概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三四章

計算習(xí)題二第2題中隨機(jī)變量的希望值。解：由習(xí)題二第2題計算結(jié)果p0p{0}=1p{2，p11}=33得E01221333一般對0-1分布的隨機(jī)變量有Epp{1}2．用兩種方法計算習(xí)題二第30題中周長的希望值，一種是利用矩形長與寬的希望計算，另一種是利用周長希望的分布計算。解：方法一：先按定義計算長的數(shù)學(xué)希望E290.3300.5310.229.9和寬的數(shù)學(xué)希望E190.3200.4210.320再利用數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)計算周長的數(shù)學(xué)希望EE(2方法二：利用習(xí)題二地30題的計算結(jié)果(見下表)，按定義計算周長的數(shù)學(xué)希望9698100102104pE960.09980.271000.351020.231040.0698.8對習(xí)題二第31題，（1）計算圓半徑的希望值；（2）E(2R)能否等于2ER？（3）能否用(ER)2來計算遠(yuǎn)面積的希望值，假如不可以用，又該如何計算？其結(jié)果是什么？解（1）（2）由數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)有E(2R)2ER23.2（3）因為E(R2)E(R)2，所以不可以用E(R2)來計算圓面積的希望值。利用隨機(jī)變量函數(shù)的希望公式可求得E(R2)E(R2)(1020.11120.41220.31320.2)135.4也許由習(xí)題二第31題計算結(jié)果，按求圓面積的數(shù)學(xué)希望E1000.11210.41440.31690.2)135.44．連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度為kxa,0x1(k,a0)(x)0,其余又知E0.75，求k和a的值解由(x)dx1k1kxadx0a1E1k3kxxadx0a24解得a2,k35．計算遵從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量的希望和方差（參看習(xí)題二第16題）。解因為奇函數(shù)在對稱地域的積分為零，所以Ex1e|x|dx0，2相同由偶函數(shù)在對稱地域積分的性質(zhì)可計算DE(2)x21e|x|dxx2exdx20x2ex|02xexdx20題目略解(1)15輛車的里程均值為1(9050150)27491.33153(2)記為從188輛汽車中任取一輛記錄的里程數(shù)，則的分布表以下表所示（a=188）1030507090110130150170p5/a11/a16/a25/a34/a46/a33/a16/a2/a故E105111702452096.173018818847188題目略解記為種子甲的每公頃產(chǎn)量，為種子乙的每公頃產(chǎn)量，則E45000.1248000.3851000.454000.14944E45000.2348000.2451000.354000.2349598．一個螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，希望值10g,標(biāo)準(zhǔn)差為1g,100個一盒的同型號螺絲釘重量的希望值和標(biāo)準(zhǔn)差個為多少（假設(shè)每個螺絲釘?shù)闹亓慷疾渴灼溆嗦萁z釘重量的影響）？解設(shè)i為一盒中第i個螺絲釘?shù)闹亓?i1,2,,100),則題設(shè)條件為Ei10g,Di1g,且1,2,,100互相獨(dú)立。設(shè)一盒螺絲釘?shù)闹亓?00為隨機(jī)變量i1i，則希望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為100100EE(i)Ei1000(g)i1i11001100110012D[D(i)]2(Di)210(g)i1i1注此題不可以以為100,因為這意味著所有螺絲釘?shù)闹亓客暾粯?這是不切合實(shí)質(zhì)狀況的.所以DD(100)1002D100(g)是錯誤結(jié)果。已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意拿出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的希望值。解設(shè)為5個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布率為k5kCCp(k)10590(k0,1,2,3,4,5)C100于是希望值為5k5kC10C9050E0.5kk0C100510010．一批部件中有9個合格品和3個廢品，在安裝機(jī)器時，從這些部件中任取1個，假如拿出的是廢品就不再放回去。求在獲得合格品從前，已經(jīng)拿出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)希望和方差。解設(shè)為獲得合格品從前拿出的廢品數(shù)，則遵從以下表所示的分布，于是0123p929329321121211121110121110E0319293130.344422022010E(2)03129229321944422022022DE(2)(E)29(3)23510.3192210110011.假設(shè)每人誕辰在各個月份的機(jī)遇是相同的，求3個人中誕辰在第1個季度的均勻人數(shù)。解設(shè)3人中誕辰在第1季度的人數(shù)為，則的分布律為p(k)C3k(1)k(3)3k(k0,1,2,3)44故均勻人數(shù)為31k33k3Ek(k0kC3(4))4‘12．有分布函數(shù)F(x)1ex,x0，求E及D0，其余解的密度函數(shù)為(x)F(x)ex,x00,x0E+xexdxxex|0++xdx10e0E(2)+xdxx2ex|0++xdx0x2e2xe02+exdx2x20DE(2)(E)221)212(2也許利用伽馬函數(shù)的性質(zhì)E+exdx1+xdx1(2)1xxe002+2x1+2x12E()xedx20(x)edx2(3)20DE(2)(E)221212( )2113．~(x)1x2,|x|1求D和E，0,其余解由奇函數(shù)在對稱區(qū)間的積分為零知1xEdx011x2也許1x2sint2sintEdxdsintdt11x221sin2t2于是

