《科學(xué)與工程計(jì)算基礎(chǔ)》總復(fù)習(xí)

5(aa)5(aa)W|a|5a+la|5a12 2 1 11 2(2)函數(shù)值的相對(duì)誤差公式5a+5a1 2+a土a總復(fù)習(xí)一、有效數(shù)字與誤差界(1)兩數(shù)和、差、積的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差公式如下:125(a土a)W5a+5a,5(a土a)W1212 12對(duì)一元函數(shù)y=f3)，若x有絕對(duì)誤差5x，則f(x)有絕對(duì)誤差5f(x)=|f'⑴I5x,廠(x)1從而相對(duì)誤差為：5f(x)1 1例1設(shè)例1設(shè)a=1-21，偵3.65,a3=9-81均為有效數(shù)字,試求a-a1誤差.,a+a+a,aa+a的相對(duì)1 2 1 2 3 1 2 3解：因a15a110-25a5a110-25a——1aiW竺X10-2，1.21 ，5a2a2W~05x10-23.655a3a2W些X10-23.65從而5(a一a5(a一a)W5a——1a土a+5a——2=0.4098x10-25(ar15a+5a+5

|a+a+a3=0.1022x10-25(aa5(aa+a)W5(aa)+5a WTOC\o"1-5"\h\z… 1_5(aa)Wa5a+a5a,5(aa)W5a+5aWx10-2+x10-212 2112r12r1r2 2 23x0.5x10-2 小 =0.1054x10-21.21x3.65+9.81

例2設(shè)計(jì)算球體積允許其相對(duì)誤差限為1%,問(wèn)測(cè)量球半徑的相對(duì)誤差限最大為多少?解：記球的半徑為R，體積為V，貝05VW1%.4一，一由公式：V=3兀R3，得到V=4兀R21w—%=0.33%.3V' 4冗R2 51w—%=0.33%.35V-一5R-——5R=3一W1%n—'V 4兀R3 R R3二、線性方程組的追趕法及迭代的收斂性1.追趕法對(duì)一個(gè)三對(duì)角矩陣（3x3階）bia2cib2a如果我們要將它分解成一個(gè)單位下三角陣與一個(gè)上三角矩陣的積，即bc_1 一ud1111abc=l1xud2222對(duì)一個(gè)三對(duì)角矩陣（3x3階）bia2cib2a如果我們要將它分解成一個(gè)單位下三角陣與一個(gè)上三角矩陣的積，即bc_1 一ud1111abc=l1xud222222abl1u3333332滿足如下關(guān)系:則系數(shù)12,l3,u,叮ud]=C]，al一一2-2u1a=b—lc;l=-32 21 3u2b3-1c例3用追趕法求解線性方程組，并寫(xiě)出矩陣L和U./2-10、rx)r311-12-1x=—12、0-12,x，3r2-10)_1udr3)11-12-1，L=l1，U=ud，b=—1222[0-12>l31u31V7由追趕法得解：設(shè)Ai1=c2=-1，=a2=c因b一b2=b3=2,d]=d2=-1，Uj2,u=b—Ic=2—3 3 32-2——x3a-1l=-2-2u1(-1)=3-1=2——x2（-1）=27 a —1 2l一—=——=3u232L=-1L=32-132-132-1「x13「x1-2-1111x=—nx=2221X4X33———L3」12——31七1-31「y11「311—21_y2yL3」=-1_1_ny2yL3」-—24_3_由Ly=bn2.關(guān)于迭代的收斂性問(wèn)題對(duì)迭代格式X(k+1)=Bx(k)+f（1）上述迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂于方程組X=Bx+f的精確解x*的充要條件是迭代矩陣B的譜半徑P（B）<1利用性質(zhì)P利用性質(zhì)P(B)<||B，可以得到收斂的一個(gè)充分條件是:（2）若有B<1，則由上述迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂于方程組X=Bx+f的精確解X*且有誤差估計(jì)式:<||B||<質(zhì)X<||B||<質(zhì)X(k)—X(k-1)及X(k)一IBIIk<1-IBIIX(k)一X(0)記e=x(k)—x*，e=x(k)—x(0)，上式可以寫(xiě)成k 0BllBllk日%"或者||%||一1-||B||從中可以求出滿足一定精度所需的迭代次數(shù).例4設(shè)X*表示線性方程組Ax=b精確解，現(xiàn)用迭代格式x（k+i）=Bx（k）+f進(jìn)行求解，其中P（6）=0.8,記誤差向量e二球）-尤*,如果要求計(jì)算精度達(dá)到||e||/||e|<10-6,試估計(jì)大約需

