chapter定積分的幾何應(yīng)用實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1chapter定積分的幾何應(yīng)用實(shí)用第1頁(yè)/共46頁(yè)回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題abxyo一、問(wèn)題的提出與微元法第2頁(yè)/共46頁(yè)面積表示為定積分的步驟如下:第3頁(yè)/共46頁(yè)abxyo提示面積元素1.思考方法:(1)求總體量,先求部分量(以不變代變).(2)對(duì)部分量求和取極限.第4頁(yè)/共46頁(yè)2.所求量U須滿足的條件(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量.(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性,就是說(shuō),如果把區(qū)間

[a,b]分成許多部分區(qū)間,則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.這樣,就可考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U.第5頁(yè)/共46頁(yè)3.微元法的一般步驟：根據(jù)問(wèn)題的具體情況,選取一個(gè)變量(如x)為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b].(2)設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,取其中任一小區(qū)間并記為[x,x+dx],求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U

的近似值.如果U能近似地表示為[a,b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積,就把f(x)dx稱為量U的微元,且記為dU.這個(gè)方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積;體積;平面曲線的弧長(zhǎng);功;水壓力;引力和平均值等.第6頁(yè)/共46頁(yè)曲邊梯形的面積圍成圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形二、平面圖形的面積第7頁(yè)/共46頁(yè)圍成圖形的面積為:第8頁(yè)/共46頁(yè)Solution.兩曲線的交點(diǎn)選擇x為積分變量,面積元素第9頁(yè)/共46頁(yè)Solution.兩曲線的交點(diǎn)選x為積分變量,第10頁(yè)/共46頁(yè)Solution.曲線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有:問(wèn)題:積分變量只能選x嗎?第11頁(yè)/共46頁(yè)Solution.兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量第12頁(yè)/共46頁(yè)如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積2.參數(shù)方程情形此時(shí)要注意曲邊是有正方向的!從而確定出起點(diǎn)和終點(diǎn).當(dāng)你沿曲邊朝著這方向前進(jìn)時(shí)曲邊梯形將在你的右邊.第13頁(yè)/共46頁(yè)Solution.橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．第14頁(yè)/共46頁(yè)面積元素曲邊扇形的面積3.極坐標(biāo)情形第15頁(yè)/共46頁(yè)Solution.由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第16頁(yè)/共46頁(yè)Solution.利用對(duì)稱性知第17頁(yè)/共46頁(yè)Solution.由極坐標(biāo)計(jì)算公式得:第18頁(yè)/共46頁(yè)1.平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個(gè)立體，我們知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積三、立體體積第19頁(yè)/共46頁(yè)Solution.取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第20頁(yè)/共46頁(yè)Solution.取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第21頁(yè)/共46頁(yè)注意:若立體垂直于y軸的截面面積為B(y),則第22頁(yè)/共46頁(yè)

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)2.旋轉(zhuǎn)體的體積第23頁(yè)/共46頁(yè)旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo第24頁(yè)/共46頁(yè)Solution.直線方程為第25頁(yè)/共46頁(yè)Solution.第26頁(yè)/共46頁(yè)第27頁(yè)/共46頁(yè)第28頁(yè)/共46頁(yè)第29頁(yè)/共46頁(yè)第30頁(yè)/共46頁(yè)Solution.(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí),選x為積分變量,(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí),第31頁(yè)/共46頁(yè)Solution.如圖所示,選x為積分變量,第32頁(yè)/共46頁(yè)Solution.第33頁(yè)/共46頁(yè)第34頁(yè)/共46頁(yè)補(bǔ)充利用這個(gè)公式，可知上例中第35頁(yè)/共46頁(yè)Solution.體積元素為第36頁(yè)/共46頁(yè)四、平面曲線弧長(zhǎng)的概念第37頁(yè)/共46頁(yè)弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)1.直角坐標(biāo)情形第38頁(yè)/共46頁(yè)Solution.所求弧長(zhǎng)為第39頁(yè)/共46頁(yè)Solution.第40頁(yè)/共46頁(yè)曲線弧為弧長(zhǎng)2.參數(shù)方程情形第41頁(yè)/共46頁(yè)Solution.星形線的參數(shù)方