大學(xué)數(shù)學(xué)48學(xué)時(shí)教學(xué)大綱

《大學(xué)數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)教研室

一、課程名稱：大學(xué)數(shù)學(xué)二、課時(shí)與學(xué)分：總學(xué)時(shí)48三、課程教學(xué)目標(biāo)：

通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)文科類學(xué)生的抽象思維能力，邏輯推理能力及辯證的思考能力。要求學(xué)生了解數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生、形成及用途，體會(huì)數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)和精神，掌握基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算和簡單應(yīng)用。四、適用學(xué)科專業(yè)：國際商學(xué)院專業(yè)主要內(nèi)容第1章

函數(shù)與極限

重點(diǎn)：函數(shù)的特性與初等函數(shù).難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù).§1.1

函數(shù)

內(nèi)容與要求：了解區(qū)間和鄰域的概念。理解并掌握函數(shù)的概念。理解函數(shù)的有界性、奇偶性、周期性、單調(diào)性的概念，并能利用概念研究函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì);會(huì)求反函數(shù)，會(huì)構(gòu)造和分解常見的復(fù)合函數(shù);§1.2

極限重點(diǎn)：極限的運(yùn)算法則，無窮小的概念與性質(zhì)，兩個(gè)重要極限，無窮小的階的比較，等價(jià)無窮小替換定理，連續(xù)性的概念，間斷點(diǎn)的類型。

難點(diǎn)：極限的概念.內(nèi)容與要求：理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念會(huì)用函數(shù)極限存在的充要條件(左、右極限都存在并且相等)來討論函數(shù)極限的存在性和不存在性.了解函數(shù)極限的性質(zhì)，掌握無窮小的定義與性質(zhì)，了解無窮小與無窮大的關(guān)系，熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則，并能應(yīng)用法則來求數(shù)列及函數(shù)的極限.1：設(shè)數(shù)列收斂，即，則有：；；2：設(shè)函數(shù)和當(dāng)分別存在極限A和B，即，，則有：其中關(guān)于和與乘積的運(yùn)算法則還可以推廣到有有限個(gè)極限的函數(shù)（數(shù)列）的和與積的情況，上述極限法則對于的情形也都是成立的。了解極限的復(fù)合運(yùn)算法則，會(huì)利用它來求復(fù)合函數(shù)的極限。

牢記兩個(gè)重要極限與及其推廣形式，并能結(jié)合極限的四則運(yùn)算法則靈活地使用它們來求極限.掌握等價(jià)無窮小替換定理，并會(huì)使用它來求函數(shù)極限?！?.3

函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容與要求：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)（包括左、右連續(xù)）的概念；知道函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)；知道函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義；會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判定其類型；了解連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)證明一些簡單問題.第2章一元函數(shù)微分學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義；導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；初等函數(shù)的求導(dǎo)問題；微分的定義.難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.§2.1導(dǎo)數(shù)與微分§2.1.1導(dǎo)數(shù)的概念內(nèi)容與要求：熟練掌握導(dǎo)數(shù)和左、右導(dǎo)數(shù)的定義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念；知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義及物理意義，會(huì)從定義出發(fā)求導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)的充要條件是左、右導(dǎo)數(shù)都存在并且相等，正確認(rèn)識可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.§2.1.2導(dǎo)數(shù)基本公式與求導(dǎo)法則熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并能利用這些法則和公式迅速準(zhǔn)確地求出初等函數(shù)得導(dǎo)數(shù).1．基本求導(dǎo)公式：；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；2．導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算；若，均為可導(dǎo)函數(shù)，則有：3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法和對數(shù)求導(dǎo)法，并能在求導(dǎo)時(shí)靈活運(yùn)用；領(lǐng)會(huì)高階導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；§2.1.3微分

理解微分的定義——函數(shù)增量的線性主部；知道導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系與區(qū)別；會(huì)利用微分的基本公式與運(yùn)算法則求函數(shù)的微分；

§2.2微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重點(diǎn)：微分中值定理、洛必達(dá)法則、函數(shù)的單調(diào)性與極值、凹凸性與拐點(diǎn)難點(diǎn)：微分中值定理、洛必達(dá)法則.§2.2.1微分中值定理內(nèi)容與要求：準(zhǔn)確敘述羅爾定理和拉格朗日定理，掌握中值定理的條件、結(jié)論及相互關(guān)系；會(huì)應(yīng)用中值定理證明某些簡單問題.羅爾定理：設(shè)函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。拉格朗日定理：設(shè)函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：§2.2.1洛必達(dá)法則知道什么是未定式，了解未定式的各種類型：熟練地應(yīng)用洛必達(dá)法則求未定式型和型的極限；§2.2.3函數(shù)的單調(diào)性、極值及最大值與最小值掌握函數(shù)單調(diào)性的判定定理，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；理解函數(shù)的極大值和極小值的定義;知道函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)求函數(shù)的極值;弄清最值與極值的關(guān)系，會(huì)求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.理解函數(shù)凹、凸的定義及其幾何意義；會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)來判斷曲線的凹凸性，找出曲線的凹凸區(qū)間；知道拐點(diǎn)的定義，并能用二階導(dǎo)數(shù)判定曲線的拐點(diǎn).第3章

