第5章微分方程模型2

第五章微分方程模型(續(xù))動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預(yù)報對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.1傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報傳染病高潮到來的時刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型

已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為

2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt

最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期

~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt

<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=5.4

藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物進入機體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學(xué)

建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟房室——機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)

中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立線性常系數(shù)非齊次方程對應(yīng)齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt￡￡吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量x0(t)參數(shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型分析分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。設(shè)想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。問題5.5

香煙過濾嘴的作用模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，

毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>uQ~吸一支煙毒物進入人體總量模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)4)計算Q結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，,l2~負指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高-b與加長l2，效果相同5.6人口預(yù)測和控制年齡分布對于人口預(yù)測的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解~總和生育率h~生育模式0人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高5.7

煙霧的擴散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系。問題分析無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)。模型假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風(fēng)的影響；擴散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律

初始條件Q~炮彈釋放的煙霧總量

~單位強度的點源函數(shù)對任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2;RC

僅當(dāng)t,對任意點(x,y,z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律2）穿過煙霧光強的變化規(guī)律光強的減少與煙霧濃度成正比3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變化儀器z-設(shè)光源在z=-,儀器在z=,則觀測到的明暗界限為不透光區(qū)域有擴大、縮小、消失的過程穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。~不透光區(qū)域邊界4）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律對任意t,不透光區(qū)域邊界是圓周不透光區(qū)域邊界半徑r(t)rm0t1t2t結(jié)果分析觀測到不透光區(qū)域邊界達到最大的時刻t1，可以預(yù)報煙霧消失的時刻t25.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)背景航海業(yè)發(fā)展天文觀測精確“地心說”動搖哥白尼：“日心說”伽里略：落體運動開普勒：行星運動三定律變速運動的計算方法牛頓：一切運動有力學(xué)原因牛頓運動三定律牛頓：研究變速運動，發(fā)明微積分（流數(shù)法）開普勒三定律牛頓運動第二定律萬有引力定律《自然科學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》(1687)模型假設(shè)極坐標系(r,)太陽(0,0)1.行星軌道a~長半軸,b~短半軸,e~離心率3.行