k k0要進(jìn)行多少次迭代.||eII||Bh解:要使|慚|/匕懷1。-6,因甘V品及P（8）<|㈣將B近似地用譜半徑P（8）代替則如果簾GS如果簾GS那么||?；瘄<1。一6.由p(B)k5四 <10一6得到1-P(B)（0.8）^<（1-0.8）x10-6算得*N70.即至少需要70次迭代才能滿足要求.'2例5'2例5設(shè)有線性方程組1-1111丫氣所以，J-迭代矩陣為(0所以，J-迭代矩陣為(0B=D-i(L+U)二-171解：因-11)'000）1000、A=111,L二-100,U=00-1,D=0101一2）-1<00<00-2>=±吃=±吃2,32GS-迭代矩陣為(012_n~21B=(D—L)-iU二G-S01~21~2_1~2)0k0由總_當(dāng)日3+7=。，得到特征值為：L1 11由凹一匕_」=從2+"）2=°，得到特征值為：“°，氣,3==’5氣」=2<1所以，J-迭代發(fā)散，GS-迭代收斂。注意：在具體計(jì)算時(shí)，為了方便可以用|人。-L-U\=0計(jì)算J-迭代的特征值，用|從D-L)-U=0計(jì)算GS-迭代的特征值。本例中，|XD-L-U=0即1人1=01 1 -2人人-1 1人(D-L)-U\=0即人人1=0XX-2人三、分段插值(三次樣條插值)Newton插值多項(xiàng)式例6設(shè)給定數(shù)據(jù)x11.502f(x)1.502.501.005.50⑴作出函數(shù)沁的均差表；⑵寫(xiě)出牛頓3次插值多項(xiàng)式%⑴.解：(1)xkf[x]kf[xk,xk"f[xk'xk+1'xk+2]f[x'kx'x'x]k+1k+2 k+301.001.50-1.00—am2.00--0.50—1nn4.00-1.00—1m=0.501-01.5八=1.00-02八 =1.50-011.502.50-1.501 1 =2.001.5-16.002—2.00—■—=4.00-11.52.505.50—2.50c1仁=6.002-1.525.501 3 3、(2)N(x)=1+虧(x-0)+(x-0)(x一1)+2(x-0)(x一1)(x一方)/八3 ,八,3、=1+—x+x(x一1)+—x(x一1)(x-—)2 2三次樣條插值例7對(duì)于給定的插值條件x0123f(x)0110求出滿足邊界條件s'(0)=1，s'(3)=2的三次樣條插值函數(shù).解：記x=0，x=1，x=2，x=3；f(x)=0，f(x)=1，f(x)=1，f(x)=00 1 2 3 0 1 2 3

計(jì)算二階差商:x.f(x.)f[x.,x.+『f[x—1，x^,x^+]]001110_121-1_130注意到：X—X=尤-尤=X—x=h=1,所以10 2 13 2- 1四.=氣=2i=1，2(f'(x0)=廣(°)=S?)=1)d0=(f'(x0)=廣(°)=S?)=1)0d3=分f'(七)-f[xn—1,七])=6x(2—(—1))=18(f(x)=f'(3)=s，(3)=2)n—11(1(一2)=—3?所以以于M0,M1,M2,d=6f[x,x,x]=6x(——)=—3,d=6f[x,x,x]=6x?一- 2 -。M3的方程組為:2121001210220121220012M-0_0M—31=M一32M18L3」——下面用三對(duì)角方程的追趕法求解。四、代數(shù)精度例8求積公式j(luò)1f(x)dxeAf(0)+Af(1)+Bf(0)0 0 1 0已知其余項(xiàng)的表達(dá)式為R(f)=kfp，&e(0,1).試確定系數(shù)A0,A1,B0使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并給出該求積公式的余項(xiàng)和代數(shù)精度的次數(shù)解：當(dāng)f(x)=1時(shí)，j1f(x)dx=1 nA0+A]=1

