于無窮。當(dāng)A=B時(shí),稱之為“緊框架”（TightFrame），此時(shí)有 。如果此時(shí)不但有A=B，同時(shí)還有A=1，則有 。由此可以看出，此時(shí)各個(gè)φj構(gòu)成一組規(guī)范正交基。設(shè)有［φj|j∈Z］，滿足如下要求：

（1）

（2）

當(dāng)

時(shí),便有cj=0，也就是要求［φj|j∈Z］

是一組線性獨(dú)立的基。此時(shí)稱［φj|j∈Z］為一組Riesz基。

通過比較,可以看到框架與Riesz基的含義是很相近的，只是后者的要求更強(qiáng)一些，Rieze基除了要滿足條件（1）外,還要滿足線性獨(dú)立的要求。

6.3.2通過框架對(duì)原函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)如前所述，在A=B=1的情況下，φj是一組規(guī)范正交基，因此重建公式是(6.3.8)在緊框架的情況下，重建的工作也不難，表達(dá)式為

(6.3.9)但是在的A≠B情況下，重建工作相對(duì)而言困難一些。為了說明此點(diǎn)，定義算子F如下：

(6.3.10)并記作g,則其逆運(yùn)算可以表示為

(6.3.11)令F-1φj=φj,則上式又可以寫為

(6.3.12)聯(lián)系小波變換φj=ψjk,則可以表示為

(6.3.13)(6.3.12)式和(6.3.13)式就是重建的形式上的公式表示。該公式的意義在于指出為對(duì)原函數(shù)進(jìn)行重建時(shí)所需要的基函數(shù)是φj,ψjk,而不是φj和ψjk。但是，此式只具有形式上的意義，還不能直接用于計(jì)算，因?yàn)棣譲k=F-1ψjk的具體計(jì)算方法還不明確，而且也不能保證ψjk可以由一個(gè)基本小波函數(shù)通過位移和伸縮得到：

(6.3.14)只有在(6.3.14)式成立的條件下，才會(huì)有

(6.3.15)這樣的

稱為ψjk（或φj）

的“對(duì)偶”（dual）。

(1)也構(gòu)成一個(gè)框架，其上、下界恰好與φj的上、下界成倒數(shù)關(guān)系,即(6.3.16)(2)在A與B比較接近時(shí)，作為一階近似，可以?。?/p>

(6.3.17)因此有

(6.3.18)更確切地說，

此時(shí)

其中Rx表示對(duì)x(t)作一階逼近的殘差。

(6.3.19)(3)如果希望把φj求得更加精確，

則可以用級(jí)數(shù)展開：

(6.3.20)式中

Id是單位算子,xId=x。

6.3.3小波框架

(1)小波框架的定義：當(dāng)由基小波ψ(t)經(jīng)過伸縮與位移而引出的函數(shù)族 ，具有滿足(6.3.21)式的要求時(shí)，便稱［ψjk(t)|j∈Z+,k∈Z］構(gòu)成一個(gè)框架：0<A≤B<∞

(6.3.21)(2)ψjk(t)的對(duì)偶函數(shù) 也構(gòu)成一個(gè)框架。其框架的上、下界為ψjk(t)框架上、下界的倒數(shù)：

(6.3.22)(3)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重建。

對(duì)于緊框架,有

(6.3.23)所以有

(6.3.24)對(duì)于一般的情況，當(dāng)A、B比較接近時(shí)，作為一階逼近，可以取：

(6.3.25)所以

(6.3.26)逼近誤差的范數(shù)為

(6.3.27)從該式可以看出，A和B越接近，則誤差越小。

(4)在一般的情況下，框架中的各個(gè)ψjk(t)并不正交，甚至還有可能線性相關(guān)，

因此經(jīng)過框架處理后所含的信息是有冗余的。

在緊框架的情況下,(6.3.28)又，在(j0,k0)處的WT為

(6.3.29)將(6.3.28)式代入(6.3.29)式，可以得到

(6.3.30)式中

和連續(xù)小波變換相同，(6.3.30)式給出在任意一點(diǎn)(j0,k0)處小波變換的值與柵格上其它各點(diǎn)的小波變換的內(nèi)在聯(lián)系，稱之為重建核方程，Kψ被稱為重建核。該式說明,并不是任意函數(shù)F(j,k)都可以作為離散柵格上的小波變換，而是必須滿足(6.3.30)式。只有當(dāng)Kψ(j0,k0;j,k)=δ(j-j0,k-k0)時(shí)，信息才是沒有冗余的，此時(shí),各個(gè)ψjk(t)相互正交。例如支撐寬度為1的Haar小波便具有這一性質(zhì)。因?yàn)榫臀灰苼砜?，?t-k1)與ψ(t-k2)不重疊，所以相互正交，如圖6.3.2(a)所示。就尺度而言，ψj1k(t)與ψj2k(t)也正交，如圖6.3.2(b)所示。圖