cost

|20221x22sin2tD=E()=dx=dsint111x22sin2t221cos2tdt2(tsin2t)|20.500224

22sin2tdt014．計算習(xí)題二第22題中的希望與方差。解由習(xí)題二第33題求得的分布可求得其數(shù)學(xué)希望和方差E()324110333E[()2]32242134333D()34(10)2233915．計算習(xí)題二第23題中的希望與方差。解由習(xí)題二第34題求得的分布可求得其數(shù)學(xué)希望和方差E()21(4)101251331261218E[()2]41161014585391261227D()85(1)21091271832416．假如和獨(dú)立，不求出的分布，直接從的分布和的分布能否計算出D( )，如何計算？解由與獨(dú)立，知2與2獨(dú)立，依據(jù)數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)有22)(E2)E（）=(E)(E),E（）=(E故D（）=E（[22=(E2)(E22(E)2）]-[E（）])-(E)17.隨機(jī)變量是另一個隨機(jī)變量的函數(shù),而且e(0),若E存在,求證對于任何實(shí)數(shù)a都有p{a}exEe.證明：不如設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為(x)，注意到當(dāng)xa時，有e(xa)1(0)，于是p{a}(x)dxe(xa)(x)dxeaex(x)dxeaE(e)aa若為失散型隨機(jī)變量，則將推倒的積分換成級數(shù)乞降相同成立。18．證明事件在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差不超出1/4.證明設(shè)為一次試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則遵從0-1分布，pp(A)則EpD(1p)2p(0p)2(1p)p(1p)(0p1)而函數(shù)p(1p)在[0,1]上的最大值為1，故D14419．證明對于任何常數(shù)c,隨機(jī)變量有DE[(c)2](Ec)2證明因為E[(c)2]E(22cc2)E(2)2cE()c2(Ec)2(E)22cE()c2所以兩式的差為E(2)(E)2D也許DD(c)E[(c)2][E(c)]2E[(c)2](Ec)220．(,)的聯(lián)合概率密度為(x,y)e(xy)(x,y0)，計算它們的協(xié)方差cov(,)解先乞降的邊沿密度函數(shù)1(x)e(xy)dyex(x0)02(y)e(xy)dxey(y0)0由(x,y)1(x)2(y)知與互相獨(dú)立,故與不相關(guān),即cov(,)=0計算習(xí)題二第22題與的協(xié)方差。解由習(xí)題二第22題的計算結(jié)果可列出其聯(lián)合分布和邊沿分布表(見下表)，于是11p(1)i101/31/321/31/32/3p(2)j1/32/3E11225，E11225333333E( )102(11)41833123cov(,)E( )E()E( )8(5)21339計算習(xí)題二第23題與的相關(guān)系數(shù)。解習(xí)題二第23題求出的分布表（見下表），可求得01/31pi(1)-101/121/35/1201/6002/1225/12005/12p(2)j7/121/124/12E(1)502255，E(2)(1)2502225251212121212121212D25（52275,E071141312）=123121361214412E(2)07(1)21124371231212108D37(13)2275108361296E()07(1(1113121))123633cov(,)132513221,361236432cov(,)221221DD27527527523．(,)的聯(lián)合概率分布以下表所示，計算與的相關(guān)系數(shù)，并判斷與能否獨(dú)立？-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解(,)的聯(lián)合分布和邊沿分布以下表所示-1-11/801/811/8p(2)j3/8EE(1)30288DE(2)(1)23028(）01（）11E214cov(,)E()E()E(