當(dāng)f(x)=x時(shí)，j當(dāng)f(x)=x時(shí)，j1f(x)dx0j1f(x)dx=0當(dāng)f(x)=x2時(shí)，1—2131nA+B=-1 02nA=113代入求得：A=203A=-13j1f(x)dxe2f(0)0 3此取B=1061+3f⑴+從而1,-f'(0)6且求積公式的代數(shù)精度至少為2,能否更高有待驗(yàn)證.為j1f(x)dxJ1x3dx=4，而TOC\o"1-5"\h\z1 1. 1-f(0)+-f(1)+-f(0)=-3 6 3說(shuō)明當(dāng)f(x)=x3時(shí)不能使求積公式準(zhǔn)確成立，因而該公式只有2次代數(shù)精度.下面考慮余項(xiàng)，設(shè)j1f(x)dx=2f(0)+1f⑴+1f'(0)+kf〃'(&)0 3 3 6將f(x)=x3代入，得到11 1=房+3!knk= —，即余項(xiàng)為3 721R(f)=—f性)，&G(0,1).五、數(shù)值微分例9下表給出了函數(shù)y=sinx在各點(diǎn)的值:xsinxxsinxxsinx0.8800.77073890.9000.78332690.9220.79681170.8850.77391500.9050.78642520.9250.79862080.8890.77644190.9100.78950370.9400.80755810.8900.77707170.9110.79011710.9500.81341550.8950.78020910.9200.7956016假設(shè)cos(0.900)=0.62160997，試(1) 分別就步長(zhǎng)h=0.01，0.02利用三點(diǎn)公式1f'(x)y[—3f(x)+4f(x+h)-f(x+2h)]0 2h 0 0 01f(x)e [—f(x—h)+f(x+h)]及0 2h 0 0計(jì)算f'(0.900)，并對(duì)f'(0.900)計(jì)算截?cái)嗾`差，結(jié)果列于表中..無(wú) 利用公式h二3：二(￡=0.0000005)選擇最優(yōu)步長(zhǎng)，計(jì)算f'(0.900)，并比較結(jié)果.opt\M…、 1一利用中心差商公式f'(x)e [-f(x-h)+f(x+h)]就步長(zhǎng)h=0.02運(yùn)用外推法外推0 2h 0 0二次計(jì)算f'(0.900)，比較結(jié)果.解：(1)步長(zhǎng)h=0.01，0.02時(shí)的f'(0.900)計(jì)算結(jié)果列于下表：(2)當(dāng)￡=0.0000005時(shí)，由h廣*~m，可以算得最優(yōu)步長(zhǎng)為h=30.0000015F011opt利用上面兩個(gè)公式計(jì)算f'(0.900)的結(jié)果見(jiàn)表格.(1)f(0.900)\f-f'(0.900)|(2)f'(0.900)f-f'(0.900)|h=0.010.6251253.52x10-30.62159969.97x10-6h=0.020.622145.30x10-40.62156754.247x10-5h=0.0110.6215466.397x10-5計(jì)算表明：中心差商公式的精度明顯三點(diǎn)公式；最優(yōu)步長(zhǎng)的選擇與精度￡有關(guān)，對(duì)中心差商公式要得到較好的計(jì)算步長(zhǎng)，必須進(jìn)一步提高計(jì)算精度如取￡=0.00000005=0.5x10-6，則可算得最優(yōu)步長(zhǎng)為h=0.011，且可算得f'(0.900)=0.621607,誤差為：2.89x10-61(3)記G(h)=“[-f(x-h)+f(x+h)]，由上面算得2h 0 0G(0.02)=0.6215675，G(0.01)=0.6215996，G1(0.02)=0.6215675，G(0.01)=0.6215996，G(0.02)=4G](0.01)-G](0.02)=0.6216103，1 2 4-1誤差：If