6.3.2Haar小波的正交性

從頻率域上看，還可以推導(dǎo)出小波框架的下列性質(zhì)：

(1)滿足小波框架條件的ψjk(t)，其基本小波函數(shù)ψ(t)必定滿足容許性條件。這是因?yàn)橛尚〔蚣軛l件可以演化出下式：

(6.3.31)

可見Ψ(Ω)滿足容許條件。

(2)小波框架的頻率域表示：

式中

0<α≤β<∞

(6.3.32)

6.3.4多分辨率分析與離散序列的小波變換

1.由理想濾波器組引入

當(dāng)信號(hào)的采樣頻率滿足采樣定理要求時(shí)，歸一化頻帶ω=Ω/fs被限制在-π～+π之間，fs為采樣頻率。此時(shí)可以分別用理想低通與高通濾波器H0與H1將它分解（對(duì)正頻率而言）為頻帶在0～π/2的低頻部分，和頻帶在π/2～π的高頻部分，分別反映信號(hào)的概貌與細(xì)節(jié)，如圖6.3.3所示。處理后兩路輸出必定正交（因?yàn)轭l帶不交疊），而且由于兩種輸出的帶寬均減半，因此相應(yīng)的采樣頻率可以減半，而不至于引起信息的丟失（帶通信號(hào)的采樣頻率決定于其帶寬，而不是取決于其頻率上限）。這就是圖6.3.3上在濾波后引入“二抽取”環(huán)節(jié)的理由。所謂的二抽取,就是將輸入序列每隔一個(gè)輸出一次（例如只取偶數(shù)），組成長度縮短一半的新序列。圖

6.3.3頻帶的理想劃分示意圖

1）頻率空間的劃分如果把原始x(n)占據(jù)的總頻帶（0～π）定義為空間V0，經(jīng)過第一級(jí)分解后，該空間被分解為兩個(gè)子空間：低頻的V1（頻帶0～π/2）和高頻的W1（頻帶π/2～π）。經(jīng)過第二級(jí)分解后，V1被分解為低頻的V2（頻帶0～π/4）和高頻的W2（頻帶π/4～π/2）……，如圖6.3.4(b)所示，這種子空間的分解過程可以記作：其中,各個(gè)Wj是反映Vj-1空間信號(hào)細(xì)節(jié)的高頻子空間;Vj是反映Vj-1信號(hào)概貌的低頻子空間。將上式分別代入，可以看到這些子空間之間有以下的性質(zhì)：

逐級(jí)包含：

逐級(jí)替換：

式中,符號(hào)⊕表示“直和”;符號(hào)ab表示b被a包含。

2）各個(gè)帶通空間Wj的恒Q特性由圖6.3.4(b)可以看到,W1空間的中心頻率為 ，帶寬為 ；而W2空間的中心頻率為，較W1減半，而其帶寬為，也較W1減半……。

可見,各個(gè)Wj的品質(zhì)因數(shù)是相同的。

3）各級(jí)濾波器的一致性各級(jí)的低通濾波器H0和高通濾波器H1是一樣的。這是因?yàn)榍耙患?jí)輸出被二抽取，而濾波器的設(shè)計(jì)是根據(jù)歸一頻率來進(jìn)行的。例如，第一級(jí)H0的真實(shí)帶寬是 （Ts是采樣間隔），其歸一化頻率則是 。第二級(jí)H0的真實(shí)帶寬是 ，但是歸一化頻率卻仍然是 ，這是因?yàn)榈诙?jí)輸入的采樣間隔是2Ts，而