01pi(1)1/81/83/801/82/81/81/83/82/83/8130821233D884104)0,0但p1(1)p1(2)91p11，知與不互相獨(dú)立。64824．兩個隨機(jī)變量與，已知D25,D25,0.4,計算D(+）與D(.-）解cov(,)DD=0.456=12D(+)DD2cov(,)85D()DD2cov(,)37第四章習(xí)題解答（參照答案）若每次射擊靶的概率為，求射擊10炮，命中三炮的概率，最少命中3炮的概率，最可能命中幾炮。解:記射擊10炮的命中次數(shù)為,則~B(10,0.7),所求概率為p(3)C1030.730.370.009p(3)1p(0)p(1)p(2)15.901061.381041.451030.9984最可能的命中炮數(shù)為[100.70.7]7炮.在必定條件下生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為,求生產(chǎn)10件產(chǎn)品中廢品數(shù)不超出2個的概率.解記廢品數(shù)為，則~B(10,0.01)，所求概率為2C10k0.01k0.9910kp(2)k00.90440.09140.00421.0003．某車間有20臺同型號機(jī)床，每臺機(jī)車開動的概率為，若假設(shè)各機(jī)床能否開動相互獨(dú)立，每臺機(jī)車開動時所耗費(fèi)的電能為15個單位，求這個車間耗費(fèi)電能許多于270個單位的概率。解設(shè)20臺機(jī)床中有臺開動，則~B(20,0.8)，所求概率為p(27018)p(19)p(20))p(151900.8180.22200.8190.20.8200.2064．從一批廢品率為的產(chǎn)品中，重復(fù)抽取20個進(jìn)行檢查，求這20個產(chǎn)品中廢品率不大于的概率。解設(shè)為20個產(chǎn)品中廢品的個數(shù)，則~B(20,0.1)，所求概率為p(0.15)p(3)0.92019+1900.12200.918+11400.130.917=0.8675．生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為，抽取20件產(chǎn)品，初步檢查已發(fā)現(xiàn)2件廢品，問這20件中，廢品許多于3件的概率.解設(shè)為20件產(chǎn)品中廢品的個數(shù)，則~B(20,0.1)，所求概率為p(3|2)p(3)p(2)1(0.920200.10.919+1900.120.918)1(0.920200.10.919)0.3230.5310.6086．投擲4顆正六面體的骰子，為出現(xiàn)么點(diǎn)的骰子數(shù)量，求的概率分布，以及出現(xiàn)么點(diǎn)的骰子的最可能值.解設(shè)為4顆骰子中出現(xiàn)么點(diǎn)的個數(shù)，則~B(4,1)，即有分布律6p(k)p(k)C4k(1)k(1)4k(k0,1,2,3,4)66其分布函數(shù)為0,x0iF(x)p(k),ixi1(k0,1,2,3)k01,x4的最可能值為[41106]67．事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為,進(jìn)行19次獨(dú)立試驗，求（1）出現(xiàn)次數(shù)的均勻值和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）最可能出現(xiàn)的次數(shù)。解設(shè)為19次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則~B(19,0.3)，故可求得（1）E190.35.7D190.30.73.991.997(2）的最可能值=[190.30.3]6和5（因為190.30.3是整數(shù)）8．已知隨機(jī)變量遵從二項分布,E12,D=8，p和n求解題設(shè)條件為~B(n,p)，且np12,np(1p)8由此解出p1,n3639．某柜臺上有4個售貨員，并預(yù)備了兩個臺秤，若每個售貨員在一小時內(nèi)均勻有15分鐘時間使用臺秤，求在一天10小時內(nèi)，均勻有多少時間臺秤不夠用。解按題設(shè)條件可以為在任何時間每個售貨員都以1的概率使用臺4秤，設(shè)為任何時刻要用臺秤的售貨員人數(shù)，則~B(4,1)，于是任4何時刻臺秤不夠用的概率為31331413p(2)C4(4)(4)(4)440.05這個結(jié)果也可以解說為營業(yè)時間內(nèi)5%的時間臺秤不夠用，故10個小時內(nèi)大體有半小時秤不夠用。10．已知試驗的成功率為p，進(jìn)行4重貝努里試驗，計算在沒有所有失敗的狀況下，試驗成功不只一次的概率.解設(shè)為4次試驗中成功的次數(shù)，則~B(4,p)，所求概率為p(1)1(1p)44p(1p)34p(1p)3p(1|0)0)1(1p)41p)4p(1(111．遵從參數(shù)為2，p的二項分布，已知p(1)=5/9，那么成功率為p的4重貝努里試驗中最罕有一次成功的概率是多少？解由題設(shè)條件~B(2,p)和1(1p)25，可解出p1，再設(shè)93~B(4,1)，則所求概率為p{1}1(2)465338112．一批產(chǎn)品20此中有5個廢品，任意抽取4個，求廢品數(shù)不多于2個的概率。解設(shè)為所取的4個廢品的個數(shù)，則遵從參數(shù)N=20,M=5,n=4的超幾何分布，所求概率為p(2)1p(3)p(4)10193810.96832396996913．假如產(chǎn)品是大量的，從中抽取的數(shù)量不大時，則廢品數(shù)的分布可以近似用二項分布公式計算。試將下例用兩個公式計算，并比較其結(jié)果。產(chǎn)品的廢品率為,從1000個產(chǎn)品中任意抽取3個，求廢品數(shù)為1個的概率。解記為所取3個產(chǎn)品中的廢品數(shù)。設(shè)遵從參數(shù)為N=1000,M=100,n=3的超幾何分布,則所求概率為C1C213485p(1)1009000.24346C3553891000(2)若~B(3,0.1)，則所求概率為p(1)30.10.920.243二者的差異僅為.從一副撲克牌（52張）中發(fā)出5張,求此中黑桃張數(shù)的概率分布解設(shè)為5張中黑桃的張數(shù)，由題意知遵從N=52,M=13,n=5的超幾何分布，即p{k}CkC5k1339(k0,1,2,3,4,5)C525由此分布律可列出分布表（見下）012345p從大量萌芽率為的種子中，任取10粒，求萌芽數(shù)許多于8例的概率。解記為10粒種子中萌芽的種子數(shù)，則~B(10,0.8)，所求概率為p(8)C1080.880.22C1090.89100.3020+0.2684+0.1074=0.677816．一批產(chǎn)品的廢品率為，用普哇松分布公式求800件產(chǎn)品中廢品為2件的概率，以及不超出2件的概率。解記為800件產(chǎn)品中的廢品數(shù),則~B(800,0.001)，因為n800很大，p0.001很小，故可用普哇松公式計算此題概率(8000.0010.8)p{2}