一元函數(shù)積分學(xué)重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分公式，換元積分法與部分積分法.難點(diǎn)：換元積分法，分部積分法.§3.1

不定積分§3.1.1原函數(shù)與不定積分

內(nèi)容與要求：掌握原函數(shù)與不定積分的定義，知道它們的聯(lián)系與區(qū)別；知道原函數(shù)存在定理：區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)存在原函數(shù)；熟知不定積分的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則；牢記基本積分公式，并會(huì)用這些公式和積分法則來求不定積分.，(k是常數(shù))；，（）；；；；；；；；；；；；；；；；；；；§3.1.2換元積分法內(nèi)容與要求：掌握并靈活運(yùn)用第一換元積分法——湊微分法；掌握第二換元積分法.§3.1.3分部積分法內(nèi)容與要求：牢固掌握分部積分公式

§3.2

定積分及其應(yīng)用重點(diǎn)：定積分的概念，定積分中值定理，微積分基本定理，牛頓—萊布尼茲公式.難點(diǎn)：定積分的概念.§3.2.1

定積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容與要求：深刻理解定積分的定義，知道定積分的幾何意義；了解定積分可積的必要條件與充分條件；熟知定積分的下列性質(zhì)：性質(zhì)1：函數(shù)和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即：性質(zhì)2：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即：性質(zhì)3：如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)，則：性質(zhì)4：如果，則性質(zhì)5：如果在區(qū)間上，則推論1：如果在區(qū)間上，則推論2：推論3：設(shè)M,m分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，則性質(zhì)6：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，是下式成立：§3.2.2

微積分學(xué)基本定理內(nèi)容與要求：知道變上限的定積分是上限的函數(shù)；定理1：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是：定理2：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是在上的一個(gè)原函數(shù)。熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，會(huì)用此公式準(zhǔn)確、迅速地求出定積分的值.定理3：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)，則§3.2.3定積分的計(jì)算

內(nèi)容與要求：掌握并正確使用定積分的換元積分法。牢記定積分的分部積分公式，會(huì)用分部積分公式計(jì)算定積分；§3.2.5定積分的應(yīng)用理解微元法，會(huì)利用定積分求平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積。第4章二元函數(shù)微積分學(xué)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.難點(diǎn)：全微分的概念與多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.§4.1.1二元函數(shù)的極限與連續(xù)內(nèi)容與要求：了解二元函數(shù)的定義，會(huì)求二元函數(shù)的定義域.了解二元函數(shù)極限的定義，會(huì)求二元函數(shù)的極限；知道二元函數(shù)在一點(diǎn)以及在區(qū)域上連續(xù)的含義；§4.1.2

偏導(dǎo)數(shù)與全微分內(nèi)容與要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)的定義；會(huì)求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；了解二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。掌握二元函數(shù)全微分的定義；了解二元函數(shù)的可微的必要條件與充分條件；了解二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系；會(huì)求全微分；§4.1.3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則熟練掌握各種情況下多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式；§4.1.4二元函數(shù)的極值內(nèi)容與要求：知道二元函數(shù)的極大值、極小值的定義；知道可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和駐點(diǎn)的含義；知道判定函數(shù)取得極值的充分條件；會(huì)求函數(shù)的極值；§4.2二重積分重點(diǎn)：二重積分的概念及其計(jì)算方法.難點(diǎn)：重積分化為二次積分.§4.2.1二重積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容與要求：領(lǐng)會(huì)二重積分的定義，知道二重積分的幾何意義；弄清并記住二重積分的性質(zhì).性質(zhì)1：（線性性質(zhì)）是常數(shù)。性質(zhì)2：（區(qū)域可加性）若，且，公共部分面積是，則有：性質(zhì)3：若，則，這里是區(qū)域的面積。性質(zhì)4：若，則性質(zhì)5：（中值定理）設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是區(qū)域的面積，則在上至少存在一點(diǎn)使§4.2.2

二重積分的計(jì)算內(nèi)容與要求：對于矩形區(qū)域，X型或Y型區(qū)域，能把二重積分化為二次積分;對于較復(fù)雜的區(qū)域D，知道把D分割成若干個(gè)小區(qū)域，然后利用可加性來求;會(huì)交換二次積分的積分次序.教學(xué)課時(shí)分配表章課