4）樹形分解帶來的好處其一，由于在樹形分解中采用的濾波器都是一樣的，這樣可以大大減少對(duì)于濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)的工作量。其二，樹形分解的計(jì)算量較小。如果如圖6.3.4所示，在第一級(jí)的計(jì)算量是c0(≈2×［濾波器階數(shù)］×［總樣本數(shù)］)，則以后的各級(jí)由于樣本數(shù)的減半，相應(yīng)的計(jì)算量也減半。最后,最重要的是樹形分解適應(yīng)“由粗及精”的多分辨率分析過程。圖6.3.4頻帶的逐級(jí)劃分示意圖其三，信號(hào)經(jīng)過分解后可以進(jìn)行傳輸，然后在接收端進(jìn)行重建。重建是分解的逆過程，其基本步驟如圖6.3.5所示，每一個(gè)支路先作“二插值”（即在輸入序列每兩個(gè)相鄰的樣本之間補(bǔ)一個(gè)0，使數(shù)據(jù)長度增加1倍），從而恢復(fù)二抽取前序列的長度。然后作相應(yīng)的低通濾波G0(ω)或者帶通濾波G1(ω)，其目的在于平滑補(bǔ)零后的波形，也就是去掉補(bǔ)零后產(chǎn)生的鏡像譜。在H0和H1是理想濾波器的情況下，令G0=H0，G1=H1即可。從時(shí)域上來看，理想濾波就是將各個(gè)樣本值乘以插值函數(shù)（sinc函數(shù)），再移位求和，以恢復(fù)原信號(hào)。在逐級(jí)重建的過程中就實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)由粗及精的觀察。

圖

6.3.5信號(hào)重建示意圖

2.由函數(shù)空間的剖分對(duì)多分辨分析的解釋

1）函數(shù)空間的逐級(jí)劃分其出發(fā)點(diǎn)與上節(jié)相似，即把空間作逐級(jí)二分解,從而產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間：j是-∞～+∞范圍的整數(shù)，j值越小,空間越大。圖6.3.6表示了這一剖分的示意圖。而且這樣的劃分是完整的，這是指：

圖

6.3.6函數(shù)空間的二剖分

(1)當(dāng)j→-∞時(shí)，Vj→L2(R)，包含整個(gè)平方可積的實(shí)變函數(shù)空間。在逐級(jí)包含的情況下，上式等效為：

(2)當(dāng)j→+∞時(shí)，即空間最終剖分到空集為止。在逐級(jí)包含的情況下，上式等效為： 。上述的剖分顯然保證了空間Vj與空間Wj正交，并且各個(gè)Wj之間也是正交的，即：

Vj⊥Wj,Wj⊥Wj’,j≠j′。

。

進(jìn)一步還要求剖分具有如下的兩項(xiàng)特性：

(1)位移不變性：函數(shù)的時(shí)移不改變其所屬的空間。即：如果x(t)∈Vj，則x(t-k)∈Vj仍然成立。

(2)二尺度伸縮性：如果x(t)∈Vj，則必然有2）在上述的基礎(chǔ)上對(duì)各個(gè)子空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析

(1)子空間V0：設(shè)V0中有低通的平滑函數(shù)φ(t)，它的整數(shù)位移集合｛φ(t-k);k∈Z｝是V0中的正交歸一基。稱φ(t)為尺度函數(shù)（ScalingFunction）。正交歸一性可以記為

〈φ(t-k),φ(t-k′)〉=δ(k-k′)(6.3.34)或者記作：

〈φ0k(t),φ0k′(t)〉=δ(k-k′)(6.3.35)其中φ0k是

在j=0時(shí)的另一種表現(xiàn)形式。

同時(shí),根據(jù)正交歸一化性，

有

∫φ(t)dt=1(6.3.36)

因此,在V0中的任意函數(shù)必定可以被表示為｛φ0k(t)|k∈z｝的線性組合。也就是說，設(shè)P0x(t)代表x(t)在V0上的投影，則必有

(6.3.37)

其中，是線性組合的各個(gè)權(quán)重，其值求法如下：把上式兩邊對(duì)φ0k(t)作內(nèi)積，

由(6.3.35)式的正交歸一性,得

(6.3.38)

(2)子空間V1：如果φ(t)∈V0，則根據(jù)二尺度伸縮性， 必定成立。而且如果｛φ0k(t)|k∈Z｝是V0中的正交歸一化的基，則｛φ1k(t)|k∈Z｝，必然是V1空間中的正交歸一化基。

即：

(6.3.39)因此,V1中的任何函數(shù)，如P1x(t)，必然可以被表示為｛φ1k(t)|k∈Z｝的線性組合：(6.3.40)而且其權(quán)重為： 。P1x(t)被稱作是x(t)在V1中的平滑逼近。它也同時(shí)就是x(t)在分辨率j=1下的概貌，x(1)k也被稱為是x(t)在分辨率j=1下的離散逼近。(3)子空間W1：如果在子空間W0中能夠找到一個(gè)帶通函數(shù)ψ(t)，其整數(shù)位移的集合｛ψ(t-k)|k∈Z｝，構(gòu)成W0中的正交歸一基，則同樣根據(jù)二尺度變換性，必然有 成立，而且 必然構(gòu)成W1空間的一組正交歸一基：(6.3.41)又由于ψ(t)是帶通函數(shù)，

