D96幾何中的應(yīng)用67054

會(huì)計(jì)學(xué)1D96幾何中的應(yīng)用67054定義設(shè)數(shù)集則稱映射為一元向量值函數(shù)，記為其中D為定義域，t為自變量，為因變量。一元向量值函數(shù)是普通一元函數(shù)的推廣，其自變量

仍取實(shí)數(shù)值，而因變量n維向量。一元向量值函數(shù)簡(jiǎn)稱向量值函數(shù)，而將普通實(shí)值函數(shù)稱為數(shù)量函數(shù)。在R3中，若向量函數(shù)的分量函數(shù)依次為則向量函數(shù)可表為或第1頁(yè)/共34頁(yè)OxyzΓM設(shè)的起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為M,即當(dāng)t改變時(shí)，隨著改變，終點(diǎn)M也隨著改變，其軌跡Γ稱為向量函數(shù)的終端曲線，也稱為向量值函數(shù)的圖形。稱為曲線Γ的向量方程。

可以類似于數(shù)量函數(shù)來(lái)定義極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等：定義1

設(shè)向量值函數(shù)若存在常向量，則常向量叫向量值函數(shù)或第2頁(yè)/共34頁(yè)可以證明：定義2

設(shè)向量值函數(shù)如果則稱向量值函數(shù)在連續(xù)。可以證明：向量值函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是其各分量函數(shù)都在該點(diǎn)連續(xù)。若向量值函數(shù)在某區(qū)域上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱它在該區(qū)域上連續(xù)，或稱其為該區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)。定義3

設(shè)向量值函數(shù)如果第3頁(yè)/共34頁(yè)存在，則稱其為向量值函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄俊４藭r(shí)也稱向量值函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。若向量值函數(shù)在某區(qū)域上每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱它在該區(qū)域上可導(dǎo)。可以證明：向量值函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是其各分量函數(shù)都在該點(diǎn)可導(dǎo)。且向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則在形式上相同，參見(jiàn)92面，其證明也可仿照數(shù)量函函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，或?qū)ο蛄恐岛瘮?shù)的分量運(yùn)用對(duì)應(yīng)的法則證明。第4頁(yè)/共34頁(yè)導(dǎo)向量的幾何意義（92面）：OxyzΓMN

導(dǎo)向量是點(diǎn)M處的一個(gè)切向量，其方向與t的增長(zhǎng)方向一致。導(dǎo)向量的物理意義（93面）：

速度向量、加速度向量。例1設(shè)解第5頁(yè)/共34頁(yè)例2空間曲線Γ的向量方程為求曲線Γ在點(diǎn)t=2相應(yīng)點(diǎn)處的單位切向量。解于是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線Γ在點(diǎn)t=2相應(yīng)點(diǎn)處的單位切向量為和前者指向與t的增長(zhǎng)方向一致，后者相反。第6頁(yè)/共34頁(yè)

例3一人在懸掛式滑翔機(jī)上由于快速上升氣流而沿

位置向量的路徑螺旋式向上，求(1)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻t的速度、加速度向量：(2)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻t的速率（速度的大?。?3)滑翔機(jī)的加速度與速度正交的時(shí)刻：第7頁(yè)/共34頁(yè)復(fù)習(xí):平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程若平面光滑曲線方程為故在點(diǎn)切線方程法線方程在點(diǎn)有有因機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共34頁(yè)二、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn)M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束位置.空間光滑曲線在點(diǎn)M

處的切線為此點(diǎn)處割線的極限平面.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停第9頁(yè)/共34頁(yè)1.曲線方程為參數(shù)方程的情況切線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共34頁(yè)此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個(gè)別為0,則理解為分子為0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不全為0,因此得法平面方程說(shuō)明:

若引進(jìn)向量函數(shù),則為r(t)的矢端曲線,處的導(dǎo)向量就是該點(diǎn)的切向量.第11頁(yè)/共34頁(yè)例1.求圓柱螺旋線對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:

由于對(duì)應(yīng)的切向量為在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,故第12頁(yè)/共34頁(yè)2.曲線為一般式的情況光滑曲線當(dāng)曲線上一點(diǎn),且有時(shí),可表示為處的切向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共34頁(yè)則在點(diǎn)切線方程法平面方程有或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共34頁(yè)也可表為法平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共34頁(yè)例2.

求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共34頁(yè)法平面方程即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解法2.

方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得第17頁(yè)/共34頁(yè)切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共34頁(yè)三、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線方程為不全為0.則在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點(diǎn)的切平面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上過(guò)點(diǎn)

M

的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上.第19頁(yè)/共34頁(yè)證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.第20頁(yè)/共34頁(yè)曲面

在點(diǎn)M的法向量法線方程切平面方程復(fù)習(xí)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)/共34頁(yè)曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式

在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)/共34頁(yè)法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,復(fù)習(xí)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)/共34頁(yè)例3.

求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)/共34頁(yè)例4.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,因此有第25頁(yè)/共34頁(yè)1.空間曲線的切線與法平面

切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)/共34頁(yè)切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)/共34頁(yè)空間光滑曲面曲面

在點(diǎn)法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè)/共34頁(yè)空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第29頁(yè)/共34頁(yè)思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:

設(shè)切點(diǎn)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(二法向量平行)(切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)第30頁(yè)/共34頁(yè)證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示:

在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此2.設(shè)

f(u)可微,第七節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程.點(diǎn)的切平面為第31頁(yè)/共34頁(yè)1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線的方向向