2023年遼寧高考數(shù)學(xué)(理科)真題及答案

PAGE10-2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔遼寧卷〕數(shù)學(xué)〔供理科考生使用〕第=1\*ROMANI卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.〔1〕復(fù)數(shù)的模為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕集合A．B．C．D．〔3〕點(diǎn)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔4〕下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題：其中的真命題為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為假設(shè)低于60分的人數(shù)是15人，那么該班的學(xué)生人數(shù)是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕在，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為A．B．C．D．〔7〕使得A．B．C．D．〔8〕執(zhí)行如下列圖的程序框圖，假設(shè)輸入A．B．C．D．〔9〕點(diǎn)A．B．C．D．〔10〕三棱柱A．B．C．D．〔11〕函數(shù)設(shè)表示中的較大值，表示中的較小值，記得最小值為得最小值為,那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔11〕設(shè)函數(shù)〔A〕有極大值，無極小值〔B〕有極小值，無極大值〔C〕既有極大值又有極小值〔D〕既無極大值也無極小值第=2\*ROMANII卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題-第22題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題-第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分.〔13〕某幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的體積是.〔14〕等比數(shù)列.〔15〕橢圓的左焦點(diǎn)為.〔16〕為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的認(rèn)為作為樣本數(shù)據(jù).樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，那么樣本數(shù)據(jù)中的最大值為.三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔本小題總分值12分〕設(shè)向量〔=1\*ROMANI〕假設(shè)〔=2\*ROMANII〕設(shè)函數(shù)18．〔本小題總分值12分〕如圖，〔=1\*ROMANI〕求證：〔=2\*ROMANII〕19．〔本小題總分值12分〕現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.〔=1\*ROMANI〕求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；〔=2\*ROMANII〕所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．〔本小題總分值12分〕如圖，拋物線〔=1\*ROMANI〕；〔=2\*ROMANII〕21．〔本小題總分值12分〕函數(shù)〔=1\*ROMANI〕求證：〔=2\*ROMANII〕假設(shè)取值范圍.請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑。22．〔本小題總分值10分〕選修4-1：幾何證明選講如圖，〔=1\*ROMANI〕〔=2\*ROMANII〕23．〔本小題總分值10分〕選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.圓，直線的極坐標(biāo)方程分別為.〔=1\*ROMANI〕〔=2\*ROMANII〕24．〔本小題總分值10分〕選修4-5：不等式選講函數(shù)〔=1\*ROMANI〕〔=2\*ROMANII〕2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔遼寧卷〕數(shù)學(xué)〔供理科考生使用〕試題參考答案和評(píng)分參考評(píng)分說明：本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)那么。對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)。如果后繼局部的解答未該提的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼局部的給分，但不得超過該局部正確解容許得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼局部的解答有嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。只給整數(shù)分?jǐn)?shù)。選擇題(1)B(2)D(3)A(4)D(5)B(6)A(7)B(8)A(9)C(10)C(11)B(12)D二．填空題〔13〕〔14〕63〔15〕〔16〕10三．解答題(17).解：〔=1\*ROMANI〕由及得又從而所以。。。。。。。。。。。。。6分〔=2\*ROMANII〕當(dāng)時(shí)，取最大值1.所以的最大值為。。。。。。。。。。。。12分〔18〕〔=1\*ROMANI〕證明：由AB是圓的直徑，得由平面ABC,平面ABC,得又平面PAC,平面PAC,所以平面PAC,因?yàn)槠矫鍼BC所以平面PBC平面PAC.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分〔=2\*ROMANII〕〔解法一〕過C做CM//AP,那么CM平面ABC.如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線BC,CA,CM為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。因?yàn)锳B=2,AC=1,所以BC=.因?yàn)镻A=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故，設(shè)平面BCP的法向量為那么｛,所以｛，不妨令y=1，那么因?yàn)樵O(shè)平面ABP的法向量為那么｛所以｛不妨令x=1，那么于是所以由題意可知二面角C-PB-A的余弦值為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分〔解法二〕過C作CMAB于M,因?yàn)镻A平面ABC,CM平面ABC,所以PACM.故CM平面PAB.過M作MNPB于N,連接NC,由三垂線定理得CNPB,所以為二面角C-PB-A的平面角。在Rt中，由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在因?yàn)橛衷谒远娼荂-PB-A的余弦值為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分〔19〕解：〔=1\*ROMANI〕設(shè)事件A=“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題〞，那么有“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題〞。。。。。。。。。。。。6分(=2\*ROMANII)X的所有的可能取值為0,1,2,3.所以X的分布列為：X:0123P:。。。。。。。。。。。。。。。10分。。。。。。。。。。。。。。12分(20)解：〔=1\*ROMANI〕因?yàn)閽佄锞€的切線斜率為且切線MA的斜率為故切線MA的方程為因?yàn)辄c(diǎn)MMA及拋物線。。。。。=1\*GB3①。。。。。=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得P=2.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分〔=2\*ROMANII〕N為線段AB中點(diǎn)知。。。。。。。=3\*GB3③。。。。。。。=4\*GB3④切線MA,MB的方程為。。。。。。。。。。。=5\*GB3⑤。。。。。。。。。。。=6\*GB3⑥由=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥得MA,MB的交點(diǎn)M〔〕的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)M()在上，即。。。。。。。。。。=7\*GB3⑦由=3\*GB3③=4\*GB3④=7\*GB3⑦得當(dāng)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足。。。。。。。。。。。。。。。。12分〔21〕〔=1\*ROMANI〕證明：要證時(shí)，只需證明記那么。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分要證記K(x)=,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分〔=2\*ROMANII〕證明：〔解法一〕在。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分下面證明，因?yàn)楫?dāng)a>-3時(shí)，a+3>0，所以存在，此時(shí)綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分〔解法二〕先證當(dāng)記記從而同理可得，綜上，當(dāng)因?yàn)楫?dāng)所以當(dāng)。。。。。。。。。9分下面證明，當(dāng)a>-3時(shí)，因?yàn)樗源嬖跐M足。。。。。。。。。。。。。。。。12分(22)證明：〔=1\*ROMANI〕由AB為又故CEB.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分(=2\*ROMANII)由得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分〔23〕解：〔=1\*ROMANI〕，解｛注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為〔0,2〕，〔1,3〕故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0.由參數(shù)方程可得所以解得a