所以有

(6.3.42)因此，W1中的任意函數(shù)必然可以表示為｛ψ1k(t)|k∈z｝的線性組合?？梢赃@樣解釋，設(shè)D1x(t)是x(t)在W1上的投影，則必然有

(6.3.43)而且權(quán)重為(6.3.44)因?yàn)樵趯?duì)函數(shù)空間的劃分中有：V0=V1⊕W1，所以有

或者

(6.3.45)(6.3.46)6.3.5尺度函數(shù)和小波函數(shù)的一些重要性質(zhì)

1.二尺度差分方程二尺度差分方程是空間逐級(jí)剖分賦予φ(t)和ψ(t)的最基本的性質(zhì)。它是許多其它的性質(zhì)的基礎(chǔ)。它闡明了任意兩個(gè)相鄰空間劃分Vj-1→Vj,Wj內(nèi)基函數(shù)φj-1,k(t),φjk(t)和ψjk(t)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

由于

而Vj包含在Vj-1中，因此φj0(t)必定可以被表示為φj-1,k(t)=2-(j-1)/2φ(2-(j-1)t-k)的線性組合，因?yàn)棣誮-1,k(t)是Vj-1空間的正交歸一基，即(6.3.47)整理后,得

(6.3.48)類似的分析可應(yīng)用在Wj與Vj-1之間，得

(6.3.49)(6.3.48)式和(6.3.49)式就是二尺度差分方程，h0k與h1k分別是線性組合的權(quán)重。它們可以通過如下的計(jì)算來得到：(6.3.50)利用相同的方法可以得到

(6.3.51)二尺度差分關(guān)系存在于任意兩個(gè)相鄰的分辨級(jí)j-1和j之間。需要指出的是,在上面的差分方程中的權(quán)重h0k、h1k是與j

的具體值沒有關(guān)系的，不論是對(duì)哪兩個(gè)相鄰的空間,它們的值都是相同的。2.其它性質(zhì)（1）

h0k、h1k的總和：

（2）

頻域關(guān)系表達(dá)式：

,(6.3.53)(6.3.52)（3）

頻率域的初值：

(6.3.54)

（4）遞推關(guān)系。Φ(ω)、Ψ(ω)與H0(ω)、H1(ω)之間還具有如下的關(guān)系：令

則有

(6.3.55)

利用(6.3.55)式給出的遞推關(guān)系，有時(shí)可以用來解析地求得Φ(ω)、Ψ(ω),舉例如下：設(shè)H0′(ω)=cosω，則有

根據(jù)倍角公式：sin2ω=2cosωsinω，上式可以化為

當(dāng)j→∞時(shí),有sin(2-jω)→2-jω，因此可以將上面的表達(dá)式簡化為

（5）能量的完整性。由空間的劃分的完整性，必然有下面的能量完整性公式的成立：因?yàn)榍襧→∞

時(shí)有Vj→〈0〉

所以

(6.3.56)

同時(shí)還可以引申出:(6.3.57)

6.4小波分析的應(yīng)用

6.4.1小波變換用于表征信號(hào)的突變特征小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)就是具有在時(shí)間、頻率上突出信號(hào)局部特征的能力。在對(duì)信號(hào)進(jìn)行表示和描述中，通常信號(hào)的奇異點(diǎn)，如過零點(diǎn)、極值點(diǎn)等，更能夠刻畫信號(hào)的細(xì)節(jié)并在對(duì)信號(hào)進(jìn)行區(qū)分中起著重要的作用。因此，可以利用信號(hào)在多尺度上的綜合表現(xiàn)來描述信號(hào)，特別是它的突變點(diǎn)或瞬態(tài)特征。如果能夠通過小波變換提取出這些奇異點(diǎn)，則能夠更好對(duì)信號(hào)進(jìn)行描述。另外,如果能夠由小波變換得到的奇異點(diǎn)重建這些原始信號(hào)，則抽取的這部分奇異點(diǎn)還可以用于數(shù)據(jù)的壓縮。

對(duì)于此類問題,Mallat作了較多的工作，在他和相關(guān)的研究者的工作中，小波變換被定義為如下的卷積形式：(6.4.1)其中，

,即把小波變換看作是信號(hào)通過沖擊響應(yīng)

為ψa(t)系統(tǒng)后的輸出。

要利用小波變換來表征信號(hào)的突變特征，關(guān)鍵問題是分析小波變換的奇異點(diǎn)和信號(hào)變化劇烈處間的關(guān)系，即本節(jié)的主要任務(wù)。兩者的聯(lián)系建立在以下兩個(gè)基本概念的基礎(chǔ)上：（1）設(shè)θ(t)是一個(gè)起平滑作用的低通函數(shù)，如高斯函數(shù)則如圖6.4.1(a)所示，信號(hào)x(t)被θ(t)平滑后得到y(tǒng)(t)，再求y(t)的導(dǎo)數(shù)z(1)(t)。這與直接用dθ/dt對(duì)x(t)進(jìn)行處理是等效的，這一點(diǎn)使用Laplace變換可以很容易地得到證明。圖6.4.1兩個(gè)等效處理(a)一階導(dǎo)數(shù)情況；

(b)二階導(dǎo)數(shù)情況

（2）

對(duì)于任意一個(gè)低通的平滑函數(shù)θ(t)滿足

Θ

其各階導(dǎo)數(shù)，如dθ/dt、d2θ/dt2必定是帶通函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的微分定理，它們的頻率特性在Ω=0處必然有零點(diǎn)。

因此

都可以用來作為小波變換的基小波，如圖

6.4.2所示。

圖

6.4.2與圖

6.4.1等效的小波變換

把上述的概念結(jié)合起來，便得到如下的結(jié)論:

（1）如果ψ(1)(t)是某一個(gè)低通平滑函數(shù)θ(t)的一階導(dǎo)數(shù)，則可以用ψ(1)(t)對(duì)x(t)作小波變換。此時(shí)小波變換的零點(diǎn)就是dy/dt=0的點(diǎn)，也就是y(t)的極值點(diǎn)的所在［y(t)是x(t)被θ(t)平滑后的結(jié)果］；小波變換的極值點(diǎn)是在d2y/dt2=0的地方，也就是y(t)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在極限的情況（階躍）下它也就是階躍點(diǎn)。

（2）如果ψ(2)(t)是平滑函數(shù)θ(t)的二階導(dǎo)數(shù)，則可以用ψ(2)(t)對(duì)x(t)作小波變換。此時(shí)小波變換為零的點(diǎn)是y(t)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)d2y/dt2=0，極限的情況下也就是階躍點(diǎn)。這些結(jié)論對(duì)基小波的伸縮也是同樣適用的。

圖6.4.3是以階躍式邊沿和δ函數(shù)的尖峰形式突變作為例子，對(duì)上述的分析作圖式總結(jié)。它也是利用小波變換的過零點(diǎn)和極值點(diǎn)來檢測(cè)信號(hào)的局部突變的基礎(chǔ)。由圖6.4.3可以看到：對(duì)于突變點(diǎn)的位置,有時(shí)是由小波變換的過零點(diǎn)來反映的，有時(shí)則是由其極值點(diǎn)來反映的。一般而言，根據(jù)過零點(diǎn)作檢測(cè)不如根據(jù)極值點(diǎn)，因?yàn)檫^零點(diǎn)容易受到噪聲的干擾，而且有時(shí)過零點(diǎn)反映的不是突變點(diǎn)，而是信號(hào)在慢變化區(qū)間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。因此，檢測(cè)邊沿適宜采用如ψ(1)(t)型的反對(duì)稱形式小波，而檢測(cè)尖峰脈沖則宜采用如ψ(2)(t)型對(duì)稱型的小波。圖6.4.3用ψ(1)(t)和ψ(2)(t)作小波對(duì)階躍輸入及脈沖輸入的處理結(jié)果

同時(shí)需要指出的是,為了使這樣的檢測(cè)有效，必須滿足適當(dāng)?shù)臈l件：首先， 應(yīng)當(dāng)是某一個(gè)平滑函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)；其次，尺度a必須適當(dāng)，以便能夠使y(t)的突變點(diǎn)基本上反映待分析信號(hào)x(t)的突變點(diǎn)；第三,只有在適當(dāng)?shù)某叨认?，各個(gè)突變點(diǎn)引起的小波變換才能避免交疊干擾。因此，在處理時(shí)，需要把多個(gè)尺度結(jié)合起來綜合地進(jìn)行觀察。

由圖6.4.3還可以得到如下的結(jié)論：（1）當(dāng)θ(t)是對(duì)稱的平滑函數(shù)時(shí)（例如高斯函數(shù)），ψ(1)(t)的波形是反對(duì)稱的［ψ(1)(-t)=-ψ(1)(t)］，ψ(2)(t)的波形是對(duì)稱的［ψ(2)(-t)=+ψ(2)(t)］。（2）WTa(2)x(t)的波形是WTa(1)

x(t)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)棣?2)(t)是ψ(1)(t)的導(dǎo)數(shù)。（3）由于δ函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因而尖峰脈沖的小波變換大致是階躍式邊沿的小波變換的導(dǎo)數(shù)。（4）當(dāng)x(t)接近δ函數(shù)時(shí)，由于δ函數(shù)具有采樣特性，此時(shí)的WTax(t)的波形大致與ψ(t)的波形相近。6.4.2小波變換在信號(hào)與圖像壓縮中的應(yīng)用

1.信號(hào)的分解設(shè)｛Ｖk｝是L2(R)的一個(gè)多分辨率分析，Wk是Vk-1中關(guān)于Vk的補(bǔ)空間，對(duì)于任何一個(gè)f(x)∈L2(R)，設(shè)fN(x)是f(x)在VN中的投影，則有(6.4.2)其中，fk(x)∈Vk,gk(x)∈Wk。同時(shí)｛φ(2-kx-j)｝和｛ψ(2-kx-j)｝分別是空間Vk與Wk的Riesz基,則fk,gk能夠?qū)憺?6.4.3)(6.4.4)設(shè)｛aj｝,｛bj｝是分解序列，則fk,gk展開系數(shù)有如下分解算法：

(6.4.5)(6.4.6)信號(hào)分解的數(shù)據(jù)傳遞示意圖如圖6.4.4所示。圖中的下箭頭表示的是下采樣,即只保留原有采樣數(shù)的一半。

同樣,設(shè)｛pn｝,｛qn｝是兩尺度序列，則有重構(gòu)算法：

重構(gòu)的數(shù)據(jù)傳遞示意圖如圖6.4.5所示。圖中,向上的箭頭表示得到的采樣的數(shù)目是原來的兩倍。

圖

6.4.4小波分解示意圖

圖

6.4.5小波重構(gòu)示意圖

圖

6.4.6樣條小波對(duì)信號(hào)的分解

從理論上講，小波分解與重構(gòu)是對(duì)于L2(R)中的函數(shù)進(jìn)行的，即時(shí)域上是無限的，這時(shí)無論采樣點(diǎn)的間隔取多大，所得到的點(diǎn)都是無限多個(gè)。但是在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，信號(hào)的點(diǎn)數(shù)只可能是有限個(gè)。這樣在計(jì)算過程中涉及信號(hào)的起始點(diǎn)與終結(jié)點(diǎn)的計(jì)算就會(huì)發(fā)生一些誤差。由于在計(jì)算過程中，使用的濾波器長度一般都是較短的，因而必須尋找合適的方法來消除這些誤差。例如，可以用對(duì)稱的延拓?cái)?shù)據(jù)點(diǎn)的方法，設(shè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為M+1個(gè)，如c0,c1,…,cM，則可以得到延拓后的新的數(shù)據(jù)序列，｛c*j｝,j=-L,…,M+L，即數(shù)據(jù)向前和向后各延伸了L個(gè)數(shù)據(jù)，

這時(shí)：

j=-1,-2,…,-Lj=0,1,…,M

j=M+1,…,M+L

(6.4.8)這樣，當(dāng)采樣點(diǎn)允許時(shí)，可以向前和向后多采L個(gè)點(diǎn)或者外推計(jì)算L個(gè)點(diǎn)來進(jìn)行計(jì)算。但是在分解與重構(gòu)作圖時(shí)，這些點(diǎn)不出現(xiàn)（只是參加計(jì)算）。值得注意的是，增加的點(diǎn)數(shù)與小波、小波包分解的層數(shù)以及分解序列的長度都有著密切的關(guān)系。通常取L＝層數(shù)×分解序列的長度就夠了。

2.圖像分解利用小波變換對(duì)圖像進(jìn)行分解，首先需要介紹二元小波分析的概念。二元張量積小波分析的定義與二維傅里葉變換類似。引入L2(R)空間內(nèi)積的概念：(6.4.9)又設(shè)F和G是兩個(gè)有限維的線性空間。F和G的基底分別是…,f-1,f0,f1,…和…,g-1,g0,g1,…。此時(shí)，由figj(i,j=0,±1,±2,…)的元素為基底的空間H被稱為空間F與空間G形成的張量積空間，表示為(6.4.10)

設(shè)一元尺度函數(shù)φ1(x)生成一個(gè)多分辨率分析｛Vk1｝，而一元尺度函數(shù)φ2(x)生成一個(gè)多分辨率分析｛Vk2｝，則｛Vk1

｝與｛Vk2

｝生成的張量積空間為(6.4.11)由于Vk1的基底是｛2-k/2φ1(2-kx-j)｝，而V2k的基底是｛2-k/2φ2(2-kx-l)｝，因此Vk的基底為｛2-kφ1(2-kx-j)φ2(2-kx-l)｝。同時(shí)，設(shè)Vk1關(guān)于V1k-1的補(bǔ)空間是W1k，V2k關(guān)于V2k-1的補(bǔ)空間是Wk2，即(6.4.12)這時(shí)有

(6.4.13)其中有

(6.4.14)(6.4.15)這樣，由于 的基底為｛2-k/2φ1(2-kx-j)｝，而的基底為｛2-k/2ψ2(2-ky-l)｝，因此的基底為｛2-kφ1(2-kx-j)ψ2(2-ky-l)｝,記作:(6.4.16)

因而有的基底為 ，

同樣有

(6.4.17)

(6.4.18)

則 的基底為

的基底為

與一元小波變換只有一個(gè)尺度函數(shù)與一個(gè)小波函數(shù)不同的是，二元小波變換中有一個(gè)尺度函數(shù)φ(x,y)和三個(gè)小波函數(shù)ψ1(x,y)、ψ2(x,y)、ψ3(x,y)。與一元小波變換類似，由(6.4.13)式，對(duì)于二元小波變換我們也有直和分解：(6.4.19)這樣，對(duì)于每一個(gè)f(x,y)∈L2(R)，

都會(huì)有惟一的分解形式：

(6.4.20)其中，gk(x,y)∈Wk。

根據(jù)上述二元小波分解的討論，任意給定一個(gè)f(x,y)∈L2(R)，設(shè)fN(x,y)是f在二元多分辨分析VN中的投影。這時(shí)，對(duì)fk(x,y)∈Vk，gk(x,y)∈Wk，有(6.4.21)而gk(x,y)還可以進(jìn)一步分解為

(6.4.22)其中,

設(shè)｛al,j｝,｛｝(i=1,2,3)是由兩個(gè)一元分解序列生成的二元分解序列(6.4.23)有

i=1,2,3(6.4.25)(6.4.24)則有分解算法:(6.4.26)對(duì)圖像的分解如圖6.4.7所示，其中L表示低頻，H表示高頻，下標(biāo)1,2表示一級(jí)或者二級(jí)分解。分解的數(shù)據(jù)傳遞示意圖如圖

6.4.8所示。

圖

6.4.7圖像的小波分解示意圖

圖

6.4.8小波分解數(shù)據(jù)流程圖

同樣,設(shè)｛pl,j｝,｛｝(i=1,2,3)是由兩個(gè)一元二尺度序列得到的二元二尺度序列，即(6.4.27)因此，相應(yīng)地有圖像重構(gòu)算法:(6.4.28)圖

6.4.9是重構(gòu)的數(shù)據(jù)傳遞示意圖。

圖

6.4.9小波數(shù)據(jù)重構(gòu)示意圖

圖6.4.10是用雙正交小波對(duì)256×256點(diǎn)256級(jí)灰度的Woman圖像的分解圖，其中，圖(a)為原圖，圖(b)、(c)、(d)為分解1、2、3次后得到的圖像。為了看得清楚，我們對(duì)圖(b)、(c)、(d)作了適當(dāng)?shù)膱D像增強(qiáng)。圖

6.4.10雙正交小波對(duì)Woman圖像的分解

對(duì)一個(gè)圖像作小波分解后,可以得到一組不同分辨率的子圖像，如圖6.4.10(b)、(c)、(d)所示，其中不同分辨率的子圖像對(duì)應(yīng)的頻率是不同的。從各個(gè)子圖像中可以看到高分辨率（高頻分量）子圖像上大部分的數(shù)值都接近于0。這種現(xiàn)象在頻率增高時(shí)變得越發(fā)明顯，這樣也就為對(duì)這些點(diǎn)的壓縮提供了依據(jù)。6.4.3小波變換在數(shù)字信號(hào)調(diào)制識(shí)別中的應(yīng)用

小波變換在數(shù)字信號(hào)調(diào)制識(shí)別中也得到了廣泛的應(yīng)用。調(diào)制識(shí)別可以分為兩種類型：一種是對(duì)不同調(diào)制類型的區(qū)分，如對(duì)SK、PSK、FSK信號(hào)的區(qū)分;另一種是對(duì)同種調(diào)制類型信號(hào)的進(jìn)一步分析，例如對(duì)BPSK與QPSK的區(qū)別。在小波理論出現(xiàn)之前，對(duì)同種類型的信號(hào)區(qū)分時(shí)，可以利用信號(hào)的幅度方差來分辨M階ASK信號(hào)；用FFT區(qū)分FSK信號(hào)；而對(duì)于M階的PSK信號(hào)的分辨就存在一定的困難，較為常見的是通過記錄信號(hào)編碼中的相位改變來區(qū)分，或者采用信號(hào)相位的N階矩對(duì)信號(hào)的調(diào)制類型來分析。但這兩種方法都需要對(duì)信號(hào)相位進(jìn)行準(zhǔn)確的提取，并且需要對(duì)一些信號(hào)的參數(shù)有先驗(yàn)的知識(shí)，如信號(hào)的載頻、碼速率等。

由此可見，現(xiàn)有的大多數(shù)方法或者是需要大的運(yùn)算量（對(duì)相位提取的計(jì)算，并且需要避免信號(hào)重疊），或者需要信號(hào)的某些參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的困難。在下面的討論中可以看到,利用小波理論對(duì)調(diào)制方式的識(shí)別并不需要有信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，并且能對(duì)數(shù)字信號(hào)的調(diào)制參數(shù)進(jìn)行有效準(zhǔn)確的分析。假設(shè)接收到的信號(hào)為復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu),即

(6.4.29)其中，s(t)是一調(diào)制信號(hào)的復(fù)數(shù)形式，ε(t)是一個(gè)復(fù)的高斯白噪聲。它的平均功率為：E｛|ε(t)|2｝=2σ2ε，ωc是載波頻率，而θc是載波的初始相角。對(duì)于PSK信號(hào)，可以寫為如下形式：(6.4.30)

對(duì)于FSK信號(hào)有如下形式：

(6.4.31)

對(duì)于實(shí)際情況，頻率的偏移也可以是負(fù)數(shù)。在(6.4.30)式和(6.4.31)式中，S是信號(hào)的功率，而uT(t)是一個(gè)單位高度的矩形函數(shù)，它的支撐范圍為［0,T］，T是一個(gè)信號(hào)碼元的長度。當(dāng)編碼發(fā)生變化時(shí)，使得被調(diào)制信號(hào)發(fā)生跳變。因此，可采用時(shí)頻分析對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)。與短時(shí)傅里葉變換相似，小波分析也可以用來對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間與頻率的二維分析。對(duì)于信號(hào)的連續(xù)小波變換有(6.4.32)這里,a為變換尺度;τ是小波基的移位;ψ(t)是母小波函數(shù)。相對(duì)于短時(shí)傅里葉變換的固定長度的窗口，通過對(duì)小波基的伸縮與平移，小波變換提供了對(duì)信號(hào)的變分辨率分析。當(dāng)需要分析的頻率增加時(shí)，小波變換的窗口將變小，由此產(chǎn)生的子小波將包含有豐富的高頻分量，因此,對(duì)于信號(hào)參數(shù)的跳變能夠準(zhǔn)確定位并且進(jìn)行重構(gòu)。這一特性使得小波變換很適合對(duì)瞬時(shí)參數(shù)的探測(cè)和分析。

為滿足對(duì)PSK、FSK信號(hào)類型的檢測(cè)，可以構(gòu)造一個(gè)基于小波變換的檢測(cè)函數(shù)f(t,γ(t))，當(dāng)參數(shù)γ(t)發(fā)生變化時(shí),它的輸出應(yīng)該產(chǎn)生跳變，以表明這一參數(shù)的改變。因此，它應(yīng)當(dāng)具有如下的性質(zhì)：（1）當(dāng)信號(hào)中沒有參數(shù)的跳變發(fā)生時(shí)，檢測(cè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)輸出一個(gè)常數(shù)：其中，